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1、导数及其应用【考纲说明】1、明白导数概念的某些实际背景（如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等）；把握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；懂得导函数的概念；2、熟记八个基本导数公式；把握两个函数和、差、积、商的求导法就,明白复合函数的求导法就,会求某些简洁函数的导数；3、懂得可导函数的单调性与其导数的关系；明白可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号 ；会求一些实际问题 一般指单峰函数 的最大值和最小值；【学问梳理】导数的概念导导数的运算数导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数的运算法就函数的单调性一、导数的概念导数的应用函数的极值函数的最值y函数 y=fx
2、, 假如自变量x 在 x0 处有增量x ,那么函数 y 相应地有增量y =f （ x0+x ） f（ x 0）,比值x 叫做函yf x0xf x0 数 y=f（ x）在 x0 到 x 0+x 之间的平均变化率,即x =x；假如当yx0 时,x有极限,我们就说函数 y=fx 在点 x0 处可导,并把这个极限叫做f（ x）在点 x0 处的导数,记作 f （x 0）或 yx|x0 ；limylimf x0xf x0 即 f（x 0） =x0说明：x =x0x；yy（ 1）函数 f（ x）在点 x0 处可导,是指x或说无导数；（ 2） x 是自变量 x 在 x 0 处的转变量,x0 时,x 有极限；假
3、如x 不存在极限,就说函数在点x0 处不行导,0 时,而y 是函数值的转变量,可以是零；由导数的定义可知,求函数y=f （ x）在点 x0 处的导数的步骤：（ 1）求函数的增量y =f （ x 0+x ） f（ x 0）；yf x0xf x0 （ 2）求平均变化率x =x；（ 3）取极限,得导数f 0x= 二、导数的几何意义limyx0x ；函数 y=f （x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线y=f（ x）在点 p（ x 0, f（x0 ）处的切线的斜率；也就是说,曲线y=f（ x）在点 p（ x0, f（ x 0）处的切线的斜率是f （ x 0）；相应地,切线方程为y y 0=f/ （
4、x0）（ x x 0）；三、几种常见函数的导数n C0; xnxn 1; sinxcos x ; cos xsin x ;ex ex ; ax ;ax ln aln x1x ;l o ga x1 loge x.a四、两个函数的和、差、积的求导法就法就 1：两个函数的和 或差 的导数 ,等于这两个函数的导数的和或差 ,即： uv uv .法就 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以其次个函数,加上第一个函数乘以其次个函数的导数,即： uvu vuv .如 C为 常 数 , 就CuCu .CuCuCu 0Cu Cu. 即 常 数 与 函 数 的 积 的 导 数 等于 常 数 乘 以 函
5、数 的 导 数 ：法就 3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：uv =u vv2uv（ v0）；形如 y=fx 的函数称为复合函数；复合函数求导步骤：分解求导回代；法就：y |x= y |u u |x五、导数应用1、单调区间：一般地,设函数 yf x 在某个区间可导,假如 f假如 f x x0 ,就0 ,就f x 为增函数； f x 为减函数；假如在某区间内恒有2、极点与极值：f x0 ,就f x为常数；曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正
6、；3、最值：一般地,在区间 a, b 上连续的函数 fx 在a, b上必有最大值与最小值；求函数. x 在a, b内的极值；求函数. x 在区间端点的值. a、.b ；将函数. x 的各极值与. a、 .b 比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值；4定积分(1) 概念：设函数 fx 在区间 a, b 上连续,用分点 a x0x1 xi 1xi xn b 把区间 a, b 等分成 n 个小区间,nf在每个小区间 xi 1, xi 上取任一点 i（ i1, 2, n）作和式 In i1 i x（其中 x为小区间长度） ,把 n即 x 0 时,和式 In 的极限叫做函数 fx 在区间 a,b
7、上的定积分, 记作： x；bf xdxa,即bf xdxalimnnfi 1 i这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间 a,b 叫做积分区间, 函数 fx 叫做被积函数, x 叫做积分变量, fxdx叫做被积式；基本的积分公式：0dxxm dx1xm 1x C； m1 C（ m Q, m 1）；1x dx lnx C；a xe dx ex C；ax dxln a C；cos xdx sinx C；sinxdx cosx C（表中 C 均为常数）；(2) 定积分的性质bkf x dxkbf x dx aab（ k 为常数）；bbf x abg xdxcf xdxabg x dxa；f
8、 xdx af x dxac f xdx（其中 ac b ；(3) 定积分求曲边梯形面积由三条直线 x a, xbab , x 轴及一条曲线 y fx fx 0围成的曲边梯的面积bSf xdxa；假如图形由曲线 y1 f1x , y2f 2x （不妨设 f 1x f 2x 0）,及直线 x a, x b（ a0 ,且 x1 时, fxxInx1xk,求 k 的取值范畴；a x1x1xInx【解析 】1f ,x=x xfx=1故即12b=1b由于直线 x+2y-3=0 的斜率为x2解得 a=1, b=1；1,且过点 1,1,2,1a1f 1=b =222ln x1ln xk1k1x212 由（
