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1、八年级数学上册复习提纲第 11 章 数的开方11.1 平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：假如一个数的平方等于a,那么这个数叫做 a 的平方根；（也叫做二次方根）2即：如 x =a,就 x 叫做 a 的平方根；2、平方根的性质：（ 1）一个正数有两个平方根；它们互为相反数； （ 2）零的平方根是零；（ 3）负数没有平方根；二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数 a 的正的平方根,叫做 a 的算术平方根；2、算术平方根的性质： （ 1）一个正数的算术平方根只有一个且为正； （ 2） 零的算术平方根是零；（ 3）负数没有算术平方根；（ 4）算术平方根的非负性：a 0；三、平方根和算术平方根
2、是记号：平方根a （读作：正负根号 a）；算术平方根a （读作根号 a）即：“ a ”表示 a 的平方根,或者表示求a 的平方根；“ a ”表示 a 的算术平方根,或者表示求a 的算术平方根；其中 a 叫做被开方数； 负数没有平方根, 被开方数 a 必需为非负数, 即：a0；四、开平方：求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方；其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算；五、立方根1、立方根的定义：假如一个数的立方等于a,那么这个数叫做 a 的立方根；（也叫做三次方根）即：如 x3=a,就 x 叫做 a 的立方根；2、立方根的性质：（ 1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负；（ 3
3、）零的立方根是零；3、立方根的记号： 3 a （读作：三次根号 a）, a 称为被开方数,“3”称为根指数；3 a 中的被开方数 a 的取值范畴是： a 为全体实数；六、开立方：求一个数的立方根的运算,叫做开立方；其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算；七、留意事项：1、“ a ”、“ a ”、“ 3 a ”的实质意义：“ a ”问：哪个数的平方是 a； “ a ”问：哪个非负数的平方是 a；“ 3 a ”问：哪个数的立方是 a；2、留意 a 和 3 a 中的 a 的取值范畴的应用；如：如 x3 有意义,就 x 取值范畴是；（ x-3 0, x3）14（填： x 3）如 3x 2022有意义
4、,就 x 取值范畴是；（填：全体实数）3、 3a3 a ；如： 3273 , 3 273 , 3273 274、对于几个算数平方根比较大小,被开方数越大,其算数平方根的值也越大；如： 107652 等；2 3 和 32 怎么比较大小？ （你知道吗？不知道就问！ ！）5、算数平方根取值范畴的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照；如：确定 7 的取值范畴；4 7 9 , 2 7 3；6、几个常见的算数平方根的值：72.646 ；八、补充的二次根式的部分内容21.414 , 31.732 , 52.236 , 62.449 ,1、二次根式的定义：形如a （a 0）的式子,叫做二次
5、根式；2、二次根式的性质： 1abb0）；a .b （ a 0,b0）；2aba （a0, b3a 2a（ a0）；4a 2| a |3、二次根式的乘除法：（ 1）乘法：a .bab （ a 0,b0）；（2）除法：aa （ a0,b0） bb11.2 实数与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数；2、常见的无理数：（1） ）开方开不尽的数；如：10, 7, 6, 5, 2 , 210,71, 62,3 52 等；（2） ）“ ”类的数；如：, 1 , 32等；（ 3）无限不循环小数；如： 2.1010010001, -0.234242242224 ,等二、实数1、实数定义：有
6、理数与无理数统称为实数；2、与实数有关的概念：（1） ）相反数：实数 a 的相反数为 - a；如实数 a、b 互为相反数,就 a+b=0 ；（2） ）倒 数：非零实数 a 的倒数为1 （ a0）；如实数 a、b 互为倒数,就aab=1；aa0（ 3）肯定值：实数 a 的肯定值为：| a |0a0aa03、实数的运算：有理数的全部运算法就及运算律均适用于实数的运算；4、实数的分类：（1） ）根据正负性分为：正实数、零、负实数三类；（2） ）根据定义分为：5、几个“非负数”：（ 1） a2 0；（ 2） | a| 0；（ 3） a 0；6、实数与数轴上的点是一一对应关系；一、同底数幂的乘法第 12
