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1、沪科版八年级数学下学问点总结二次根式学问点：学问点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必需留意：由于负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如, 等是二次根式,而,等都不是二次根式；学问点二：取值范畴1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a0 时,没有意义；学问点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根, 也就是说,（）是一个非负数, 即0
2、（）；注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是 0,所以非负数（）的算术平方根是非负数,即0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多,如如,就 a=0,b=0；如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；学问点四：二次根式（） 的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如,就,如：,.学问点五：二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：1
3、、化简时,肯定要弄明白被开方数的底数 a 是正数仍是负数, 如是正数或 0,就等于a 本身,即；如 a 是负数,就等于 a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论a 取何值,肯定有意义；3、化简时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；学问点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数 a 的算术平方根的平方, 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中,而中 a 可以是正实数,0,负实数；但与都是非负数,即,；因而它的运算的结果是有差别的,而2、相同点：当被开方数都是非负数,即时,=；时,无意义,而.学问点七：二次根式的性质和最简二次根式如
4、：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、 3、 a（ a 0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、 9、 a2、（ x+y） 2 、x2+2xy+y2等（ 3）最终结果分母不含根号；学问点八：二次根式的乘法和除法1. 积的算数平方根的性质 ab= a b（ a 0, b 0）2. 乘法法就a b= ab（ a 0, b 0）二次根式的乘法运算法就,用语言表达为：两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根；3. 除法法就a b= a b（ a 0, b0）二次根式的除法运算法就,用语言表达为：两个数的算数平方根的商,等于这两个数商的算数平方根；4. 有理化
5、根式；假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做有理化根式, 也称有理化因式；学问点九：二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,假如它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式；2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式；3 二次根式加减时, 可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并；学问点十：二次根式的混合运算1 确定运算次序2 敏捷运用运算定律3 正确使用乘法公式4 大多数分母有理化要准时5 在有些简便运算中或许可以约分,不要盲目有理化学问点十一：分母有理化分母有理化
6、有两种方法I. 分母是单项式如: a/ b= a b/ b b= ab/bII. 分母是多项式要利用平方差公式如 1/ a b= a b/ a b a b= a b/a b如图留意： 1. 根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式；一元二次方程学问点：1. 一元二次方程的一般形式 : a0 时, ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式,讨论一 元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、b、 c ； 其中 a 、 b, 、c 可能是详细数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法 :一元二次方程的四种解法要求敏捷运用,其中直接开平方
7、法虽然简洁,但是适用范畴较小；公式法虽然适用范畴大,但运算较繁,易发生运算错误；因式分解法适用范畴较大,且运算简便,是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式 :当 ax2+bx+c=0 a 0 时, =b2-4ac叫一元二次方程根的判别式. 请留意以下等价命题： 0 有两个不等的实根；=0 有两个相等的实根； 0 无实根；0 有两个实根（等或不等） .4. 一元二次方程的根系关系：当 ax2+bx+c=0 a 0时,如 0,有以下公式：1x 1, 2bb22a4ac；2 x 1x 2b ,x1 x 2c . aa5. 一元二次方程的解法（1） 直接开平方法（也可以使用因式分解法
8、） x2aa0解为： xa xa 2 axb2bb0cc0解为： xab解为： axbc axb2cxd2ac解为：axbcxd （2） 因式分解法 ：提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法如： ax2bx0a, b0xaxb0此类方程适合用供应因此,而且其中一个根为0x290x3 x30x23x0x x303 x2 x152 x103x52 x10x26x94 x3244x212x902x320x24x120 x6 x202x25x1202x3x40（3） 配方法二次项的系数为“ 1”的时候：直接将一次项的系数除于2 进行配方,如下所示：x2Pxq0 xP 2 P 2q022示例： x23
