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1、北京市顺义区 2021 届高三下学期其次次统练数学理试题一、挑选题 .共 8 小题 ,每题 5 分,共 40 分.在每题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.学习文档 仅供参考AxR3x2 , BxR x 24x30 ,就 ABA.3,132i1i15B.3,115C. 1,215D.,23,15A. iB. iC. iD. i2222222223. 在极坐标系中 ,直线的方程为sin,就点A 2, 3442到直线的距离为开头A.2B.4. 执行如以下图的程序框图,输出的 s 值为A.10B.32k1, s12kk1an中 , an4n5 , 等 比 数 列bn的 公 比 q 满 足k5
2、 .是否s2skqanb1b2nan 1 n2 bn,且b1a2,就n输出 s终止A. 1414nC.3B. 414n1D.3x, y 满意约束条件x2y 2xy4xy2,4, 就 23x1y的取值范畴是A.2 , 142B.1 ,642C.2 ,644D.1 ,2264ABC 的 边 长 为1, 点 P是AB边 上 的 动 点 , 点 Q是AC边 上 的 动 点 , 且APAB, AQ3A.21AC,3B.2R ,就 BQCP 的最大值为33C. D.88m, nR ,假设直线l : mxny10 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于点B ,且坐标原点 O 到直线的距离为3 ,就 AO
3、B 的面积 S 的最小值为1A.B.22二、填空题 本大题共 6 个小题 ,每题 5 分,共 30 分.把答案填在题中的横线上9159.x的绽开式中含xx 的项的系数为用数字作答 .ABC 的 内 角A, B,C的 对 边 分 别 为a,b, c , 且Dcos A1 ,B3, b54,就AFB Esin C,ABC 的面积 S.11. 如图 , 已知圆中两条弦AB 与 CD 相交于点F , E 是 ABC延长线上一点 , 且 DFCF2 , AF2 BF,假设 CE 与圆相切 , 且7CE,就 BE.212. 一个几何体的三视图如以下图,假设该几何体的外表积为92m2 ,就 hm.h正主视图
4、侧 左主视图54x2y 22俯视图26x2y2a 2b21 a0,b0 的离心率为3,顶点与椭圆81 的焦点相同 ,那么该双曲线5的焦点坐标为,渐近线方程为.R 上 的 函 数 f x是 最 小 正 周 期 为 2的 偶 函 数 , fx 是 f xx0,时 , 0f x1 ; 当x0,且 x时 ,xfx 220 . 就 函 数 yf xcosx 在3 ,3上 的 零 点 个 数为.,证明过程或演算步骤 15.本小题总分值13 分已知函数 f x3 cos xsin xsin 2 x1.(I) 求 f的值 ;32 cos x2(II) 求函数f x 的最小正周期及单调递减区间.16.本小题总分
5、值14 分如 图 , 在 长 方 体ABCDA1D1A1 B1C1D1中 , AA1AD点.1 , E 为 CD 的 中 点 , F 为B1C1FAA1 的中(I) 求证 : AD1(II) 求证 : DF平面/ 平面A1B1E ;AB1E ;(III) 假设二面角AB 的长 .AB1EA1 的大小为AB45, 求DEC17.本小题总分值13 分为增强市民的节能环保意识,某市面对全市征召义务宣扬理想者.从符合条件的500 名理想者中随机 抽 取 100名 志 愿 者 , 其 年 龄 频 率 分 布 直 方 图 如 下 列 图 , 其 中 年 龄 分 组 区 间是: 20,25 ,25,30 ,
6、30,35 ,35,40 ,40,45 .(I) 求图中 x 的值并依据频率分布直方图估量这500 名理想者中年龄在“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 .频率/ 组距x35,40岁的人数 ;O202530354045年龄 /岁18.本小题总分值13 分ex已知函数 f x11 ax2,其中 a 为正实数 , e2.718.(I) 假设 x是 y2f x 的一个极值点 ,求 a 的值 ;(II) 求 f x 的单调区间 .19.本小题总分值14 分2已知椭圆 C : xa 2y1 a2b2b0 的两个焦点分别为F1, F2 , 且F1F22 , 点 P 在椭圆上 ,