7、 章 整式的乘除 12.1 幂的运算1、法就： am anap =am+n+p+ （ m、n、p均为正整数）文字：同底数幂相乘,底数不变,指数相加；2、留意事项：=（ 1） a 可以是实数,也可以是代数式等；234如： =343+42+3+4； -297-2=-22334=-2=-2 ；2+3553+4+182 2 =2 =2 ； a+b a+b a+b= a+b= a+b（2） ）肯定要“同底数幂” “相乘”时,才能把指数相加；（3） ）假如是二次根式或者整式作为底数时,要添加括号；二、幂的乘方1、法就： am n=amn（ m、n 均为正整数）；推广： am n ps=amn p s文字：
8、幂的乘方,底数不变,指数相乘；2、留意事项：63（ 1） a 可以是实数,也可以是代数式等；如： 2 3=2 3=；2 4=2 3 4=2 12； a-b 24= a-b 2 4= a-b 8（2） ）运用时留意符号的变化；mnm n153553（3） ）留意该法就的逆应用,即： a三、积的乘方= a ,如： a= a = a 1、法就： ab n=anbn（ n 为正整数）；推广： acde n=ancndnen文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方,再把所得的幂相乘；2、留意事项：（1） ） a、b 可以是实数,也可以是代数式等；3222222如： 2 =2=4；2 3 =2 3 =
9、2 3=6；33333333222-2 abc=-2a b c=- 8a b c； a+b a- b= a+b a- b（2） ）运用时留意符号的变化；nnn3333（3） ）留意该法就的逆应用,即： a b x+y 2 x- y 2= x+y x- y 2四、同底数幂的除法= ab；如： 2 3= 2 3=6 ,1、法就： am an=am-n（ m、n 均为正整数, m n,a 0） 文字：同底数幂相除,底数不变,指数相减；2、留意事项：434-3535-32（ 1） a 可以是实数,也可以是代数式等；64如： =；-2-2=-2=-2=4；2 2 =2 6-4=2 2=2； a+b16
10、a+b14= a+b16-14= a+b2=a2+2ab +b2（2） ）留意 a 0 这个条件；3（3） ）留意该法就的逆应用, 即：am-n = am an；如：ax-y = axay , x+y 2a-3 = x+y 2a x+y 12.2整式的乘法一、单项式与单项式相乘法就：单项式与单项式相乘,只要将它们的系数与系数相乘,相同字母的幂相乘,余外的字母照搬到最终结果中；222如：-5 a b -4 b c -3 ab=-5-4 -23 a2a b2b2 c234=-30 a b c二、单项式与多项式相乘法就：（乘法安排律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项,再将所得的积相加；如： 3x
11、2 x22 x1-3 x2 - x2+-3 x2 2 x 一-3 x2 1=3 x46 x33 x2三、多项式与多项式相乘法就：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再将所得的积相加；如： m+n a+b= ma+mb+n+anb2 把其中一个多项式看成一个整体（单项式） ,去乘以另一个多项式的每一项,再根据单项式与多项式相乘的法就连续相乘,最终将所得的积相加；如： m+n a+b= m+ n a+m+ n b= ma+ na+mb+nb12.3乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式： a+b a-b = a2- b2；名称：平方差公式；222222、留意事项：（ 1）a
12、、b 可以是实数,也可以是代数式等；如：10+910-9=10-9 =100-81=19；2 xy+a2 xy-a =2 xy- a =4 xy - a ；22 a+b+ a+b -=2 xy 2- a2=4 x 2y2- a2；（2） ）留意公式中的第一项、其次项各自相同,中间是“异号”的情形,才能用平方差公式；（3） ）留意公式的来源仍是“多项式多项式” ；二、完全平方公式1、公式： ab 2=a22a b+b2；名称：完全平方公式；2、留意事项：（ 1）a、b 可以是实数,也可以是代数式等；2如：2 +3=2 2 +2 2 3+3 =2+6 2 +9=11+6 2 ； mn-a2= mn
13、2 -2 mna+22222a = m n -2 mna+ a；222222 a+b - = a+b -2 a+b+= a +2a b+b -2a-b +；（2） ）留意公式运用时的对位“套用” ；（3） ）留意公式中“中间的乘积项的符号” ；3、补充公式： a+ b+ c 2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特殊提示：利用乘法公式进行整式的运算时留意“思维次序”是：“一看二套三运算”； 12.4整式的除法一、单项式除以单项式232-13-12法就：单项式相除,只要将它们的系数与系数相除,相同字母的幂相除,只在被除式中显现的字母,就连同它的指数一起作为商的一个因式；如： -21 a
