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1、北京市延庆县 2021 届高三一模统考数学文科2021 年 3 月本试卷共 4 页，总分值 120 分，考试时间 120 分钟第一卷挑选题一、挑选题：本卷共8 小题，每题 5 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的 .1. 已知集合M x | x1, N x | 2 x1 ，就 MN =A.B. x | x0C. x | x1D. x | 0x12命题“xR, exx ”的否认是AxR,exxB xR, exxCxR,ex已知等差数列xDxR, exx3.1,a,b ，等比数列3, a2, b5 ，就该等差数列的公差为A 3 或3B 3 或1C 3D34. 已知函
2、数f xlog 4 x, x0，就1 16A.9B.3x , x190f f C.9D.195.已知圆的方程为x 2y 26x8y0 ，设该圆过点 3,5 的最长弦和最短弦分别为和 BD ，就四边形 ABCD的面积为A. 106B.20 6C.306D.40 66. 已知直线 l1 : axa1 y10 ， l 2 : xay20 ，就“ a2 ”是“ l1l2 ”A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 一四周体的三视图如以下图，就该四周体四个面中最大的面积是A 2B.22C 3D.2 3f xx2abxab2ab 的两个7 题图AC学习文档 仅供参
3、考零点为, ，就实数a,b,的大小关系是A. abB.abC.abD.ab第二卷非挑选题二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分.9. 已知 | a |1 ， |b |2 ，向量 a 与 b 的夹角为 60 ，就 | ab |.10. 假设复数 zm2m2m1i为虚数单位为纯虚数，其中 mR，就 m.11. 执行如图的程序框图，假如输入p6 ，就输出的 S.ABC 中，a, b, c 依次是角A, B, C 的对边，且 bc .假设 a2, c23, A，就角 C.613. 设 x, y 满意约束条件xy1x2y23x2 y3，假设 z22x4y ，就 z 的取值范畴是.14.
4、 已知定义在正整数集上的函数f n 满意以下条件：1f mnf mf nmn ，其中m, n 为正整数；2f 36 .就 f 2021.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 本小题总分值 13 分已知 f x3 sin 2 x2 sin 2 x .求f x 的最小正周期和单调递增区间；假设 x0, ，求6f x 的最小值及取得最小值时对应的x 的取值16. 本小题总分值 14 分如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为菱形，ABC60 ， PPA底面 ABCD ，PAAB2 ， E 为 PA 的中点 .E学习文档 仅供参考MADBC
5、 求证：PC / 平面 EBD ；学习文档 仅供参考求三棱锥CPAD 的体积 VCPAD ；在侧棱 PC 上是否存在一点 M ，满意 PC平面 MBD ， 假设存在，求 PM 的长；假设不存在，说明理由.17. 本小题总分值 13 分某市电视台为了宣扬举办问答活动，随机对该市15 65 岁的人群抽样了 n 人，答复以下问题统计结果如图表所示分别求出a, b, x, y 的值；从第 2,3,4组答复正确的人中用分层抽样的方法抽取6 人，就第 2,3,4组每组应各抽取多少人 .在的前提下，电视台打算在所抽取的6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖，求:所抽取的人中第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概
6、率18. 本小题总分值 13 分已知函数f x2a 2 ln x1 x22ax aR . 当 a1 时，求曲线 yf x 在点1,f 1的切线方程；争论函数f x 的单调性 .19. 本小题总分值 14 分在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点F1, F2在 x 轴上，离心率为 1 .2过 F1 的直线交椭圆C 于A, B 两点，且ABF2 的周长为 8. 过定点M 0,3 的直线l1 与椭圆C 交于 G, H两点点 G 在点M , H之间 . 求椭圆 C 的方程；设直线l1的斜率 k0 ，在 x 轴上是否存在点Pm,0 ，使得以 PG 、 PH 为邻边的平行四边形为菱形 .
