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1、复数一学问网络图二复数中的难点(1) 复数的向量表示法的运算. 对于复数的向量表示有些同学把握得不好,对向量的运算的几何意义的敏捷把握有肯定的困难 . 对此应仔细体会复数向量运算的几何意义,对其敏捷地加以证明 .(2) 复数三角形式的乘方和开方 . 有部分同学对运算法就知道,但对其敏捷地运用有肯定的困难,特殊是开方运算,应对此仔细地加以训练.(3) 复数的辐角主值的求法 .(4) 利用复数的几何意义敏捷地解决问题. 复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都具有几何意义,对他们的懂得和应用有肯定难度,应仔细加以体会.三复数中的重点(1) 懂得好复数的概念,弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)
2、娴熟把握复数三种表示法,以及它们间的互化,并能精确地求出复数的模和辐角. 复数有代数,向量和三角三种表示法 . 特殊是代数形式和三角形式的互化,以及求复数的模和辐角在解决详细问题时常常用到,是一个重点内容.(3) 复数的三种表示法的各种运算,在运算中重视共轭复数以及模的有关性质. 复数的运算是复数的主要内容,把握复数各种形式的运算,特殊是复数运算的几何意义更是重点内容.（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.四基础学问621. 复数的定义：设 i 为方程 x =-1 的根, i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算；便产生形如 a+bi （ a,b R）的数,称为复数；全部
3、复数构成的集合称复数集；通常用 C来表示；1z=a+bi Rb=0 a,b Rz= zz2 0；2z=a+bi 是虚数b0 a, b R ；3z=a+bi 是纯虚数a=0 且 b0 a,b Rz z 0（z0）z20；4a+bi= c+dia=c 且 c=d a,b,c,dR ；2. 复数的几种形式； 对任意复数 z=a+bi（a,b R）,a 称实部记作 Rez,b称虚部记作 Imz. z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成；如将a,b 作为坐标平面内点的坐标,那么z 与坐标平面唯独一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内全部的点构成的集合之间的一一映射；因此复数可以用点来表
4、示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴, y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式；假如将a,b 作为向量的坐标,复数z 又对应唯独一个向量；因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式3. 共轭与模,如 z=a+bi ,（a,b R）, 就za-bi称为 z 的共轭复数；模与共轭的性质有： （ 1）z1z2z1z2；（2）z1z2z1z2；（ 3）zz| z |2 ；（4） z1z2z1；（ 5）| z122z2z2 | z1 | z2 |；（ 6）| z1 |z2| z1| z2| ；（7）|z 1|-|z2| |z 1 z2| |z 1 |+|z 2| ；（8）|z
5、 1+z2|+|z 1-z 2|=2|z 1|+2|z 2| ；22（ 9）如|z|=1 ,就z1 ；z4. 复数的运算法就：（ 1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法就与实数范畴内一样,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数； （ 2）按向量形式,加、减法满意平行四边形和三角形法就；复数的代数形式及其运算：设 z1= a +bi , z2 = c +di a,b,c,dR ,就：1z 1z2 = a + b c +di ；2z1. z2 = a+bi c+di （ ac- bd）+ ad+bc i ；3z1z2 = acbi cdi cdi di acbd22cdbcad i22cd z
6、2 0 ;4ni4ii0;几个重要的结论：11i 22i 2i 性质：T=4；i4 n 11, i4n 2i ,i4 n 31,ii ；i 4n4n 124n 33z1zz1z1 ； 1ii ; 1ii ;m12z1i1imn运算律：（1） zzzn ; 2zm nzmn; 3zz mmz1 z2m m,nN;共轭的性质：z1z2 z1z2；z1 z2z1z2； z1 z2z1； zz ；z2模的性质：| z1 | z2 | z1z2 | z1 | z2|； | z1 z2 | z1| z2z1| ； | z2| z1 | ；| z2 | zn | | z |n ；5. 复数相等的充要条件：两
7、个复数实部和虚部分别对应相等；6. 复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是： z+ z =0（且 z 0） .五习题1. 已知 a R,如1 ai 3 2i 为虚数,就 a 的值为3322A 2B. 2C 3D.3i2. 复数 12i i 是虚数单位 的实部是 2211A. 5 B 5C.5 D 53. 复数 z 是实数的充要条件是（） zz zzz2 为实数 zz 为实数4. 如复 数 z 满意 zz101 2i,就 z 等于（） 34i 34i 34i 34i5 13i3i 2等于（） 13 i 13 i 13 i13 i2444422226. zC ,如Mz|
8、 z12z1,就（） M实数 M虚数 实数 苘M复数 M7. 已知复数 z1abi , z21ai a, bR ,如 z1z2 ,就（） b1或 b1 1b1 b1 b08 32i 1i 表示（）点 3,2 与点 1,1 之间的距离点 3,2 与点 1, 1 之间的距离 点 3,2 与原点的距离点 3,1 与点 2,1 之间的距离9已知 zC , z2 1 ,就 z25i 的最大值和最小值分 别是（）2 411 和 411 3 和 1 52 和 34 39 和 310设 0 2 , a22 i 1 i cos2i ,就 的值为A. 23B. 3 4C. 3D. 411. 如 xC ,就方程 x
9、13ix 的解是（） 13 i x4,x1 43i13 i12222212. 满意条件ziz22 的复数 z 在复平面内对应的点的轨迹 是（）双曲线双曲线的一支两条射线一条射线13. 设 A, B 为锐角三角形的两个内角,就复数平面（）zcot Btan Atan Bcot Ai 对应的点位于复第一象限其次象限第三象限第四象限14. 已知复数 za 27 a62a1a 25a6i aR ,那么当 a=时, z是实数；当a 时, z 是虚数；当 a=时, z 是纯虚数；15. 如f z1zzC ,已知 z123i , z25i ,就 fz1z216. 复数 zm23m2 m22m8i 的共轭复数
10、在复 平面上的对应点在第一象限内, 就实数 m的取范畴是17. 已知 z1,就复数2z34i ,对应点的轨迹是18 设 zlog m23m3i log 2 m3mR ,如 z 对应的点在直线x2 y10 上,就 m 的值2是19. 已知向量OZ1对应的复数是 54i ,向量OZ2对应的复数是54i ,就OZ1+OZ2对应的复数是；20. 复数 z134i ,z20,z3c 2 c6 i在复平面内对应的点分别为A,B, C 如 BAC是钝角,就实数 c 的取值范畴为21. 已知复数 3 zz对应的点落在射线yx x 0 上, z12 ,求复数 z 22. 已知 z 是复数, z2i 与 z均为实数,且复数2izai 2 在复平面上对应的点在第一象限,求实 数 a的取值范畴