14、b c3ab=-21 3 ab c =-7 ab c23243632436+13+243（2x y） （-7xy）14x y=8x y（-7xy）14x y=8 （-7 ） xy14x y=（-56 14）x7-4 y5-3 =-4x3y25（2a+b）4（2a+b）2=（51）（2a+b）4-2 =5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式323法就：（乘法安排律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式,再将所得的商相加；如： 21x24y3-35x 3y2+7x222y2 -7x2y=21x 4 y -7x2y-35xy -7x2y+ 7x2
15、y2 -7x y=-3xy +5xy-y4y2x-y-2x2x-y2x-y= 4y2x-y 2x-y-2x2x-y2x-y=4y-2x整式的运算次序：先乘方（开方） ,再乘除,最终加减,括号优先；12.5因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做因式分解；（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来,使多项式化为两个因式的积,这种分解因式的方法叫做提公因式法；公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式；2n2n2n+12n+1详细步骤：（ 1）“看”；观看各项是否有公因式； （2）“隔”；把每项的公因式“隔离”出来
16、；（ 3）“提”；根据乘法安排律的逆运用把公因式提出来,使多项 式化为两个因式的积； a-b=b- an 为正整数 ； a-b=-b- an 为正整数 ；22如： 8a b-4ab+2a=2a 4ab- 2a2b+2a1=2a4ab-2b+1； -5 a +25 a= -5aa+5a 5=-5 a a+5 留意：凡给出的多项式的“首项为负”时,要连同“- ”号与公因式一并提出来；三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法,叫做公式法；1、平方差公式： a 2- b2= a+b a-b ；名称：平方差公式；留意事项：（1）a、b 可以是实数,也可以是代数式等；2222222如： 10 -9=10
17、+910-9=191=19； 4 x y - a =2 xy - a =2 xy+a2 xy-a ；22n122n12n12n1 2 n12n18n（2） ）留意公式中的第一项、其次项各自相同,中间是“异号”的情形,才能用平方差公式；（3） ）留意公式的结构好形式,运用时肯定要判定精确；2、完全平方公式： ab 2=a22a b+b2；名称：完全平方公式；留意事项：（1）a、b 可以是实数,也可以是代数式等；2222222222y 2如：mn -2 mna+a = mn -2 mna+ a = mn-a ；x +4xy+y =x +2x2y+2 y = x+2（2） ）留意公式运用时的对位“套
18、用” ；（3） ）留意公式中“中间的乘积项的符号” ；四、补充分解法：21、公式： x + a+b x+ab= x+a x+b ；2222如： x +5x+6= x +2+3 x+23= x+2 x+ 3 ； x +5x- 6=x+6+-1x+6-1=x+6 x -1如：x29x14 = x+2 x+ 7x22 x1212171-42+7=92+ -4=-22、“十字相乘法”8 = x+2 x -4五、综合1、留意利用乘法公式进行因式分解时留意“思维次序”是： “一看二套三分解”；2、遇到因式分解的题目时, 其整体的思维次序是：（ 1）看首项是否为 “一”, 如为“一”,就要留意提负号； （2
19、）看各项是否有公因式,如有公因式,应当首先把公因式提取出来再说； （3）没有公因式时,就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法” ；3、留意事项：（ 1）留意（ a-b）与（ b-a ）的关系是互为相反数； （2）因式分解要完全, 不要只提出公因式就完, 仍要看剩下的因式是否可以连续分解； （ 3） 现阶段的因式分解的题目,一般都要求在有理数范畴内分解,所以不能显现带根号的数；（ 4）留意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解,不要乱用此法；第 13 章全等三角形命题 定义： 可以判定真假的陈述句叫命题,正确的命题叫真命题, 错误的命题叫假命题；一个命题分题设和结论两部分；公理：
20、 有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的, 并把他作为判定其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫公理；定理： 从公理或其他真命题动身,用规律推理的方法证明它们是正确的,并可以作为判定其他命题真假的依据,这样的命题叫定理；互逆命题： 两个命题中,假如第一个命题的题设是其次个命题的结论,而第一个命题结论是其次个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个命题就叫做逆命题；互逆定理： 假如一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理；五种基本尺规作图画线段画角画垂直平分线 过已知点画垂线画角平分线1. 等腰三角形的
