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1、第十二讲 基本初等函数一：教学目标1、把握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、懂得基本初等函数的性质；3、把握基本初等函数的应用,特殊是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的懂得及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：学问出现1. 指数与指数函数1). 指数运算法就： （1） ar a ssar s ；（ 2） ara rs ；（ 3） abar br ；r1mmnm奇（4） a na；（5） an（ 6） na na , nn a m| a |, n 偶2). 指数函数：形如yax a0且a1指数函数0a1图象表达式ya x定义域R值
2、域0,过定点0,1单调性单调递减单调递增2. 对数函数1） 对数的运算：1、互化： abNblog a N2、恒等：3、换底：alog a Nlog a bNlog c b log c a推论 1logb1推论 2logblogclogc推论 3logalognbna m bmalog a b m0aba4、 loga MNlog a Mlog a NMlog aNlog a Mlog a Nn5、 log a Mn log a M2） 对数函数：对数函数0a1图象表达式ylog a x定义域0,值域R过定点1 ,0单调性单调递减单调递增3. 幂函数一般地,形如ayx （ aR ）的函数叫做幂
3、函数,其中a 是常数1性质：(1) 全部的幂函数在 0,+ 都有定义, 并且图象都通过点 1, 1;(2) 假如 ,就幂函数图象通过（0, 0）,并且在区间 0,+ 上是增函数；(3) 假如 ,就幂函数在区间 0,+ 上是减函数,在第一象限内,当x 从右边趋向于原点时,图象在y 轴右方无限地靠近y 轴,当 x 趋于 +时,图象在 x 轴上方无限靠近x 轴；四：典型例题3x21x考点一：指数函数2例 1已知 a2a5 a2 a5,就 x 的取值范畴是分析：利用指数函数的单调性求解,留意底数的取值范畴解： a22a5 a124 41 ,函数 ya22a5x 在 , 上是增函数, 3x1x ,解得
4、x1 x 的取值范畴是1, 44x评注： 利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判定底数与 1 的大小,对于含有参数的要留意对参数进行争论2x例 2函数 ya2a1a0且a1 在区间 1,1上有最大值 14,就 a 的值是 分析：令tax 可将问题转化成二次函数的最值问题,需留意换元后t 的取值范畴解：令tax ,就 t0 ,函数2 xxya2a1 可化为 y2t12 ,其对称轴为 t1 当 a1时, x1,1 , 1 ax a ,即 1 t a a当 ta 时,aymaxa12214解得 a3 或 a5 （舍去）；当 0a1 时, x1,1 , a a x 1
5、 ,即aa t 1 ,a t1a 时,ymax211214 ,a解得 a1 或 a1 （舍去）, a 的值是 3 或 1 353评注： 利用指数函数的单调性求最值时留意一些方法的运用,比如：换元法, 整体代入等例 3求函数 y16x 2的定义域和值域解：由题意可得16x2 0 ,即6 x 2 1 , x2 0 ,故x 2 函数f x 的定义域是 ,2 2令 t6 x,就 y1t ,又 x 2 , x2 0 06x2 1 ,即 0t 1 0 1t1 ,即 0 y1 函数的值域是0,1 评注：利用指数函数的单调性求值域时,要留意定义域对它的影响例 4 求函数 yx2 3x132的单调区间 .分析这
6、是复合函数求单调区间的问题可设 yu1,u x 2-3x+2 ,其中 y3u1为减函数32 u x -3x+2 的减区间就是原函数的增区间 即减减增 2u x -3x+2 的增区间就是原函数的减区间 即减、增减 解：设 yu1,u x 2-3x+2,y关于 u 递减,33当 x- , 时, u 为减函数,2 y 关于 x 为增函数；当x3 ,+ 时, u 为增函数, y 关于 x 为减函数 .2考点二：对数函数例 5求以下函数的定义域（ 1） y=log 2 （x2 -4x-5 ）;（ 2） y=logx+1 （ 16-4x）（ 3） y=解： （ 1）令 x2-4x-5 0,得（ x-5 ）
7、（ x+1 ） 0, 故定义域为x x -1,或 x 5（ 2）令得故所求定义域为x -1 x0,或 0x 2（ 3）令,得故所求定义域为 x x -1-,或 -1- x -3,或 x2说明 求与对数函数有关的定义域问题,第一要考虑,真数大于零底数大于零不等于1,如处在分母的位置,仍要考虑不能使分母为零 例 6比较大小：（ 1） log0 71 3 和 log 0 71 8（ 2）（ lg n）1 7 和（ lgn） 2（ n 1）（ 3） log23 和 log53（ 4） log35 和 log64解： （ 1）对数函数 y=log 0 7x 在（ 0, +）内是减函数由于13 1 8,所
