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1、新北师大版九年级数学下册学问点总结第一章直角三角形边的关系一锐角三角函数1. 正切：定义：在 RtABC中,锐角A 的对边与邻边的比叫做A的正切,记作 tanA ,即 tan AA的对边 ;A的邻边tanA 是一个完整的符号,它表示A的正切,记号里习惯省去角的符号“”；tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A的对边与邻边的比；tanA 不表示“ tan ”乘以“ A”；中学阶段,我们只学习直角三角形中,A是锐角的正切；tanA 的值越大, 梯子越陡, A越大； A越大, 梯子越陡, tanA 的值越大；2. 正弦：定义： 在 RtABC中,锐角A 的对边与斜边的比叫做A的正弦, 记
2、作 sinA ,即 sin A3. 余弦：定义： 在 RtABC中,锐角A 的邻边与斜边的比叫做A的余弦, 记作 cosA,即 cos AA的对边 ;斜边A的邻边 ;斜边锐角 A 的正弦、余弦和正切都是A的三角函数当锐角A 变化时,相应的正弦、余弦和正切之也随之变化；二特别角的三角函数值30 o45 o60 oBsin 123222cos 3212223图 1i=h:lhClAtan 313图 2三三角函数的运算1. 仰角 : 当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角2. 俯角： 当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为俯角3. 规律： 利用特别角的三角函数值表,可
3、以看出,1 当角度在 0 90间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大 或减小 而增大 或减小 ；余弦值随着角度的增大 或减小 而减小 或增大 ；20 sin 1, 0 cos 1；4. 坡度： 如图 2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 或坡比 ；用字母 i 表示,即ihtan A l5. 方位角： 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角 ；如图 3, OA、OB、OC的方位角分别为45、 135、 225；6. 方向角： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角,叫做方向角 ；如图 4, OA 、OB 、OC、OD 的方向角分别是； 北偏东 30,南偏
4、东 45 东南方向 、南偏西为 60 ,北偏西 60 ；7. 同角的三角函数间的关系：互余关系 sinA=cos90 A 、cosA=sin90 A图 3图 4平方关系：商数关系：8. 解直角三角形：在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角；由直角三角形中除直角外的已知元素,求出全部未知元素的过程,叫做解直角三角形（须知一条边 ）；9. 直角三角形变焦关系：在 ABC中, C为直角, A、 B、 C 所对的边分别为a、b、c,就有2221 三边之间的关系： a +b =c ；2 两锐角的关系： A B=90；(3) 边与角之间的关系：sin Aa , csin Bb , c
5、cos Ab , ccosBa , c1tanAa, btan Bb , a1cot Ab ; acot Ba ; b(4) 面积公式 : Sabchc h c 为 C 边上的高 ;22(5) 直角三角形的内切圆半径(6) 直角三角形的外接圆半径rabc 2R1 c210. 三角函数的应用教材第 18 页11. 利用三角函数测高教材第 22 页其次章二次函数1. 概念： 一般地, 如两个变量x,y 之间对应关系可以表示成yax 2bxc a 、b、c 是常数 , a 0 的形式,就称 y 是 x 的二次函数 ；自变量 x 的取值范畴是全体实数；在写二次函数的关系式时,肯定要查找两个变量之间的等
6、量关系,列出相应的函数关系式,并确定自变量的取值范围 ；2. 图像性质：21 二次函数y ax 的图象： 是一条顶点在原点且关于y 轴对称的 抛物线 ； yax 2 a0 是二次函数 yax 2bxc 的特例,此经常数b=c=0.（ 2）抛物线的描述： 开口方向、对称性、 y 随 x 的变化情形、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与 x 轴的交点；函数的取值范畴是全体实数；抛物线的顶点在 0 , 0 ,对称轴是 y 轴 或称直线 x 0 ；当 a 0 时,抛物线开口向上,并且向上方无限舒展；当a 0 时,抛物线开口向下,并且向下方无限舒展；函数的增减性：A、当 a 0 时xx0时, y随x增大而
7、减小 ;0时, y随x增大而增大 .B、当 a 0 时xx0时, y随x增大而增大 ;0时, y随x增大而减小 .当 a越大,抛物线开口越小；当a越小,抛物线的开口越大；最大值或最小值：当a 0,且 x 0 时函数有最小值,最小值是0；当 a 0,且 x 0 时函数有最大值,最大值是0；（ 3）二次函数 yax2c 的图象： 是一条顶点在 y 轴上且与 y 轴对称的抛物线,二次函数yax2c 的图象中, a 的符号打算抛物线的开口方向,|a| 打算抛物线的开口程度大小,c 打算抛物线的顶点位置,即抛物线位置的高低；（ 4）二次函数 yax 2bxc 的图象： 是以直线 xb为对称轴, 顶点坐标
8、为 （2ab ,4ac 2a4ab2 ）的抛物线 ；（开口方向和大小由a 来打算）|a| 的越大,抛物线的开口程度越小,越靠近对称轴y 轴, y 随 x 增长（或下降）速度越快；|a| 的越小,抛物线的开口程度越大,越远离对称轴y 轴, y 随 x 增长（或下降）速度越慢；2（ 5）二次函数 yax 2bxc 的图象与 y ax2 的图象的关系：yax 2bxc 的图象可以由y ax 的图象平移得到：（利用顶点坐标）（ 6）二次函数 ya xh 2k 的图象： 是以直线 x=h 为对称轴,顶点坐标为（h,k）的抛物线 ；（开口方向和大小由a 来打算）（ 7）二次函数 yax 2bxc 的性质：
9、二次函数yax2bxc 配方成 yba xb 22a4acb2 4a就抛物线的对称轴： x=顶点坐标：（2 ab2b , 4ac）2a4a增减性：如 a0 ,当 x2ab 时, y 随 x 的增大而增大；2a如 a0 ,就当 x2ab2a 时, y 随 x 的增大而减小；b4acb 2b4acb 2最值：如a0 ,就当 x=时, y最小；如 a0 抛物线与x 轴有2 个交点；4ac =0 抛物线与x 轴有1 个交点；4ac 0 抛物线与x 轴有0 个交点（无交点）；b2 b2 b2（ 3） 当 b 24ac 0 时,设抛物线与 x 轴的两个交点为A、B,就这两个点之间的距离：化简后即为：1.
