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1、圆章节学问点复习一、圆的概念集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充 ） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且
2、到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系Ad1 、点在圆内dr点 C 在圆内；rOBd2 、点在圆上dr点 B 在圆上；C3 、点在圆外dr点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1 、直线与圆相离dr无交点 ；- 3 - / 82 、直线与圆相切dr有一个交点；3 、直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系外离（图 1 ）无交点dRr ；外切（图 2 ）有一个交点dRr ；相交（图 3 ）有两个交点RrdRr ；内切（图 4 ）有一个交点dRr ；内含（图 5 ）无交点dRr ；dddRrRrRr图1图 2图 3ddRrrR图4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直
3、于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1 ：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即： AB 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧 BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论；A推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 O 中， AB CD弧AC弧 BD六、圆心角定理CDOOEABCD B圆心角定理：同圆
4、或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对EF的弧相等，弦心距相等；此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论OD中，ACB只要知道其中的1 个相等，就可以推出其它的3 个结论， 即：AOBDOE ； ABDE ； OCOF ； 弧 BA弧 BD七、圆周角定理C1 、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；BOA即： AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 AOB2ACB2 、圆周角定理的推论：DC推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；BOA即：在 O 中， C 、D 都是所对的圆周角 CD推论 2 ：半圆或直径所对的圆周
5、角是直角；圆周角是直角所对的弧C是半圆，所对的弦是直径；BAO即：在 O 中， AB 是直径或 C90 C90AB 是直径推论 3 ：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是C直角三角形；BAO即：在 ABC 中，OCOAOBABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角；即：在 O 中，DC- 4 - / 8BAE四边形 ABCD 是内接四边形CBAD180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理（ 1 ）切线的判定定理：过半径
6、外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行即：MNOA 且 MN 过半径 OA 外端MN 是 O 的切线O- 6 - / 8（ 2 ）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：MAN即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；B即： PA 、 PB 是的两条切线OPPAPBAPO 平分BPA十一、圆幂定理DB
7、O（ 1 ） 相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相PA等；C即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ，PA PBPCPD（ 2 ）推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；即：在 O 中，直径 ABCD ，CBOEADCE2AEBE（ 3 ） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切ADE线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；POCB即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线 PA2PCPB（ 4 ） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）；即：在 O 中，
8、PB 、 PE 是割线PC PBPDPE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆A的O1O2的公共弦；B如图：O1O2 垂直平分 AB ；即：O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点O1O2 垂直平分 ABAB十三、圆的公切线CO1O2两圆公切线长的运算公式：（ 1 ）公切线长：RtO O C 中， AB2CO 2O O 2CO 2 ；121122（ 2 ）外公切线长：CO2 是半径之差； 内公切线长：CO2 是半径之和 ；十四、 圆内正多边形的运算C（ 1 ）正三角形OA在 O 中 ABC 是正三角形，有关运算在RtBOD 中进行：BDOD : BD : OB1:
9、3 : 2 ；BC（ 2 ）正四边形O同 理 ， 四 边 形 的 有 关 计 算 在Rt OAE中 进 行 ，AEDOE : AE : OA1:1:2 ：（ 3 ）正六边形O- 7 - / 8BA同理，六边形的有关运算在RtOAB 中进行，AB : OB : OA1:3 : 2 .十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式AnR1 、扇形：（ 1）弧长公式：l；180nR21OSl（ 2 ）扇形面积公式：SlRB3602n ： 圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积2 、圆柱：（ 1 ）圆柱侧面绽开图ADD1母线长S表 S侧 2S底= 2 rh2r 2底面圆周长BC1C（ 2 ）圆柱的体积：Vr 2hB1（ 2 ）圆锥侧面绽开图O（ 1 ） SSS =Rrr 2R表侧底（ 2 ）圆锥的体积： V1r 2h 3CArB- 8 - / 8