7、且PF1F2 的周长为 6.(I) 求椭圆 C 的方程 ;(II) 假设点 P 的坐标为2,1,不过原点 O 的直线与椭圆 C 相交于A, B 两点 ,设线段 AB 的中点为 M ,点 P 到直线的距离为 d ,且 M , O, P 12 AB 21313 d 2 的最大值 .1620.本小题总分值13 分已知函数 f x2aex1, g xln xln a1ln 2 ,其中 a 为大于零的常数 , e2.718,函数yf x的图像与坐标轴交点处的切线为l 1 ,函数 yg x 的图像与直线y1 交点处的切线为l 2 ,且 l1 / l 2 .(I) 假设在闭区间1,5上存在 x使不等式 xm
8、x fxx 成立 ,求实数 m的取值范畴 ;(II) 对于函数 yf x 和 yg x 公共定义域内的任意实数x0 ,我们把f x0g x0的值称为两函数在x0 处的偏差 .求证 :函数 yf x 和 yg x 在其公共定义域内的全部偏差都大于2.顺义区 2021 届高三其次次统练数学试卷 理工类 参考答案一、 ABBABCDC二、 9.3610. 42100252,69111.212.413.22 ,0 , y15 x 314.6三、 15.解 :I f3 cos3sin3sin 23133132cos233222121220121.4 分2IIcosx0,得 xkkZ 2故 f x的定义域
9、为xR xk, kZ.2由于 fx3 cos xsin xsin 2x12 cos x sin x3 cos x2sin x123 sin 2 x 2sin 2 x123 sin 2 x 21cos 2 x1223 sin 2 x 21 cos 2 x2sin2x,6所以 fx 的最小正周期为T2.2由于函数ysinx 的单调递减区间为2 k,2 k23kZ,2由 2k得 k2 x2k26xk2, x3, x2kkkZ ,2kZ ,所以 f632x 的单调递减区间为k,k 6, k, k222kZ .313 分16.I 证明 :在长方体ABCDA1 B1C1 D1 中,由于 A1 B1平面 A
10、1 ADD1 ,所以 A1 B1AD1 .由于 AA1AD ,所以四边形ADD1 A1 为正方形 ,因此 AD1A1D ,又 A1B1A1 DA1 ,所以 AD1平面 A1B1D .又 A1B1/ CD ,且A1 B1CD ,所以四边形A1B1CD 为平行四边形 .又 E 在 CD 上,所以 AD1平面 A1B1E .4 分(II) 取AB1 的中点为 N ,连接 NF .由于 F 为AA1 的中点 ,所以A1 B1 ,由于 E 为 CD 的中点 ,所以2NF /1 A B且 NF11212DE1 CD,而 CD /A1B1,且 CDA1B1,所以 NF / DE ,且 NFDE ,因此四边形
11、 NEDF 为平行四边形 ,所以 DF / EN ,而 EN平面AB1 E ,所以 DF/ 平面AB1 E .9 分(III) 如图 ,以 A 为坐标原点 ,建立空间直角坐标系Axyz,设 ABa ,就 A 0,0,0 , D0,1,0, D10,1,1 , Ea ,1,02, B1a,0,1 ,故 AD10,1,1 , AB1a,0,1 , AEa ,1,0.2由I 可知AD1平面 A1 B1E ,所以 AD1是平面A1B1 E 的一个法向量 .设 平 面AB1E的 一 个 法 向 量 为znx, y, z ,A1D1就 n AB1ax所以a0, nAE0 ,z0,B1C1Fxy0N2y令
12、x1,就 ya , za ,A2DExBC所以 n1,a ,a.2设 AD1 与 n所成的角为,就aacosn AD1n AD12.221aa 24由于二面角 AB1 EA1 的大小为 45 ,所以 coscos45 ,即3a22 ,5a 22214解得 a1 ,即 AB 的长为 1.14 分17. 解:I 小矩形的面积等于频率,除 35,40外的频率和为 0.70,10.70x50.06 .3 分500 名理想者中 ,年龄在35,40岁的人数为0.065500150人.II 用分层抽样的方法 ,从中选取 20 名,就其中年龄“低于35 岁”的人有 12 名,“年龄不低于 35 岁”的人有 8