10、圆的定义：| AB|b24ac| a |b24ac0 这就是抛物线与x 轴的两交点之间的距离公式；第三章圆描述性定义： 在一个平面内, 线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周, 另一个端点 A 随之旋转所形成的圆形叫做圆 ；固定的端点 O叫做圆心；线段 OA叫做半径；以点 O 为圆心的圆,记作 O,读作“圆 O”集合性定义： 圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合； 其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径 , 圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆 ；对圆的定义的懂得：圆是一条封闭曲线,不是圆面；圆由两个条件唯独确定：一是圆心（即定点）,二是半径（即定长）；2. 点与圆的位置
11、关系及其数量特点：假如圆的半径为r ,点到圆心的距离为d,就点在圆上 d=r;点在圆内 dr;点在圆外 dr.其中点在圆上的数量特点是重点,它可用来证明如干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等；3. 圆的对称性 :（ 1与圆相关的概念：弦和直径 ： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦 ； 直径：经过圆心的弦叫做直径；弧、半圆、优弧、劣弧 ：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ,简称弧,用符号“”表示,以CD为端点的弧记为“”,读作“圆弧CD”或“弧 CD”；半圆：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧； 为了区分优弧和劣
12、弧,优弧用三个字母表示；弓形： 弦及所对的弧组成的图形叫做弓形；同心圆： 圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆 ；等圆： 能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆；等弧： 在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧；圆心角： 顶点在圆心的角叫做圆心角 .弦心距 : 从圆心到弦的距离叫做弦心距.（ 2） .圆是轴对称图形 ,直径所在的直线是它的对称轴,圆有很多条对称轴；圆是中心对称图形, 对称中心为圆心；定理：在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等；推论 :在同圆或等圆中, 假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等, 那么它们所对
13、应的其余各组量都分别相等.4. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧；推论： 平分一般弦（ 不是直径 ）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；说明： 依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,假如具备：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧；上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论；5. 圆周角和圆心角的关系:（ 1）圆周角： : 顶点在圆上 , 并且两边都与圆相交的角, 叫做圆周角 .（ 2）圆周角定理 : 圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等；推论 2: 直径所对的圆周角是直角；9
14、0的圆周角所对的弦是直径；（ 3）圆内接四边形：如四边形的四个顶点都在同一个圆上, 这个四边形叫做圆内接四边形.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;6 确定圆的条件:（ 1）懂得确定一个圆必备两个条件: 圆心和半径 , 圆心打算圆的位置 , 半径打算圆的大小 .经过一点可以作很多个圆 , 经过两点也可以作很多个圆, 其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.（ 2）经过三点作圆要分两种情形:经过同始终线上的三点不能作圆.经过不在同始终线上的三点, 能且仅能作一个圆 .定理 :不在同始终线上的三个点确定一个圆. 尺规作图教材第85 页7. 三角形的外接圆、三角形的外心；(1) 三角形的外接圆
15、:经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.(2) 三角形的外心 :三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3) 三角形的外心的性质: 三角形外心到三顶点的距离相等.8. 直线与圆的位置关系(1) 相交 :直线与圆有两个公共点时, 叫做直线和圆相交 , 这时直线叫做圆的割线.(2) 相切 :直线和圆有惟一公共点时, 叫做直线和圆相切 , 这时直线叫做圆的切线, 惟一的公共点做切点.(3) 相离 :直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离 .(4) 直线与圆的位置关系的数量特点:设 O的半径为 r ,圆心 O到直线的距离为d； dr 直线 L 和 O相交 . d=r 直线 L 和 O
16、相切 . dr 直线 L 和 O 相离 . 5 ）切线的判定定理 :经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径.推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系, 可得如下结论:假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个垂直于切线 ;过切点 ;过圆心 ., 就可推出第三个.6 ）三角形的内切圆、内心.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆, 内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形内心的性质: 三角形的内心到三边的距离相等. 三角形的内切圆作法尺规作图教材第9
17、2 页9 切线长定理： 过圆外一点所画的圆的两条切线长想等,圆外切四边形对边相等,直角三角形内切圆半径公式 .10. 圆内接正多边形(1) 定义： 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的外接圆.(2) 中心角、边心距：11. 弧长及扇形的面积n R1弧长公式 :弧长lR 表示圆的半径 , n表示弧所对的圆心角的度数180(2) 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.n R 2(3) 扇形的面积公式 : 扇形的面积S扇形R 表示圆的半径 , n表示弧所对的圆心角的度数360扇形的面积 S 扇形 =LR 212. 与圆有关的帮助线(1) 如圆中有弦的条件 , 常作弦心距 , 或过弦的一端作半径为帮助线. （圆心向弦作垂线）(2) 如圆中有直径的条件, 可作出直径上的圆周角. （直径添线成直角）(3) 如条件交代了某点是切点时, 连结圆心和切点是最常用的帮助线. （切点圆心要相连）