21、判定 :假如一个三角形有两个角相等, 那么这个三角形所对的边也相等； 假如三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形；性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2. 角平分线：判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上3. 垂直平分线：性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等判定：到线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上；1. 全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形；角相等2. 全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；表示方法： ABCDEF全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应3. 三角形全等的判定：N
22、o.1 边边边 SAS : 三边对应相等的两个三角形全等；No.2 边脚边（ SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； No.3 角边角（ ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等； No.4 角角边（ AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等；No.5 斜边,直角边 HL ：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等；第 14 章 勾股定理一、直角三角形三边的关系 14.1 勾股定理o1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；几何语言：如图,在 Rt ABC中, C=90,AcA、 B、 C所对的边分别是 a、b、cb222就有： a +b
23、=c ；CaB2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想： “面积拼图法”；3、留意事项：（ 1）勾股定理必需在 Rt 使用,如遇到非 Rt ,就可引垂线段“造” Rt ；（2）留意 Rt中告知的“直角”是哪个,以便精确确定“斜边” ；（ 3）在运用勾股定理求边长时,要用到“开平方”运算,肯定要指明“边长为正”的条件,求的是边长的算数平方根；二、Rt 的判定1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形；2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形；3、勾股定理的逆定理：如 ABC的三边 a、b、c 满意 a2+b2=c2,就 C=90o；222“勾股数”：指三个满意 a +b =c 的正
24、整数,我们称为勾股数；留意勾股定理的逆定理的应用,只要涉及三角形三边长的问题,都要判定一下是否为 Rt ；三、反证法的步骤： 先假设是正确的,然后通过, 推出与基本领实,或相冲突,说明,从而得到；14.2 勾股定理的应用常见问题：1、求最短路径问题；如“蚂蚁爬树” 、“到两个点的路程之和最短”等问题；2、“通过问题”；如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题；3、“干扰问题”；如“台风影响”、“噪音影响”等问题；4、阴影面积问题；5、作图中的作 2 , 3 , 5 , 13 等问题；15 数据的收集与表示生活中的数据无处不在,当大量的数据出现在我们面前时,我们要收集、整理、分析这些数据,从而为我们
25、的决策供应依据频数、总次数、频率之间的关系（用公式表示）频数=总数频率总次数 = 频数频率频率=频数总数调查和借助统计图表是收集数据的基本方法. 做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段1. 常见的统计图有:1扇形统计图2折线统计图3条形统计图扇形统计图能清晰地表示各部分的总体中所占的百分比,条形图能精确地表示出每个项目的详细数目,折线图能清晰地反映事物的变化趋势2. 扇形统计图及其特点 :(1) 扇形统计图是利用圆和扇形来表示总数和部分的比例关系 ,即用圆表示总数.用扇形表示部分对象所占的比例,扇形的大小反映频率的大小(2) 扇形统计图能清晰的表示各部分在总体中所占频率3 扇形中心角运算方法 :0(1) 扇形的中心角 =360 频率 .(2) 如已知扇形统计图 , 用量角器量出每个扇形圆心角的读数.(3) 部分占总体的百分比 =总体4. 画扇形统计图的步骤100% .1;2;3;