13、 名.故 X 的可能PX0PX1PX2PX3取值为C38C320120,1,2,3,14,285C12 C828C3,209521C12 C844C3,2095C31211C3,2057故 X 的分布列为012314284411285959557X所以 EXP014285128952449531157171.9513 分18. 解: fax2x112ax ax21 ex2.(I) 由于x是函数 y2fx 的一个极值点 ,1所以 f2因此 1 aa 44解得 a.30 ,10 ,4时，x1是 yf x 的一个极值点，故所求a 的值为4323经检验，当 a.4 分(II) fxax 212ax a
14、x21 ex2a0令 fx0 得 ax22ax10 i 当22a4a0 ,即 a1时,方程两根为2a4a24aaa 2a2aaax1, x2a2a.a此时 fx 与 fx 的变化情形如下表:x, aa2a aaa2a aaa 2aa , aa 2a a2aaaa2aaa ,afx00f x极大值微小值所以当 a1 时, f x 的单调递增区间为, aa 2aaa,a2aa,;f x递减区间为aa 2aa,aa 2aa.ii 当4a 24a0 时,即 0a1 时, ax 22ax10 ,即 fx0 ,此时 f x 在,上单调递增 .所以当 0a1时, f x 的单调递增区间为,.13 分19.解
15、:I 由已知得 2c2, c2 且 2a1 ,2c6 ,解得 a又 b 2a 2c23 ,所以椭圆 C 的方程为x2y 21.的单调433 分II 设A x1 , y1, B x2, y2 .当直线与 x 轴垂直时 ,由椭圆的对称性可知 ,点 M 在 x 轴上 ,且与 O点不重合 ,明显 M , O, P 三点不共线 ,不符合题设条件 .故可设直线的方程为ykxm m0 .ykxm,由22消去 y 整理得3x4y34k 2 x2128kmx4m 2120 .就64k 2 m24 34k 24m2120 ,x1x2x x34m28km4k 212,所以点 M 的坐标为4km34k 23m,2.3
16、4k1 234k 2由于 M , O, P 三点共线 ,所以kOMk OP ,33m4k 22km,34k 2由于 m0 ,所以 k3 ,2x1x2m,此时方程为3 x23mxm230 ,就3 12m20 ,x1x2m2332所以 AB2x2x12y2y11k 213x1x2224 x1x2121282mm,2 m4又 d,322213所以 12 AB 21313 d 216212 m 2m4 423m452 ,433故当 m4323 ,0 时, 12 AB 21313 d 的最大值为 52 .216313 分20.解:I 函数 yfx 的图像与坐标轴的交点为0,2a1 ,又 fx2aex ,
17、f02a .函数 yg x 的图像与直线 y1的交点为2a,1 ,又 gx1 ,g2a1 .x2a由题意可知 , 2a1 ,a 21 ,2a4又 a0 ,所以 a1.3 分2不等式 xmx fxx 可化为 mxx fxx ,x即 mxxe .令 h xxx e ,就 h x11x2xx ex ,x0,12xx2 .又 x0时, ex1 ,1xxe1,2x故 h x0 ,h x 在 0,上是减函数 ,即 h x在 1,5上是减函数 ,因此 ,在闭区间1,5上,假设存在 x 使不等式 xmx fxx 成立 ,只需 mh 11e,所以实数 m的取值范畴是,1e.8 分II 证明 : yf x 和 yg x 公共定义域为0,1,由 I 可知, a.2fxg xexln x .令 q xexx1,就 q xex10 ,q x 在 0,上是增函数 ,故 q xq 00 ,即 ex1x .令 m xln xx1 ,就 mx11 ,x当 x1时, m x0 ;当 0x1 时, m x0 ,m x 有最大值 m 10 ,因此ln x1x .由得 ex1ln x1,即 exln x2 .又由得 exx1x ,由得ln xx1x,exln x ,f xg xexln x2 ,故函数 yfx 和 yg x 在其公共定义域内的全部偏差都大于2.