《2022年函数奇偶性对称性周期性知识点总结 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年函数奇偶性对称性周期性知识点总结 2.docx（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一. 概念:抽象函数是指没有给出详细的函数解析式或图像, 只给出一些函数符号及其满意的条件的函数 , 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值 , 特定的运算性质等 , 它是高中函数部分的难点 , 也是高校高等数学函数部分的一个连接点 , 由于抽象函数没有详细的解析表达式作为载体, 因此懂得讨论起来比较困难,所以做抽象函数的题目需要有严谨的规律思维才能、丰富的想象力以及函数学问敏捷运用的才能1、周期函数的定义：18 / 10对于 f x定义域内的每一个x ,都存在非零常数 T ,使得f xT f x 恒成立,就称函数f x具有周期性, T 叫做
2、f x的一个周期,就 kT （ kZ ,k0 ）也是f x 的周期,全部周期中的最小正数叫f x 的最小正周期；分段函数的周期： 设 yf x 是周期函数,在任意一个周期内的图像为C: yf x,xa, b ,Tba ；把 yf x沿x轴平移 KTK ba 个单位即按向量akT,0平移,即得 yf x 在其他周期的图像：yf xkT , xkTa, kTb ；f xf x f xkTxa,bxkTa,kTb2、奇偶函数：设 yfx, xa, b 或xb, aa,b如 f xf x, 就称yf x为奇函数；如 f xf x就称yf x为偶函数 ；分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即
3、点对称：点 A x, y与B 2ax,2by关于点a,b对称； 点Aax,by与Bax,by关于 a,b 对称； 函数 yf x与2byf 2ax关于点a, b成中心对称； 函数 byf ax与byf ax关于点a,b成中心对称； 函数 F（ x, y0与F 2ax,2by0关于点a,b成中心对称；（2）轴对称：对称轴方程为： AxByC0 ； 点A x,y与B x / ,y/ B x2 A AxA 2ByC 2, yB2B AxA 2ByC 关 于B 2直线 AxByC0成轴对称；函数 yf x与y2B AxA2ByC B 2f x2 AAxA2ByC 关于直线B 2AxByC0 成轴对称；
4、 F x, y0与F x2A AxBy22ABC , y2B Ax2AByC B0 关于直线2AxByC0 成轴对称；二、函数对称性的几个重要结论（一）函数yf x 图象本身的对称性（自身对称）如 f xaf xb ,就f x具有周期性；如f axf bx ,就f x具有对称性：“内同表示周期性,内反表示对称性 ”；1、 f axf bxyf x 图象关于直线xaxbx 2ab 对称2推论 1：f axf axyf x 的图象关于直线 xa 对称推论 2、f xf 2 axyf x 的图象关于直线 xa 对称推论 3、 f xf 2axyf x 的图象关于直线 xa 对称2、 f axf bx
5、2cyf x 的图象关于点 ab , c 对称2推论 1、f axf ax2byf x 的图象关于点a,b 对称推论 2、f xf 2ax2byf x 的图象关于点a,b 对称推论 3、 f xf 2ax2byf x 的图象关于点a,b 对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程懂得）1、偶函数 yf x 与 yf x 图象关于 Y 轴对称2、奇函数 yf x 与 yf x 图象关于原点对称函数13、函数 yf x 与yf x 图象关于 X 轴对称4、互为反函数 yf x 与函数 yf x 图象关于直线 yx 对称5. 函数 yf ax 与 yf bx 图象关
6、于直线xb2a对称推论 1: 函数 yf ax 与 yf ax 图象关于直线 x0对称推论 2: 函数 yf x 与 yf 2 ax图象关于直线xa 对称推论 3: 函数 yf x 与 yf 2ax) 图象关于直线xa 对称（三） 抽象函数的对称性与周期性1、抽象函数的对称性性质 1 如函数 y fx关于直线 x a 轴对称,就以下三个式子成立且等价：（ 1） fa x fa x（ 2） f2a x fx（ 3） f2a x f x性质 2 如函数 y fx关于点（ a, 0）中心对称,就以下三个式子成立且等价：（ 1） fa x fa x （ 2） f2a x fx（3） f2a x f x
