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1、名师举荐细心整理学习必备学问讲解第六章 实数学问讲解 +题型归纳4.相反数是它本身的数只有 0；肯定值是它本身的数是非负数 （ 0 和正数）；倒数是它本身的数是 1.三、平方根与立方根1. 平方根：假如一个数的平方等于 a,这个数叫做 a 的平方根；数 a 的平一 、 实数的组成方根记作 a（ a=0）1、实数又可分为正实数,零,负实数2. 数轴：数轴的三要素原点、正方向和单位长度；数轴上的点与实数一一对应二 、相反数、肯定值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数；数 a 的相反数是 -a；正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,零的相反数是零 . 性质：互为相反数的两个数之和为
2、0；特性：一个正数有两个平方根,它们互为相反数,零的平方根仍是零；负数没有平方根；正数 a 的正的平方根也叫做 a 的算术平方根,零的算术平方根仍是零；开平方:求一个数的平方根的运算,叫做开平方；2. 立方根：假如一个数的立方等于a,就称这个数为 a 立方根 ；数 a 的立方根用 3 a 表示；任何数都有立方根,一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根,零的立方根是零；开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算,叫做开立方；四 、实数的运算有理数的加法法就：a） 同号两数相加,取相同的符号,并把肯定值相加；2. 肯定值：表示点到原点的距离,数a 的肯定值为| a |1b 异号两数相加
3、；肯定值相等时和为0；肯定值不相等时,取肯定值较3. 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数； 非 0 实数 a 的倒数为数；. 0 没有倒a大的数的符号,并用较大的肯定值减去较小的肯定值 .任何数与零相加等于原数；2. 有理数的减法法就：减去一个数等于加上这个数的相反数；3. 乘法法就： a）两数相乘,同号得正,异号得负,并把肯定值相乘；零乘以任何数都得零b） 几个不为 0 的有理数相乘, 积的符号由负因数的个数打算, 当负因数的个数为奇数时,积为负,为偶数,积为正 c）几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为 04. 有理数除法法就：a） 两个有理数相除（除数不为 0）同号得正,异号得负,并把肯
4、定值相除；0 除以任何非 0 实数都得 0；b） 除以一个数等于乘以这个数的倒数；5.有理数的乘方 :在 an 中, a 叫底数, n 叫指数a） 正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数；0的任何次幂都是 0 b）a0 =1（a 不等于 0） 6.有理数的运算次序： a）同级运算,先左后右b） 混合运算, 先算括号内的, 再乘方、开方, 接着算乘除, 最终是加减；五实数大小比较的方法1） 数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数2） 比差法：如 a-b0 就 ab；如 a-b0 就 a1 就 ab；a/b1 就 a1 就 ab；a/bbC.一正一负时,正数 负数4
5、）平方法： a、b 均为正数时,如 a2b2,就有 ab；均为负数时相反5 倒数法：两个实数,倒数大的反而小（不论正负）题型归纳经典例题类型一有关概念的识别1下面几个数： 0. 23,1.010010001 , , 3 ,其中,无理数的个数有（）A、1B、2C、3D、4解析：此题主要考察对无理数概念的懂得和应用,其中,1.010010001 , , 3 ,是无理数应选 C举一反三：【变式 1】以下说法中正确选项（）A、的平方根是 3B、1 的立方根是 1C、=1D、是 5 的平方根的相反数【答案】此题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念,=9, 9 的平方根是 3, A 正确都不正确 1
6、的立方根是 1,=1,是 5 的平方根, B、C、 D2设,就以下结论正确选项（）A. B.【变式 2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,就点 A表示的数是（ ）C.D.解析：（估算）由于,所以选 B举一反三：【变式 1】1）1.25 的算术平方根是 ；平方根是 ）.2-27立方根是 ）. 3 , ,A、1B、1.4C、D、【答案】此题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正方形的边长为 1,对角线为,由圆的定义知 |AO|=, A 表示数为,应选 C【变式 3】【答案】 = 3.1415 , , 9 3 10因此