7、 假如存在，求出 m 的取值范畴；假如不存在，请说明理由.20. 本小题总分值 13 分A 是由定义在 2,4 上且满意如下条件的函数 x 组成的集合：(1) 对任意 x1,2 ，都有 2 x1,2 ；(2) 存在常数L 0L1 ，使得对任意的x1, x21,2 ，都有 |2x12 x2 |L | x1x2 |. 设x3 1x, x 2,4 ，证明：xA ； 设xA ，假如存在 x01,2 ，使得 x02x0 ，那么这样的x0 是唯独的 .高三数学文科答案2021 年 3 月一、挑选题： 5840 D D C B B A D A二、填空题： 5630 9.710.211.三、解答题：15. 本
8、小题总分值 13 分3112.12013.32 4 ,553 214.2027091解：f x3 sin 2 xcos 2 x12 sin 2x162 4 分T，f x 最小正周期为. 5 分2由2k222k32 x2kk622 x2k3Z ，得 6 分 7 分kxk 36 8 分f x 单调递增区间为3k,k6 kZ . 9 分当 x0, 时， 2 x66, ， 10 分62f x 在区间 0, 单调递增， 11 分6 f x minf 00 ，对应的 x 的取值为 0 . 13 分16. 本小题总分值 14 分P 证明：设 AC 、 BD 相交于点 F ，连结 EF ，底面 ABCD 为菱
9、形，F 为 AC 的中点，E又E 为 PA 的中点，EF / PC . 3 分AMD又EF平面 EBD ， PC平面 EBD ，FBCPC / 平面 EBD . 5 分解：由于底面ABCD 为菱形，ABC60 ，所以ACD 是边长为 2 正三角形，又由于 PA底面 ABCD ，所以 PA 为三棱锥 PACD 的高，VC PADVP ACD11S ACDPA333222423 . 8 分3解：由于PA底面 ABCD ，所以 PABD ，又底面 ABCD为菱形，ACBD ，PAACA ， PA平面 PAC ， AC平面 PAC ，BD平面 PAC ，BDPC . 10 分在 PBC 内，易求 PB
10、PC22 ， BC2 ，在平面 PBC 内，作 BMPC ，垂足为 M ，设 PMx，就有 8x2422x 2 ，解得 x32222 . 12 分连结 MD ，PCBD ， BMPC ， BMBDB ， BM平面 BDM ，BD平面 BDM ，PC平面 BDM .所以满意条件的点M 存在，此时 PM 的长为32 . 14 分217. 本小题总分值 13 分解：第 1 组人数 50.510 ，所以 n100.1100 ， 1 分第 2 组人数第 3 组人数1001000.20.320 ，所以 a30 ，所以 x200.9273018， 2 分0.9 ， 3 分第 4 组人数1000.2525，所
11、以 b250.369 4 分第 5 组人数1000.1515 ，所以 y3150.2 . 5 分第 2,3,4组答复正确的人的比为18 : 27 : 92 : 3 :1，所以第 2,3,4组每组应各依次抽取 2 人， 3 人，人 . 8 分记抽取的 6 人中，第 2 组的记为a1 ,a2 ，第 3 组的记为b1,b2, b3 ，第 4 组的记为 c ，就从 6 名同学中任取2 名的全部可能的情形有15 种，它们是：a1,a2 ， a1, b1 ， a1, b2 ， a1, b3 ， a1, c ，a2, b1 ， a2, b2 ， a2 , b3 ， a2 ,c ，b1 ,b2 ， b1,b3
12、 ， b1, c ，b2 , b3 ， b2, c ，b3 , c . 10 分其中第 2 组至少有 1 人的情形有 9 种，它们是：a1,a2 ， a1, b1 ， a1, b2 ， a1, b3 ， a1, c ，a2, b1 ， a2, b2 ， a2 , b3 ， a2 ,c . 12 分故所求概率为9153. 13 分518. 本小题总分值 13 分解：函数 f x 的定义域为 0, ， f x2a2xa . 2 分x 当 a1 时，f 13 ， f212110 ，所以曲线 yf x 在点1,f 1 的切线方程为 y3 . 5 分2f xx2ax x2a 2x2a x xa， 6 分
13、1当 a0 时，f xx0 ，f x 在定义域为0, 上单调递增，7 分2当 a0 时，令f x0 ，得 x12a 舍去， x2a ，当 x 变化时，f x ，f x 的变化情形如下：此时，f x 在区间0,a 单调递减，在区间a, 上单调递增； 10 分3当 a0时，令f x0 ，得 x12a ， x2a 舍去，当 x 变化时，f x ，f x 的变化情形如下：此时，f x 在区间0,2a 单调递减，在区间 2a, 上单调递增 . 13 分19. 本小题总分值 14 分x 2y 2c1解： 设椭圆的方程为221ab0 ，离心率 e，aba2ABF2 的周长为| AF1 | AF2 | AF1
14、 | AF2 |4a8 ， 1 分解得 a2,c1 ，就 b 2a 2c23 ， 2 分x2y 2所以椭圆的方程为1. 3 分43直线l1 的方程为 ykx3k0 ，x 2y 2由43ykx31 ，消去 y 并整理得 34k 2 x224kx240 * 5 分 24k 242434k 20 ，解得 k6， 6 分2设椭圆的弦 GH 的中点为N x0, y0 ，就“在 x 轴上是否存在点Pm,0，使得以PG 、 PH 为邻边的平行四边形为菱形. ”等价于“在 x 轴上是否存在点 Pm,0 ，使得PNl1 ” . 8 分设 Gx1, y1 ， H x2, y2 ，由韦达定理得，x1x224k， 9
15、 分34k 2所以 x0x1x2 212k12k2 ，34 k9y0kx039934k 2 10 分N 2 ,34k32 ， kPN4k12km34k 2 ，所以，12k9m34k 2 k1，解得 m3k34k 2 k6 . 12 分2m k32k332k4k 2 233632k34k 2 230 ，所以，函数 m3k34k 2 k6 在定义域 6 ,22 单调递增， m6 6 ，26所以满意条件的点Pm,0 存在， m的取值范畴为6 ,6 . 14 分20. 本小题总分值 13 分解： 对任意 x1,2 ， 2x3 12 x , x1,2 ，3 3 2 x3 5 ， 13 33 52 ，所以
16、 2x1,2 对任意的x1, x21,2 ，|2x12x2 | x1x2 |2312x1223 12x1 1x22 ，3 1x233 12x13 12x1 1x23 1x2 ，所以 03122x123 12x1 1x222，31x232令3 12x123 12x1 1x23 1x22 L ， 0L1 ，|2x12x2 |L | x1x2 |所以xA . 8 分 反证法 : 设存在两个x0 , x01,2, x0x0 使得 x02x0 ， x02x0 就由 | 2 x 0 2 x 0 |L | x 0/ | ，得 | xx0 |L | x0x0| ，所以 L1 ，/x00/冲突，故结论成立 . 13 分