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1、提分专练(四)与图形变化有关的几何证明与计算题|类型1|平移与对称的几何计算1.2022福州质检如图T4-1,将ABC沿射线BC平移得到ABC,使得点A落在ABC的平分线BD上,连接AA,AC.(1)判断四边形ABBA的形状,并证明;(2)在ABC中,AB=6,BC=4,假设ACAB,求四边形ABBA的面积.图T4-12.如图T4-2,在正方形纸片ABCD中,假设沿折痕EG翻折,那么顶点B落在AD边上的点F处,顶点C落在点N处,点M是FN与DC的交点,且AD=8.(1)当点F是AD的中点时,求FDM的周长;(2)当点F不与点A,D和AD的中点重合时,假设AE+GD=192,求AF的长.图T4-
2、23.2022福州如图T4-3,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将ADM沿直线AM翻折,得到ANM.(1)当AN平分MAB时,求DM的长;(2)连接BN,当DM=1时,求ABN的面积;(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.图T4-3|类型2|与旋转有关的几何计算与证明4.2022福建中考二模如图T4-4,ACBC,垂足为C,AC=4,BC=33,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60,得到线段AD,连接DC,DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.图T4-45.2022福州福清九年级第一学期期末将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG,点E在BD
3、上.(1)求证:FD=AB;(2)连接AF,求证:DAF=EFA.图T4-5【参考答案】1.解:(1)四边形ABBA是菱形.证明如下:由平移得AABB,AA=BB,四边形ABBA是平行四边形,AAB=ABC.BA平分ABC,ABA=ABC,AAB=ABA,AB=AA,ABBA是菱形.(2)过点A作AFBC于点F.由(1)得BB=BA=6.由平移得ABCABC,BC=BC=4,BC=10.ACAB,BEC=90,ABAB,BAC=BEC=90.在RtABC中,AC=BC2-AB2=8.SABC=12ABAC=12BCAF,AF=ABACBC=245,S菱形ABBA=BBAF=1445,菱形ABB
4、A的面积是1445.2.解:(1)在AEF中,设AE=m,那么EF=BE=8-m,由题意知,AF=4,A=90,42+m2=(8-m)2,解得m=3,AE=3,EF=5,AEF的周长为12.MFE=90,DFM+AFE=90,A=D=90,DMF+DFM=90,AFE=DMF,AEFDFM,AEDF=34=12FDM的周长,FMD的周长=16.(2)如图,设AF=x,那么EF=8-AE,x2+AE2=(8-AE)2,AE=4-116x2,过点G作GKAB于K,连接BF交GE于P.B,F关于GE对称,BFEG,FBE=KGE,在正方形ABCD中,GK=BC=AB,A=EKG=90,AFBKEG,
5、AF=EK=x,AK=AE+EK=4-116x2+x,AE+DG=192,DG=AK,4-116x2+4-116x2+x=192,即x2-8x+12=0,解得x=2或x=6,AF=2或AF=6.3.解:(1)由折叠性质得:ANMADM,MAN=DAM,AN平分MAB,MAN=NAB,DAM=MAN=NAB,四边形ABCD是矩形,DAB=90,DAM=30,DM=ADtanDAM=3tan30=333=3.(2)延长MN交AB延长线于点Q,如图所示.四边形ABCD是矩形,ABDC,DMA=MAQ,由折叠性质得:ANMADM,DMA=AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1,MAQ=AMQ,MQ=A
6、Q,设NQ=x,那么AQ=MQ=1+x,ANM=90,ANQ=90,在RtANQ中,由勾股定理得:AQ2=AN2+NQ2,(x+1)2=32+x2,解得:x=4,NQ=4,AQ=5,AB=4,AQ=5,SNAB=45SNAQ=4512ANNQ=451234=245.(3)过点A作AHBF于点H,如图所示.四边形ABCD是矩形,ABDC,HBA=BFC,AHB=BCF=90,ABHBFC,BHAH=CFBC,AHAN=3,AB=4,当点N,H重合(即AH=AN)时,AH最大,BH最小,CF最小,DF最大,此时点M,F重合,B,N,M三点共线,如图所示.由折叠性质得:AD=AH,AD=BC,AH=
7、BC,在ABH和BFC中,HBA=BFC,AHB=BCF,AH=BC,ABHBFC(AAS),CF=BH,由勾股定理得:BH=AB2-AH2=42-32=7,DF的最大值=DC-CF=4-7.4.解:(1)4解析AC=AD,CAD=60,ACD是等边三角形,DC=AC=4.故答案是:4.(2)作DEBC于点E.ACD是等边三角形,ACD=60,又ACBC,DCE=ACB-ACD=90-60=30,RtCDE中,DE=12DC=2,CE=DCcos30=432=23,BE=BC-CE=33-23=3.RtBDE中,BD=DE2+BE2=22+(3)2=7.5.证明:(1)方法一:由旋转性质可得,AE=AB,AEF=ABC=DAB=90,EF=BC=AD,AEB=ABE,又ABE+EDA=90=AEB+DEF,EDA=DEF,在AED和FDE中,AD=FE,EDA=DEF,ED=DE,AEDFDE(SAS),DF=AE,又AE=AB,FD=AB.方法二:如图,连接AC,AF,由旋转性质可得,AC=AF,又矩形ABCD中,ADCD,CD=DF,CD=AB,FD=AB.(2)如图,设AD与EF交于点H.由(1)得EDA=DEF,HE=HD.又EF=AD,EF-HE=AD-HD,即HF=HA.DAF=EFA.5