8、以log0 71 3 log0 71 8（ 2）把 lgn 看作指数函数的底,此题归为比较两个指数函数的函数值的大小,故需对底数 lgn 争论如 1 lgn 0,即 1 n 10 时, y=（ lgn） x 在 R 上是减函数,所以（ lgn ） 1 2（ lgn） 2； 如 lgn 1,即 n 10 时, y= （ lgn）2 在 R 上是增函数,所以（ lgn） 1 7（ lgn） 2（ 3）函数 y=log 2x 和 y=log 5x 当 x 1 时,y=log 2x 的图像在 y=log 5x 图像上方 这里 x=3 , 所以 log2 3 log53（ 4） log35 和 log6
9、4 的底数和真数都不相同,须找出中间量“搭桥 ”,再利用对数函数的单调性即可求解由于 log 35 log33=1=log 66 log64,所以 log35 log 64评析 要留意正确利用对数函数的性质,特殊是第（3）小题,可直接利用例2 中的说明得到结论例 7已知 f （x） =2+log 3x, x 1, 9,求 y= f（ x） 2+f （ x 2）的最大值,及 y取最大值时, x 的值分析 要求函数 y= f（ x） 2+f （ x 2）的最大值,要做两件事,一是要求其表达式； 二是要求出它的定义域,然后求值域解： f（ x）=2+log 3x, y=f （x） 2+f （ x 2
10、） =（2+log 3x） 2+2+log 3x2=（ 2+log 3x） 2+2+2log 3 x3=log 2x+6log 3x+6=（ log 3x+3 ） 2-3函数 f （x）的定义域为1,9,要使函数 y= f（ x） 2+f （ x 2）有定义,就须1x29,1x9 1x3 0log3x1 6y=（ log 3x+3 ） 2-3 13当 x=3 时,函数 y= f（ x） 2+f （ x2）取最大值13说明 本例正确求解的关键是：函数y= f（ x） 2+f （ x 2）定义域的正确确定假如我们误认为 1, 9是它的定义域就将求得错误的最大值22其实我们仍能求出函数y= f（ x
11、） 2+f （ x2）的值域为 6, 132例 8求函数 y=log 0 5（ -x+2x+8 ）的单调区间分析 由于对函数的底是一个小于1 的正数,故原函数与函数u=-x 2+2x+8 （ -2 x 4） 的单调性相反解 -x2+2x+8 0,-2 x4,原函数的定义域为（ -2, 4）又 函数 u=-x 2+2x+8=- （ x-1 ）2+9 在（ -2,1上为增函数,在 1, 4）上为减函数,函数 y=log 0 5（ -x 2+2x+8 ）在（ -2, 1上为减函数,在 1, 4）上为增函数 评析 判定函数的单调性必需先求出函数的定义域,单调区间应是定义域的子集考点三：幂函数 例 9
12、比较大小：11（1）1.52,1.72331（ 2） 1.2 ,1.25 （ 3）5.25 ,5.261,5.262 （ 4）0.53,30.5 ,log 0.53111解：（ 1）yx 2 在 0, 上是增函数, 1.51.7 , 1.521.7 2（2）yx3 在 R 上是增函数,1.21.25 , 1.23 1.253（3）yx 1 在 0, 上是减函数, 5.255.26 ,5.25 15.26 1 ； y5.26x 是增函数,12 , 5.26 15.26 2 ；综上,5.25 15.26 15.26 2（4）00.53130.5,1, log3 0.50 ,3 log 0.50.5
13、33例 10已知幂函数求 m 的值30.5yxm2 2m3（ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点, 且关于原点对称,解： 幂函数yxm2 2m（ mZ ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点, m22m30 , 1m3 ；2 mZ , m2m3Z ,又函数图象关于原点对称, m22m3 是奇数, m0 或 m2 21例 11、求函数 y x 5 2x 5 4（ x 32）值域1解析： 设 t x 5 , x 32, t 2,就 y t2 2t 4（ t 1）23 当 t 1 时, ymin 32函数 y x 51 2x 5 4（ x 32）的值域为 3,）点评： 这是复合函数求值域的问题
14、,应用换元法五：课后练习1 、 如a 1在 同 一 坐 标 系 中 , 函 数 y=ax 和 y=logxa的 图 像 可 能 是 （）ABCD2. 求值 40.0625 +106-（） - 3433 =83. 以下函数在,0 上为减函数的是（）1 yx 3 yx2 yx3 yx 2答案：4. 已知 x=11x,y=,求23xyxy-的值yxy115. 如 a 2 a2,就 a 的取值范畴是（）A a1B a 0C 1 a0D 1 a0解析： 运用指数函数的性质,选C答案： C6. 以下式子中正确选项（）x xA log ay =log axy-log alog aB ylog a=logxya-log axlog aC yx=log a yD log ax-log axy= log a ylog a