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1、精品学习资源试验四 离散信号的频域分析一、 试验目的1. 把握序列的傅里叶变换、离散傅里叶级数、 离散傅里叶变换、 快速傅里叶变换的 Matlab实现；2. 学习用 FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法，明白可能显现的分析误差及其缘由，以便在实际中正确应用FFT；二、 试验原理及方法1. 离散信号的谱分析（ 1） 序列的傅里叶变换欢迎下载精品学习资源对于满意肯定可和的序列，即| x n |，其傅里叶变换和反变换的定义为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源X e j nxne j n欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xn1 2X e j ej n d4.2欢迎下载精品学习资源序
2、列 xn是离散的， 但Xej 是以 2为周期的的连续函数， 为了能够在电脑上处欢迎下载精品学习资源理，需要对xn 进行截断，对频域进行离散化，近似处理后jn2欢迎下载精品学习资源X e k 2n n1xnej k n4.3欢迎下载精品学习资源其中kk ，M 是对在一个周期内的采样， k 的取值由读者确定， 假设想观看一M欢迎下载精品学习资源个周期内的频谱，k0 M1 ，假设观看两个周期，k0 2M1 ，以此类推；欢迎下载精品学习资源序列傅里叶变换的Matlab 实现：clc;clear; n=0:3; x=1,1,1,1; M=200; k=0:M-1;W=2*pi/M*k;X=x*exp-j
3、*2*pi/M.n*k; %序列的傅里叶变换magX=absX; phaX=angleX; subplot131; stemx; subplot132; plotW,magX; subplot133; plotW,phaX;欢迎下载精品学习资源对 R4 n 进行序列的傅里叶变换得到图4-1；欢迎下载精品学习资源10.90.80.70.60.50.40.30.20.1时 间 序 列43.532.521.510.5DTFT幅 度 谱DTFT相 位 谱3210-1-2-3欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源002400510-40510欢迎下载精品学习资源图 4-1 信号及信号的幅度谱和相位谱2
4、离散傅里叶变换 DFT 欢迎下载精品学习资源假如序列xn 是有限长的，序列的谱分析可以采纳离散傅里叶变换，其定义为：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源X k DFT x nN 1knxnWN,0kN1n 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x nIDFT X k 1 N 1N k 0knX kWN,0nN1欢迎下载精品学习资源由于 x n 与 X k 都是离散的， 所以可以利用电脑进行数值运算；从数学观点看， DFT欢迎下载精品学习资源表示的是对序列xn 或X k 的线性运算；欢迎下载精品学习资源此处应用 DFT 变换近似分析采样序列的频谱；设时域序列用x 表示，长度为 M ； x
5、 的DFT 变换为 X ，变换区间长度为N NM ；欢迎下载精品学习资源X k M 1NxnW knn 0k0,1, N1欢迎下载精品学习资源将 X k 绽开，得：欢迎下载精品学习资源X 0X 1X 2x0W 00NNx0W 1020x0WNx1W 01NNx1W 1121x1WNx 2W 02NNx2W 1222x 2WNx MxMx M1W 0M 1NN1W 1 M 12M11WN欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源X N1x0W N10x1W N11x2W N1 2x M1) W N1 M 1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源NNNN将上式表示成矩阵的形式：WW0010NNWW
6、0111NN N 10 NWWWWWNNN 11 N欢迎下载精品学习资源 X 0X 1X N1 x0x1xM1022N 12 N欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源WW0 M 1 N1 M 1 N N 1 M 1 N欢迎下载精品学习资源WDFT 变换的 Matlab 实现：clc;clear;M=4;N=8;x=1,1,1,1; n=0:M-1;k=0:N-1;WN=exp-j*2*pi/N; kn=n*k; WNkn=WN.kn; X=x*WNkn; magX=absX; phaX=angleX; k=0:7;subplot131; stemx; subplot132; stemmagX
7、; subplot133; stemphaX;对 R4 n 进行离散傅里叶变换得到图4-2；欢迎下载精品学习资源10.90.80.70.6时 间 序 列43.532.5幅 度 谱1.510.50相 位 谱欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0.50.40.30.20.1002421.510.500510-0.5-1-1.5-2-2.50510欢迎下载精品学习资源图 4-2 信号及信号的离散傅里叶变换 3快速傅里叶变换 FFT快速傅里叶变换并不是一种新的变换，只是离散傅里叶变换的快速算法，常用的有按时间抽取的基 -2FFT 算法和按频率抽取的基-2FFT 算法； 在 Matlab 中对离散信