9、x10x3 2 3 21022二次项的系数不为“ 1”的时候：先提取二次项的系数,之后的方法同上：ax2bxc0 a0a x2b xc0 aa xb 22aa b 2c0 2a22a xb 2bc2 a4 a xb 22ab4ac 4a2示例：1 x22x101 x24 x101 x2 2122102222（4） ） 公式法： 一元二次方程ax2bxc0 a0 ,用配方法将其变形为：bb2 x 22a4ac 4a 2 当b 24 ac0 时, 右端是正数 因此, 方程有 两个不相等的实根：x1,2bb22a4ac 当b24 ac 当b24 ac0 时,右端是零因此,方程有两个相等的实根：0 时
10、,右端是负数因此,方程没有实根；bx1,22 a备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：cax2bxc0 a0 ,并确定出 a 、 b 、求出b 24ac ,并判定方程解的情形；代公式：x1,2bb4ac （要留意符号）22a 5 当 ax2+bx+c=0 a 0时,有以下等价命题： 以下等价关系要求会用公式x 1x2b ,x1x 2ac ；=b2 -4ac分析,不要求背记 a（1） 两根互为相反数（2） 两根互为倒数b = 0 且0b = 0且0；ac =1 且 0a = c且0；a（3） 只有一个零根（4） 有两个零根c = 0 且ac = 0 且ab 0c =
11、 0且 b0；ab = 0c = 0且 b=0；a（5） 至少有一个零根（6） 两根异号c =0c=0 ；ac 0a 、c 异号；a（7） 两根异号, 正根肯定值大于负根肯定值（8） 两根异号, 负根肯定值大于正根肯定值c 0 且ac 0 且ab 0a、c 异号且 a、b 异号；ab 0a、c 异号且 a、b 同号；a（9） 有两个正根（10） 有两个负根c 0,ac 0,ab 0 且0a 、c 同号, a 、b 异号且 0；ab 0 且 0a 、c 同号, a 、b 同号且0.a6. 求根法因式分解二次三项式公式：留意：当 0 时,二次三项式在实数范畴内不能分解.2ax +bx+c=ax-x
12、 1 x-x 2或 ax2+bx+c=a xbb22a4acxbb22a4ac.7. 求一元二次方程的公式：2x - （ x1+x2）x + x 1x2= 0.留意：所求出方程的系数应化为整数.8. 平均增长率问题 -应用题的类型题之一 （设增长率为 x）：21第一年为 a ,其次年为 a1+x ,第三年为 a1+x .（2）常利用以下相等关系列方程：第三年 =第三年或 第一年 +其次年 +第三年=总和.9. 分式方程的解法：1去分母法两边同乘最简公分母验增根代入最简公分母（或原方程的每个分母）,值0 .（2）换元法凑元,设元,验增根代入原方程每个分母,值0 .换元 .10. 二元二次方程组的
13、解法：（1） 代入消元 法方程组 中含有一个二元一次方 程 ;（2） 分解降次法方程组 中含有能分解为 （）0 的方程 ; 31留意：32401 0 2 0 1 0 2 0 3 0 4 0 4 0 3 0应分组为.011几个常见转化：xx12122x 1x 2 22x 1 x 2 ；x 1x 2 2 x1x 2 24x 1x 2；x 21xx 21 22；x2或x 21 x1 22；xxx 1x 2x 1x 24x x212x 1x 2 ；x 2x122x 1x 222 x 1x4x 1x 2 x 1x 2 x 2x 2xx 22 x x ,11x1x2 , xx 2 xx 24x x ,12
14、121 2x1x2x1x2121212| xx | xx 24 x x,x x 2x 2 xx x xx ,12121 21 2121 212xxx 2x 2xx 24x x2112121 2等x1x2x1x2x1x22x 1x 221. 分类为 x 1x 22 和 x 1x 22；22. 两边平方为（ x 1x 2）4(3) x 14 或116 1分类为x 1x 24和 x 143x 23；xx292x 2322两边平方一般不用, 由于增加次数 .x2 4如 x1sin A ,x 2sin B且AB90 时,由公式sin 2 Acos 2 A1, cos Asin Bx1可推出221.留意隐
15、含条件: x 10,x 20.5x 1 , x 2如为几何图形中线段长时, 可利用图形中的相等关系 例如几何定理,相像形,面积等式, 公式 推导出含有x 1 ,x 2 的关系式. 留意隐含条件: x 10,x 20.6如题目中给出特别的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件, 可把它们转化为某些线段的比,并且引入“ 帮助未知元k ”.7方程个数等于未知数个数时 , 一般可求出未知数的值; 方程个数比未知数个数少一个时,一般求不出未知数的值, 但总可求出任何两个未知数的关系 .勾股定理学问总结： 一基础学问点： 1：勾股定理222直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方；（即
16、： a +b c ）要点诠释：222勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用：（1） ）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中, C90 ,就ca2b, bca,）22acb（2） ）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边22（3） ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理2假如三角形的三边长： a、b、c,就有关系 a+b c,那么这个三角形是直角三角形；要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时应留意：222（1） ）
17、第一确定最大边,不妨设最长边长为：c；222（2） ）验证 c 与 a +b是否具有相等关系,如 ca +b ,就 ABC是以 C 为直角的直角三角形222222（如 ca +b ,就 ABC是以 C为钝角的钝角三角形；如 c a +b,就ABC为锐角三角形）；（定理中 a , b , c 及a 2b 2c 2 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长a , b , c 满意 a 2c 2b2 ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系区分：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理
18、与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关；4：互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题； 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：22方法一： 4SSS, 41 abbac ,化简可证方法二：正方形EFGH正方形 ABCD22四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积