7、3 -9 0, 3 -10 0类型二运算类型题 .【答案】 1）；.2） -3. 3）,【变式 2】求以下各式中的（ 1）（2）（ 3）【答案】（ 1）（ 2）x=4 或 x=-2 （3 ）x=-4类型三数形结合3. 点 A 在数轴上表示的数为,点 B 在数轴上表示的数为,就 A,B 两点的距离为 解析：在数轴上找到 A、B 两点, 举一反三：【变式 1】如图,数轴上表示 1 ,的对应点分别为A, B,点 B 关于点 A 的对称点为 C,就点 C 表示的数是（ ）A 1 B1C2D2【答案】选 C 变式 2 已知实数、 、 在数轴上的位置如下列图：化简【答案】：类型四实数肯定值的应用4. 化简
8、以下各式：1 |-1.4|2 | -3.142|3 |-|4 |x-|x-3| x 3 5 |x 2+6x+10|分析：要正确去掉肯定值符号,就要弄清肯定值符号内的数是正数、负数仍是零,然后依据肯定值的定义正确去掉肯定值；解： 1=1.414 , 1.4 |-1.4|=1.4-2 =3.14159 , 3.142 | -3.142|=3.142- 3, |-|=-4 x 3, x-3 0, |x-|x-3|=|x-3-x|=|2x-3| =说明：这里对 |2x-3| 的结果实行了分类争论的方法,我们对这个肯定值的基本概念要有清晰的熟悉,并能敏捷运用；5 |x 2+6x+10|=|x 2+6x+
9、9+1|=|x+32 +1|x+3 2 0, x+3 2 +1 0|x 2 +6x+10|= x 2+6x+10举一反三：【变式 1】化简：【答案】=+-=类型五实数非负性的应用x-y 3-z 3=6-2 3-1 3=64+1=655已知：=0 ,求实数 a, b 的值；分析：已知等式左边分母不能为 0,只能有0,就要求 a+70,分子+|a 2-49|=0 ,由非负数的和的性质知：3a-b=0 且 a2-49=0 ,由此得不等式组从而求出 a, b 的值；解：由题意得由2 得 a2=49 a= 7由3 得 a-7, a=-7 不合题意舍去；只取 a=7把 a=7 代入 1 得 b=3a=21
10、a=7, b=21 为所求；举一反三：【变式 1】已知 x-6 2+|y+2z|=0 ,求 x-y 3 -z3 的值；解： x-6 2+|y+2z|=0且x-6 2 0, 0, |y+2z| 0,几个非负数的和等于零,就必有每个加数都为0；解这个方程组得【变式 2】已知那么 a+b-c 的值为 【答案】中学阶段的三个非负数：,a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2类型六实数应用题6. 有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm ,宽为 8cm 的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少cm；解：设新正方形边长为xcm, 依据题意得 x2 =11 2+1
11、3 8x2=225x= 15边长为正, x=-15 不合题意舍去,只取 x=15cm答：新的正方形边长应取 15cm ；举一反三：【变式 1】拼一拼,画一画： 请你用 4 个长为 a,宽为 b 的矩形拼成一个大正方形,并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形；（ 4 个长方形拼图时不重叠）（1） 运算中间的小正方形的面积,聪慧的你能发觉什么？（2） 当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm 时,大正方形的面积就比小正方形的面积多24 cm2 ,求中间小正方形的边长 .解析：（ 1）如图,中间小正方形的边长是：,所以面积为 =大正方形的面积 =, 一个长方形的面积 =；所以,答：中间
12、的小正方形的面积,发觉的规律是：（或）(2) 大正方形的边长：,小正方形的边长：,即,又大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2所以有,cm答：中间小正方形的边长2.5 cm；类型七易错题7. 判定以下说法是否正确（1）的算术平方根是 -3 ；（ 2）的平方根是 15.（3）当 x=0 或 2 时,（ 4）是分数解析：（ 1）错在对算术平方根的懂得有误,算术平方根是非负数.故（ 2）表示 225 的算术平方根,即=15. 实际上,此题是求 15 的平方根,故的平方根是.（ 3）留意到,当 x=0 时,=,明显此式无意义,发生错误的缘由是忽视了“负数没有平方根”,故x 0,所以当 x=2 时, x=0.化简得：将代入,得：是无理数 .（4）错在对实数的概念懂得不清.形如分数,但不是分数,它类型八引申提高8（ 1）已知的整数部分为 a,小数部分为 b,求 a2-b 2 的值 .（2）把以下无限循环小数化成分数：（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分,第一判定这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分解：由得的整数部分 a=5,的小数部分,99x=23.(3) 设就-,得999x=107 ,.（2）解： 1设 x=就-得9x=6.2设就-,得