9、1）知,所以f x2 2ln x ；x1xx1x1xx考虑函数hx2ln xk1 x21) x0) ,就h xk1x221) 2x；xxi设 k0 ,由h xk x21 x x212知,当 x1 时,h x0 ；而h10 ,故当 x0,1 时,h x0 ,可得11x2hx0 ；当 x（ 1, +）时, h（ x） 0从而当 x0, 且 x1 时, f （x） - （ln xk+） 0,即 f （ x） ln xk+.x1xx1x（ ii ）设 0k0, 故 h （ x）0, 而 h（ 1）=0,故当 x（ 1, 1）1k时, h（ x）0,可得11x2h（ x） 0, 而 h（ 1） =0,故
10、当 x（ 1,+）时, h（ x） 0,可得1h （ x） 0, 与题设1x冲突；综合得, k 的取值范畴为（ -, 0.【例 4】（2022 山东） 已知函数 fx = f1 ）处的切线与 x 轴平行；（）求 k 的值；2（）求 fx 的单调区间；ln x exk （k 为常数, e=2.71828是自然对数的底数） ,曲线 y= fx 在点（ 1,（）设 gx=x 2+xf x ,其中f x 为 fx 的导函数,证明：对任意x 0,gx1e；【解析 】由 fx =ln xexk 可得f x1kln xx,而exf 10 ,即 1k e0 ,解得 k1 ；（）f x11ln xx,令exf
11、x0 可得 x1 ,当 0x1 时, f x1 1ln x x0 ；当 x1 时,f x11ln x0 ；x于是 f x在区间0,1 内为增函数；在1, 内为减函数；（）gxx 21x x1ln xx1x 2 x2xx ln x,当 x1时, 1x2e0, ln x0, x2ex0, ex0 , g x01e 2 .当 0x1 时,要证g x x21x x1ln x ex1x 2 x2exx ln x1e 2 ；只需证 1x2 x2xlnxex 1e 2 ,然后构造函数即可证明；【例 5】（ 2022 北京） 已知函数f xax x21,其中 a0 .（）求函数f x 的单调区间；（）如直线
12、xy1 0 是曲线yf x 的切线,求实数 a 的值；（）设g xx ln2xx fx ,求g x在区间 1,e 上的最大值 .（其中 e为自然对数的底数）【解析 】（）f xa 2 x3x,（ x0 ）,在区间 , 0 和 2, 上, f x0 ；在区间 0, 2 上, f x0 .所以,f x 的单调递减区间是 , 0 和 2, ,单调递增区间是0, 2 .02ya x01 x0x0y010（）设切点坐标为x0 , y0 ,就a2x0x0 13e解得 x01 , a1.（）g xx ln xa x1) ,就g xl n x1a 解 g x0 ,得 xa 1 ,所以,在区间 0, ea 1g
13、 x 为递减函数,在区间a 1,e上,g x 为递增函数 .上,当 ea 11 ,即 0a1时,在区间 1, e 上,g x 为递增函数,所以g x 最大值为geeaae .当 ea 1e ,即 a2 时,在区间 1, e 上,gx 为递减函数,所以g x最大值为g1 0 .当 1 e a1 0; 当 x21 3时, f x0, 所以 fx 在 x=1 处取得极大值,在x=23 处取得微小值；2（ 2）如f x 为 R 上的单调函数就 f x 恒大于等于零或 f x 恒小于等于零,由于 a0 所以 =（ -2a） 2-4a 0,解得 00） .（）令 F（ x） xf（x ）,争论 F（ x）
14、在（ 0.）内的单调性并求极值；（）求证：当 x1 时,恒有 xln 2x 2a ln x 1.【课后作业】一、挑选题1.（ 2005 全国卷文） 函数f xx 3ax23x9 ,已知f x 在 x3 时取得极值 ,就 a =A2B3C4D52 2022 海南、宁夏文） 设f xx lnx ,如f x0 2 ,就 x0（）A e2ln 2B eC2Dln 23（ 2005 广东） 函数f xx33x 21是减函数的区间为（）A 2,B,2C,0D （0, 2）4.（ 2022 安徽文） 设函数f x2 x11 xx0,就 f x （）A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数5（ 2007 福建
15、文、 理）已知对任意实数 x 有 f x= fx ,g-x=gx ,且 x0 时,f x,0 g x,0 就 x,0g x0Bf x,0g x0Cf x0Df x0 , g x0）有极大值 9.（）求 m 的值；（）如斜率为 -5 的直线是曲线yf x 的切线,求此直线方程.【参考答案】【课堂练习】一、挑选1 10AADBD DDCCC2 填空（ 1） 3 ； 1216 ；13.2； 14.三、解答题4R 3314 R 2 ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数215. 解：每月生产 x 吨时的利润为f x24200x x550000200 x1 x35由f x24000 x32x550000
16、24000 x 0解得 x10200, x2200舍去.因f x在 0,内只有一个点 x200使fx0 ,故它就是最大值点,且最大值为：f 2001 200 3524000200500003150000元答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为315 万元 .16. 解： 由于 f xx2ax29x1, 所 f x3x22ax93 xaa 2 29. 即当33xa 时, f x取得最小值29a.因斜率最小的切线与 12 xy6 平行,即该切线的斜率为-12,所以33a 2912,即a239.解得 a3,由题设a0,所以a3.2f x3x6x93x3x1令f x0,解得：x11,x23.当x, 1时,fx0,故f x在,1）上为增函数；当x 1,3时,fx0,故f x在（1,3）上为减函数；当x3,+ 时,f x0,故f x在（3, ）上为增函数.由此可见,函数f x的单调递增区间为, 1）和（3, ）；单调递减区间为（ 1,3）. 由 知 a3,因此f xx33x29x1,17解：（ 1）f xx3ax2x1求导：f x3x22ax1当 a2 3 时, 0 , f x 0 ,f x在 R 上递增当 a23 , f x0 求得两根为 xaa2332