7、易知, y fx为偶（或奇）函数分别为性质1（或 2）当 a0 时的特例；2、复合函数的奇偶性定义 1、 如对于定义域内的任一变量x,均有fgxfgx,就复数函数 yfgx为偶函数；定义 2、 如对于定义域内的任一变量x,均有fgx fgx,就复合函数 yfgx为奇函数；说明：（1） 复数函数 fgx为偶函数,就 fg x fgx而不是 f gxfgx,复合函数 yfgx为奇函数,就 fgx fgx而不是f gx fgx；（2） 两个特例： yfx a 为偶函数,就 fx a f xa ； yfx a 为奇函数,就 f x a fa x（3） yfx a 为偶（或奇）函数,等价于单层函数yfx
8、关于直线 xa 轴对称（或关于点（ a,0）中心对称）3、复合函数的对称性性质 3 复合函数 yfa x 与 yfb x 关于直线 x（ ba）/2 轴对称性质 4、复合函数 yfa x 与 y fb x 关于点（ ba）/2 ,0）中心对称推论 1、 复合函数 yfa x 与 yfa x 关于 y 轴轴对称推论 2、 复合函数 yfa x 与 y fa x 关于原点中心对称4、函数的周期性如 a 是非零常数, 如对于函数 yfx定义域内的任一变量 x 点有以下条件之一成立,就函数 yfx是周期函数,且 2|a| 是它的一个周期；fx a fx a fx a fxfx a 1/fxfx a 1
9、/fx 5、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 yfx同时关于直线 xa 与 xb 轴对称,就函数 fx必为周期函数,且 T 2|a b|性质 6、如函数 yfx同时关于点（ a, 0）与点（ b,0）中心对称,就函数 fx必为周期函数,且 T2|a b|性质 7、如函数 yfx 既关于点（ a,0）中心对称,又关于直线 xb 轴对称,就函数 fx必为周期函数,且 T 4|a b|6、函数对称性的应用（ 1）如 yf x关于点（h, k对称,就 xx/2 h, yy /2k , 即f xf x/ f xf 2hx2kf x1f x2 f xn f 2 hxn f 2hxn 1 f 2hx1
10、2nk（ 2）例题a x111 、 fxxa关于点（a, ）对称：2 2f xf 1x1 ;f xx412 x1关于（ 0,1）对称：f xf x2f x2 x 11x1R, x0关于（1 1,）对称：2 2f（xf 1 1x2 、奇函数的图像关于原点（0,0）对称：f xf x0 ；3 、如f xf 2ax或f axf ax) , 就yf x 的图像关于直线xa 对称；设f x0有n个不同的实数根,就x1x2xnx12ax1 x22ax2 xn 2axn na .22当n2k1时,必有 x12ax1,x1a（四）常用函数的对称性三、函数周期性的几个重要结论1、 f xT f x T0 yf
11、x 的周期为 T , kT kZ 也是函数的周期2、 f xaf xbyf x 的周期为 Tba3、 f xaf xyf x 的周期为 T2a4、 f xa1f xyf x 的周期为 T2a5、 f xa1f xyf x 的周期为 T2a6、 f xa11f xf xyf x 的周期为 T3a7、f xa1f x1yf x 的周期为 T2a8、 f xa11f xf xyf x 的周期为 T4a9、 f x2 af xaf xyf x 的周期为 T6a10、如 p0, f pxf pxp ,就T 2p. 211、 yf x 有两条对称轴xa 和 xb bayf x 周期 T2ba推论：偶函数y
12、f x 满意 f axf axyf x 周期 T2a12、 yf x 有两个对称中心a,0 和 b,0bayf x 周期 T2ba推论：奇函数yf x 满意 f axf axyf x 周期 T4a13、 yf x 有一条对称轴xa 和一个对称中心 b,0 baf x 的 T4 ba四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型敏捷应用函数 奇偶性、 周期性与对称性 ,可奇妙的解答某些数学问题,它对训练同学分析问题与解决问题的才能有重要作用. 下面通过实例说明其应用类型；1. 求函数值例 1. （ 1996年高考题）设f x 是 , 上的奇函数,f 2xf x, 当0x1 时,f xx ,就f