8、号进行FFT ，可以直接调用函数；快速傅里叶变换的原理及子程序见附录；fftx ：利用快速算法运算x 的 M 点 DFT ，其中 M 是 x 的长度；fftx,N ：利用快速算法运算x 的 N 点 DFT ，其中 N 是用户指定的长度；分两种情形：假设 x 的长度 MN ，就将 x 截短为 N 点序列，再作N 点 DFT ；假设 x 的长度 MN ，就将 x 补零至 N 点，再作 N 点 DFT ；ifftX ：利用快速算法运算X 的 M 点 IDFT ，其中 M 是 X 的长度；ifftX,N ：利用快速算法运算X 的 N 点 IDFT ，其中 N 是用户指定的长度；同样分两种情形，同 ff
9、tx,N ；对 R4 n 进行 16 点的快速傅里叶变换得到图4-3；clc;clear;x=1,1,1,1;X=fftx,16; magX=absX; phaX=angleX; k=0:15;W=pi/8*k; subplot131; stemx; subplot132; stemmagX;欢迎下载精品学习资源subplot133; stemphaX;欢迎下载精品学习资源10.90.80.70.6时 间 序 列43.532.5幅 度 谱21.510.5相 位 谱欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0.50.40.30.20.1002421.510.50010200-0.5-1-1.5-2
10、01020欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源图 4-3 信号及信号的快速傅里叶变换观看图 4-1、4-2、4-3 可以得到， DFT 和 FFT 都是对序列的傅里叶变换X e j 在0, 2欢迎下载精品学习资源上的离散化，离散化的采样点数即为做DFT 和 FFT 的点数；而 FFT 仅为 DFT 的快速运算， 当做 DFT 和 FFT 的点数相同时，两者的结果是一样的；2. 利用 FFT 进行谱分析的误差分析下面分析利用FFT 对信号进行傅里叶分析时可能造成的误差；1频谱混叠失真利用 FFT 对连续信号进行傅里叶分析时第一需要进行时域采样；根据时域采样定理， 为了不产生混叠，必需满意欢迎
11、下载精品学习资源fs2 fc4.16欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源也就是采样间隔T 满意T11fs2 fc4.17欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一般应取fs3 5 fc 4.18欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假如不满意 fs2 fh ，就会产生频谱混叠失真；欢迎下载精品学习资源2栅栏效应k利用 FFT 运算频谱，只能给出离散点2N2k 或 kNTk 上的频谱采样值，而不欢迎下载精品学习资源可能得到连续频谱函数，这就像通过一个 “栅栏 ”观看信号频谱， 只能在离散点上看到信号频谱，称之为 “栅栏效应 ”；这时，假如在两个离散的谱线之间有一个特殊大的频谱重量，就无法检
12、测出来了；减小栅栏效应的一个方法就是要使频域采样更密，即增加频域采样点数N，在不转变时域数据的情形下， 必定是在数据末端添加一些零值点，使一个周期内的点数增加，但并不改欢迎下载精品学习资源变原有的记录数据；频谱采样间距为2N，N 增加，必定使样点间距更近单位圆上样点更欢迎下载精品学习资源多，谱线更密，谱线变密后原先看不到的谱重量就有可能看到了；必需指出，补零以转变运算 FFT 的周期时，不能提高频率辨论率，这是由于数据的实际长度仍为补零前的数据长度；3频谱泄漏与谱间干扰对信号进行 FFT 运算，第一必需使其变成有限时宽的信号， 这就相当于信号在时域乘一个窗函数如矩形窗， 窗内数据并不转变； 加
13、窗即为时域相乘， 对频域的影响可用卷积公式表示j1jj欢迎下载精品学习资源V eX e2W e 4.19欢迎下载精品学习资源1X e j2Wej d欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源式 4.19中，X ej 是信号xn的频谱，W e j 是窗函数的频谱；卷积的结果使欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源加窗后得到的频谱V ej 与原先的频谱X e j 不相同，产生失真； 这种失真造成频谱的 “扩欢迎下载精品学习资源散”，这就是所谓的 “频谱泄漏 ”；三、 试验内容及步骤1. 运算序列的 DTFT 和 DFT ，观看栅栏效应欢迎下载精品学习资源设 x nR8 n，要求用 MATLAB实现
14、：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1运算xn 的傅里叶变换X ej ，并绘出其幅度谱；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2分别运算x n的 8 点 DFT和 16 点 DFT，绘出其幅度谱；并说明它们和X e j 的欢迎下载精品学习资源关系；提示： DFT 变换可用 MA TLAB供应的函数 fft 实现， 也可以自己用 C 语言或 matlab 编写2. 运算序列的 FFT，观看频谱泄漏欢迎下载精品学习资源已知周期为 16 的信号x n10cosn 1612cos16n ,欢迎下载精品学习资源（ 1） 截取一个周期长度M=16点，运算其 16 点 FFT，并绘出其幅度谱；（ 2） 截取序列长度 M=10点，运算其 16 点 FFT，绘出其幅度谱，并与1的结果进行比较，观看频谱泄漏现象，说明产生频谱泄漏的缘由；四、 试验报告要求1. 结合试验中所得给定典型序列幅频特性曲线，与理论结果比较，并分析说明误差产生的缘由以及用 FFT 作谱分析时有关参数的挑选方法；2. 总结试验所得主要结论；欢迎下载