《2022年华南理工大学高等数学统考试卷下08期中.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年华南理工大学高等数学统考试卷下08期中.docx（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品学习资源2021-2021 高等数学下册期中考试试卷考试时间： 90 分钟：班级：成果单号：2一、填空题 54 欢迎下载精品学习资源1、5 分 求函数zx2y在点 0,0 处沿方向 1,0 的方向导数欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源zx2y20欢迎下载精品学习资源解：由定义llim10欢迎下载精品学习资源2、5 分求函数 uxxyxyz 在点 M1,0,3的梯度欢迎下载精品学习资源解gradu M1yyz, xxz, xy1,0,31,4,0欢迎下载精品学习资源3、5 分求曲面xyyzzx1 在点 3, 1,2 处的切平面方程和法线方程欢迎下载精品学习资源解 令Fx, y, zxy
2、yzzx1 ，欢迎下载精品学习资源就nyz, xz, yx3, 1,21,5,2欢迎下载精品学习资源从而切平面方程为 x35 y1 2 z2 0 ，即 x5 y2 z20欢迎下载精品学习资源法线方程为 x3y 1z2522x42欢迎下载精品学习资源4、5 分 交换积分次序 dxfx, y dydxfx, y dy1x2x1x22x4解 积分区域为两个小区域之并 D1 :, D2 :xyxxy2欢迎下载精品学习资源作图得知合并后的区域也可表示为1y2D1D2 :2欢迎下载精品学习资源yxy2x422y2从而 dxfx, y dydxfx, y dydyfx, y dx1x2x1y欢迎下载精品学习
3、资源二、 8 分设2 zz fxy, xy, xy ，其中具有二阶连续偏导数，求 dz 与x y欢迎下载精品学习资源解 dzf1dxdyf2dxdyf3ydxxdy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f1f 2yf3dxf1f 2xf3 dy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而 z xf1f 2yf3 ，2 zf1x yyf2yf3f11 1f121f13 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f 21 1f221f23xf3yf31 1f321f33x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f3f11f22xyf33xyf13xyf 23欢迎下载精品学习资源三、 8 分设 f
4、 s,t 具有连续的偏导数，且 f s,t 0 ，方程 f y , z0 确定xx了z 是 x, y 的函数，试求 xzyzxy欢迎下载精品学习资源解： fxdyydxfxdzzdx0 ，解出 dzyf1zf2 dxxf1dy欢迎下载精品学习资源1 x22 x2xf2欢迎下载精品学习资源从而 xzyzzxy欢迎下载精品学习资源四、8 分 求抛物面zx2y2 与平面 xy2z20 之间的最短距离欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： 设点Mx, y, z 在抛物面上，就其到平面的距离为xy2z2d6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源先求 fx, y, z6 d 2xy2 z222在
5、xy2z0 下的最小值点：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 Lxy22 z2x2y2z欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源Lx2 xy就由2 z22 x0, Ly2 xy2 z22 y0，欢迎下载精品学习资源Lz4 xy2 z20, Lx2y 2z0欢迎下载精品学习资源112 12欢迎下载精品学习资源,得最小值点1 1 14 4 8，从而最短距离为d min44876624欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源五、8 分设直线 L :xybxayz0在平面 上，而平面与曲面30zx2y 2相欢迎下载精品学习资源切于点 1, 2,5 ，求 a, b之值；欢迎下载精品学习资源解：
6、由曲面得切平面法向量2 x,2 y,11, 2,52,4,1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而有切平面方程为 2 x4 yz50欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由直线 L :x yb0得：yxb, xby zb3欢迎下载精品学习资源xayz30a1yzb31a1欢迎下载精品学习资源从而由该直线必平行于平面知s n241a0, a5 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在由该直线上的点要在平面上得2b4 03b50,b2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源六、 8 分 运算Dx y dxdy ，其中2Dx, yx12y 12, xy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习
7、资源解令ux1,vy1 ，得 xu1, yv1,dxdyJ dudvdudv欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源uvDu, v u 2v22,uvr ,0r2,544欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而xy dxdyuv dudv524 drcosr sinrdr欢迎下载精品学习资源DDuv40欢迎下载精品学习资源54cossin42dr 2dr0sincos532r4843 03欢迎下载精品学习资源七、 8 分 运算二重积分yx21dxdy，其中DD : 0x2,0y2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： 用 yx21 将区域划分为两个D :0x1, x21y2, DDD
8、欢迎下载精品学习资源121欢迎下载精品学习资源yx21dxdyDyx2D11 dxdyx21D2y dxdy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2yx21 dxdyx21 y dxdy122 dxyx21 dy欢迎下载精品学习资源D1D0x 2 1欢迎下载精品学习资源221y2222y2欢迎下载精品学习资源dxx21y dy2x21y dxx21 ydx欢迎下载精品学习资源0002x2 1020欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源214x212 x211x22dx2 x212 dx欢迎下载精品学习资源00欢迎下载精品学习资源125313 2欢迎下载精品学习资源x42 x21 dx2 x
9、2dxx2 xx2x88欢迎下载精品学习资源315005300欢迎下载精品学习资源八、8 分 运算Ix2y2 dv ，其中为平面曲线y22z绕 z 轴旋转一周欢迎下载精品学习资源的曲面与平面 zx08 所围的区域；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：由交线x2y22zz 8知在 xoy 面上的投影域为D : x2y 216欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源用柱坐标运算248Idr 2rdrdz1024欢迎下载精品学习资源00r 232欢迎下载精品学习资源九、 8 分 设由曲面zx2y2与 z2x2y 2所围成的立体中每点的密度与欢迎下载精品学习资源该点到 xOy 平面距离成正比，
10、试求该立体的质量M欢迎下载精品学习资源解：由交线zx2y2知立体在 xOy 面上的投影域为D : x2y21欢迎下载精品学习资源z2x2y 2欢迎下载精品学习资源212 r欢迎下载精品学习资源用柱坐标运算Izdvdrdrzdz3欢迎下载精品学习资源00r 24欢迎下载精品学习资源十、求曲面zx2y 2 被柱面 x2y2axa0 所截下的有限曲面片的面积；欢迎下载精品学习资源x解： zx, zy,dSxy1z2z2 dxdy2dxdy欢迎下载精品学习资源yx2y2x2y2欢迎下载精品学习资源从而该面积 =2dxdy22a2a 2欢迎下载精品学习资源x2y 2 ax24欢迎下载精品学习资源十一、
11、8 分运算积分xyz2dv ，其中是zx2y2 和 x2y2z22 所欢迎下载精品学习资源围成的空间闭区域；欢迎下载精品学习资源解：由zx2y2,z2120, z1 ，欢迎下载精品学习资源x2y2z22欢迎下载精品学习资源从而在 xOy 上投影域为 x2y21，且关于坐标平面xOz, yOz 都对称，欢迎下载精品学习资源212 r 2欢迎下载精品学习资源因此xy2zdvx2y 2z2dvdrdrr 2z2 dz欢迎下载精品学习资源00r 211欢迎下载精品学习资源22 r 22r 222r 2r 41 r 6rdr2 t222t22tt 21 t 3 dt欢迎下载精品学习资源03330333欢迎下载精品学习资源12314541311欢迎下载精品学习资源2t 22 2tt 2t3dt2t 22t 2t 3t4欢迎下载精品学习资源0331533120892426015欢迎下载