13、7.5等于（ -0.5 ）（ A） 0.5;（B） -0.5;（ C） 1.5;（D） -1.5.例 2（ 1989 年北京市中同学数学竞赛题）已知f x 是定义在实数集上的函数,且f x2 1f x1f x ,f 123 , 求f 1989 的值 .f 198932 ；2、比较函数值大小1例 3. 如f x xR 是以 2为周期的偶函数,当x0,1 时,f xx1998 , 试比较f 98 、 f 19101、17104f 的大小 .151解：f x xR 是以 2 为周期的偶函数,又f xx1998 在0,1上是增函数,且01161719141, 15f 1 17f 1619f 1415,
14、即f 1011798f 19f 104.153、求函数解析式例 4. （ 1989 年高考题）设f x 是定义在区间2, 上且以 2 为周期的函数,对kZ ,用I k 表示区间 2k1,2 k1) , 已知当 xI 0 时,f xx . 求f x 在I k 上的解析式 .解：设 x 2k1,2k1,2k1x2 k11x2k1xI 0 时,有f xx2 ,由 1x2k1得f x2k x2k 2f x 是以 2 为周期的函数,f x2k f x,f x x2k 2 .例 5设f x是定义在 , 上以 2 为周期的周期函数,且f x是偶函数,在区间 2,3 上,f x2 x324. 求 x1,2 时
15、,f x的解析式 .解：当 x3, 2 ,即x2,3 ,f xf x2x3 242 x3 24又 f x 是以 2 为周期的周期函数,于是当x1,2 ,即3x42 时,有f xf x4f xf x2 x2 x412234142xx2.1241x2.4、判定函数奇偶性例 6. 已知f x 的周期为 4,且等式f 2xf 2x 对任意 xR均成立,判定函数f x的奇偶性 .解：由f x的周期为 4,得f xf 4x ,由f 2xf 2x 得f xf 4x ,f xf x, 故f x 为偶函数 .5、确定函数图象与 x 轴交点的个数例 7. 设函数f x对任意实数 x 满意f 2xf 2x ,f 7
16、xf 7x且f00, 判定函数f x 图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交点 .解：由题设知函数f x图象关于直线x2 和 x7 对称,又由函数的性质得f x是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间0,10 上,f 00, f4f 22f 22f 00且fx不能恒为零 ,故 f x 图象与 x 轴至少有 2 个交点 .而区间30,30有 6 个周期,故在闭区间30,30 上f x图象与 x 轴至少有 13 个交点.6、在数列中的应用例 8. 在数列an中, a13 , an1an1an1 n12) ,求数列的通项公式,并运算a1a 5a 9a1997 .分析：此题的思路与例2 思
17、路类似 .解：令 a1tg, 就 a21a11a11tg1tgtg 4a1a231tg 4tg21a21tg44an 1tg n14,于是an1an 11an 1tg n14不难用归纳法证明数列的通项为：antgn44 ,且以 4 为周期 .于是有 1, 5, 9 1997 是以 4 为公差的等差数列,a1a 5a9a1997 ,由 19971n14 得总项数为 500 项,a1a5a9a1997500a1500 3.7、在二项式中的应用例 9. 今日是星期三,试求今日后的第92 92 天是星期几？929292C91192分析：转化为二项式的绽开式后,利用一周为七天这个循环数来进行运算即可.解
18、：92 92911 92C 0 9192C 1 9191C 90 91291929292C 91 7713131192013 9211391C 90 7132CC92 792792由于绽开式中前 92 项中均有 7 这个因子,最终一项为1,即为余数, 故 9292 天为星期四 .8、复数中的应用例 10.（上海市1994 年高考题） 设 z13ii 是虚数单位 ,就满意等式znz,22且大于 1 的正整数 n 中最小的是（ A） 3；（ B）4；（ C） 6；（D） 7.分析：运用 z13 i22方幂的周期性求值即可.解：znz,z zn 110zn 11 ,z31,n3kn 1k1必需是N