19、与小正方形面积的和为S41 abc222abc大正方形面积为 S ab2a 22abb2所以a 2b2c 2方法三：S梯形1 ab ab, S梯形2S ADES ABE2 1 ab1 c 2 ,化简得证2226：勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即AaDa 2b2c 2中, a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； BcbcEabC7,24,25 等用含字母的代数式表示 n 组勾股数： n221,2n, n1 （ n2, n 为正整数）；2n1,2n22n,
20、2 n22n1 （ n 为正整数） m2n2,2 mn,m2n2 （ mn,m , n 为正整数）二、规律方法指导1. 勾股定理的证明实际采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的；2. 勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目；3. 勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个学问在应用过程中易犯的主要错误；2224. 勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a,b,c 有以下关系： a+b c,.那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法5. . 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三
21、角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的懂得我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题；（例：勾股定理与勾股定理逆定理）baaccbcbcaabDCHEGFbaAcB四边形学问点： 一、 关系结构图：二、学问点讲解：1. 平行四边形的性质（重点） ：ABCD是平行四边形（1） 两组对边分别平行；DC（2） 两组对边分别相等；O（3） 两组对角分别相等；（4） 对角线相互平分；AB（5） 邻角互补.2. 平行四边形的判定（难点） ：DCOAB.3. 矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有通性 ;DCDC由于 ABCD是矩形
22、（2）四个角都是直角;O（3）对角线相等 .ABAB(4) 是轴对称图形,它有两条对称轴4 矩形的判定：矩形的判定方法： 1 有一个角是直角的平行四边形；(2) 有三个角是直角的四边形；(3) 对角线相等的平行四边形；(4) 对角线相等且相互平分的四边形四边形 ABCD是矩形 .D5. 菱形的性质：由于 ABCD是菱形（1） 具有平行四边形的所（2） 四个边都相等；（3） 对角线垂直且平分对有通性； 角.AOCB6. 菱形的判定：D（1） 平行四边形（2） 四个边都相等一组邻边等四边形四边形 ABCD是菱A形 . OC（3） 对角线垂直的平行四 边形B7. 正方形的性质：ABCD是正方形（1）
23、 具有平行四边形的所（2） 四个边都相等,四个D有通性；角都是直角；CDCO（3） 对角线相等垂直且平分对角 .ABAB8. 正方形的判定：（1） 平行四边形一组邻边等一个直角（2） 菱形（3） 矩形一个直角 一组邻边等四边形 ABCD是正方形 .名称定义性质判定面积平两组对 对边平行；定义；S=aha 为一边分别对边相等；两组对边分别相等的边长, h 为这行平行的对角相等；四边形；条边上的高 四边形邻角互补；一组对边平行且相等四叫做平对角线相互平分；的四边形；行四边是中心对称图形两组对角分别相等的边形；四边形；对角线相互平分的四形边形；有一个除具有平行四边形的性质有三个角是直角的四S=aba
24、 为一角是直外,仍有：四个角都是直边形是矩形；边长, b 为另角的平角；对角线相等的平行四一边长行四边对角线相等；边形是矩形；形叫做既是中心对称图形又是定义；矩形轴对称图形；有一组除具有平行四边形的性质四条边相等的四边形 S=aha 为邻边相外,仍有是菱形；一边长, h 为等的平四边形相等；对角线垂直的平行四矩形菱行四边形叫做形菱形；对角线相互垂直,且每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形；边形是菱形；定义；这条边上的高 ； b 、c 为两条对角线的长有一组邻边相 正 等且有一个角 方 是直角的平行 形 四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质：四个角是直 角,四条边
25、相等；对角线相等,相互垂直平分,每一条对角线平分一组对角；既是中心对称图形又是轴对称图形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；定义；a 为边长 ； b 为对角线长数据的集中趋势和离散程度学问点： 学问点 1：表示数据集中趋势的代表平均数、众数、中位数都是描述一组数据集中趋势的特点数,只是描述的角度不同, 其中平均数的应用最为广泛；学问点 2：表示数据离散程度的代表极差的定义：一组数据中最大值与最小值的差,能反映这组数据的变化范畴,我们就把这样的差叫做极差；极差 =最大值最小值,一般来说,极差小,就说明数据的波动幅度小；学问点 3：生活中与极差有关的例子在生活中,我们常常
26、用极差来描述一组数据的离散程度,比如一支篮球队队员中最高身高与最矮身高的差；一家公司成员中最高收入与最低收入的差；学问点 4：平均差的定义在一组数据x1, x2 , xn 中各数据与它们的平均数的差的肯定值的平均数即T=叫做这组数据的“平均差” ；“平均差”能刻画一组数据的离散程度, “平均差”越大,说明数据的离散程度越大；学问点 5：方差的定义在一组数据 x1, x2, xn 中,各数据与它们的平均数差的平方,它们的平均数,即S2=来描述这组数据的离散程度, 并把 S2叫做这组数据的方差；学问点 6：标准差方差的算术平方根, 即用 S=来描述这一组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的标准差；学问点 7：方差与平均数的性质2如 x1,x2, xn 的方差是 S ,平均数是 ,就有2x1+b, x 2 +b xn+b 的方差为 S ,平均数是 +b22 ax1, ax 2 , axn 的方差为 a s ,平均数是 a22 ax1+b, ax 2+b, axn+b 的方差为 a s ,平均数是 a+b