19、.3的倍数,即n13k kN ,k1时, n最小,nmin4.故挑选 B9、解“立几”题例 11.ABCDA1B1C1D1 是单位长方体,黑白二蚁都从点A 动身,沿棱向前爬行,每走一条棱称为“走完一段”；白蚁爬行的路线是AA1A1D1, 黑蚁爬行的路线是ABBB1. 它们都遵循如下规章：所爬行的第i2 段所在直线与第 i 段所在直线必须是异面直线（其中iN . 设黑白二蚁走完第1990 段后,各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白蚁的距离是（A） 1； （ B） 2 ；（ C） 3；（ D） 0.解：依条件列出白蚁的路线AA1A1 D1D1C1C1CCBBAAA1, 立刻可以发觉白蚁走完六段后又
20、回到了A 点. 可验证知： 黑白二蚁走完六段后必回到起点,可以判定每六段是一个周期.1990=63314 ,因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置,不难运算出在走完四段后黑蚁在例题与应用D1点,白蚁在 C 点,故所求距离是2 .例 1：fx是 R 上的奇函数 fx= fx+4,x 0 ,2 时 fx=x,求 f2007的值例 2： 已知 fx是定义在 R上的函数,且满意fx+21 fx=1+fx, f1=2 ,求f2022的值 ；故 f2022= f2518+1=f1=2例 3：已知 fx是定义在 R 上的偶函数, fx= f4-x,且当 x2,0时, fx=2x+1,就当 x4,6时
21、求 fx的解析式例 4：已知 fx是定义在 R上的函数,且满意fx+999=1f x, f999+x=f999x ,试判定函数 fx的奇偶性 .例 5：已知 fx是定义在 R 上的偶函数, fx=f4-x,且当 x2,0时, fx是减函数,求证当x4,6时 fx为增函数例 6：fx满意 fx=-f6-x,fx=f2-x,如 fa=-f2000,a 5 ,9 且 fx在5 , 9 上单调 . 求 a 的值 .例 7：已知 fx是定义在 R 上的函数, fx= f4x , f7+x= f7x,f0=0, 求在区间 1000, 1000 上 fx=0至少有几个根？解：依题意 fx关于 x=2, x=
22、7 对称,类比命题 2（ 2）可知 fx的一个周期是 10故 fx+10=fx f10=f0=0又 f4=f0=0即在区间 0 , 10 上,方程 fx=0至少两个根又 fx是周期为 10 的函数,每个周期上至少有两个根,2000因此方程 fx=0在区间 1000,1000 上至少有 1+ 2=401 个根 .10例 1、 函数 yfx是定义在实数集 R上的函数,那么 y fx 4 与 y f6 x 的图象之间（ D ）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称C关于点（ 5,0）对称 D关于点（ 1, 0）对称解：据复合函数的对称性知函数y fx 4 与 yf6 x 之间关于点（ 64）
23、/2 ,0）即（ 1,0）中心对称,应选 D；（原卷错选为 C） 例 2、 设 fx 是定义在 R上的偶函数,其图象关于 x 1 对称,证明 fx是周期函数；（ 2001 年理工类第 22 题）例 3、 设 fx是（,）上的奇函数, fx 2 fx ,当 0x1 时 fx x,就 f7.5等于（ -0.5 ）（ 1996 年理工类第 15 题）例 4、 设 fx 是定义在 R上的函数,且满意 f10 x f10 x ,f20 x f20 x ,就 fx是（ C ） A偶函数,又是周期函数 B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数 D奇函数,但不是周期函数六、巩固练习1、函数 y fx是定
24、义在实数集 R 上的函数,那么 y fx 4 与 y f6 x 的图象（）；A关于直线 x 5 对称B关于直线 x 1 对称C关于点（ 5, 0）对称D关于点（ 1, 0）对称2、设 fx是（,）上的奇函数,fx 2 fx,当 0x1 时, fx x,就 f7.5=（）；A 0.5B0.5C 1.5D 1.53、设 fx是定义在（,）上的函数,且满意f10 x f10 x , f20 x f20 x ,就 fx是（）；A偶函数,又是周期函数B偶函数,但不是周期函数C奇函数,又是周期函数D奇函数,但不是周期函数4、fx是定义在 R 上的偶函数,图象关于x 1 对称,证明 fx是周期函数；参考答案： D, B, C, T 2；5、在数列 xn中,已知 x1x21, xn 2xn 1xn nN * ,求 x100 =-1