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1、数列基础学问点和方法归纳1. 等差数列的定义与性质定义： an 1and （ d为常数）, ana1n1 d ,推论公式： . = . + .- . .,.,n m等差中项 ： x, A, y成等差数列2 Axy ,.= .-1 +.+1 , 2.= .+ . . 2等差数列前n 项和： Sna1an nna1.2n n1d.-1.+122性质： an 是等差数列（1） ） 如mnpq,就 amana paq；（下标和定理） 留意：要求等式左右两边项数相等（2） ）数列a, a, a仍为等差数列,S , SS , SS 仍为等差数列,公差为n 2 d ；2 n 12 n2 n 1n2nn3 n
2、2n（3） ）如三个成等差数列,可设为 ad,a,ad ；（4） ） 如an, bn是等差数列,且前n 项和分别为amSn, Tn ,就bmS2 m 1 ；T2 m 1（5） ） an为等差数列San2bn （ a,b 为常数,是关于n 的常数项为 0 的二次函数）nSn 的最值可求二次函数 Sn2anbn的最值；或者求出an 中的正、负分界项,an0即：当a10, d0 ,解不等式组可得Sn 达到最大值时的n 值.an 10an0当 a10, d0 ,由可得Sn 达到最小值时的n 值.an 106项数为偶数2n 的等差数列an, 有S2 nna1a2n na 2a2 n 1 nanan 1
3、an, an1为中间两项 S偶 S奇nd ,S奇an.S偶an 1（7）项数为奇数 2n1的等差数列an,有 S2n 12n1an an为中间项 ,S奇S偶S奇nan ,.S偶n12. 等比数列的定义与性质an 1a定义：q （ q 为常数, q0 ）, aa qn 1. = . .-.,.且 n mnn1.推论公式：.G2xy.等比中项：x、G、 y 成等比数列,或 Gxy .等比数列中奇数项同号, 偶数项同号.2 .=.-1 .+1 . 2.1.= 1等比数列前 n 项和公式 ：. = .1 1-. .1-.1 -. .1=1-.性质： an是等比数列（1） ） 如mnpq,就am ana
4、p aq下标和定理 留意：要求等式左右两边项数相等；（2） ） S , SS , SS 仍为等比数列 ,公比为 q nn2nn3n2n；. （ 3） an是正项等比数列,就 .是等比数列；.留意：由Sn 求 an时应留意什么？n1 时, a1n2 时, anS1 ；SnSn 1 .3. 求数列通项公式的常用方法（1 定义法求通项公式 已知数列为等差数列或等比数列）s1 n1（2） 已知 Sn与n的关系或sn与a n的关系时,求 an ；ansnsn1n2例： 数列的前 项和求数列的通项公式 ;解：当时,当时数列的通项公式为练习： 设数列的前 项和为,且求数列的通项公式；（3） 求差（商）法例：
5、数列 a, 1 a1 a1 a2 n5 ,求 an212222 nnn解： n1a1 时,1215 , a11421 a1 a1 a2 n5n212222nn2 时,1 a1 a1a2 n15212222n 1n 1 得： 1 a2 , a2n 1 , a14 n1nnnn22n 1 n2练习： 在数列.中, . = 1,. + .2.3+ . + . = . . , 求数列.的通项公式；.14累乘法12232.2.形如.+1.= . . 的递推式由 an 1f n ,就 a2f 1 a3f 2,L Lan 1f n,ana1a2an两边分别相乘得,an 1na1fka1k 1例： 数列an中
6、,an 1a13,ann,求 ann1a2a3an12n1an13解 ,又a13 , ana1a2an 123na1nn .练习： 已知.1 = 3, .+1 =3.-13.+2. 1 , 求数列 . 的通项公式；（5）累加法形如 .+1 -. = f . 的递推式；由 anan 1f n, a1a0 ,求 an,用迭加法a2a1a3a2n2 时,f 2f 3两边相加得n1aaf2f 3f n anan 1f n ana0f 2f 3f n例： 已知数列满意.1 = 1, . = .-1 + 3.-2. 2 , 1求.2 与.3的值；（2）求数列的通项公式练习：已知数列中,（）求数列的通项公式
7、；（6） ）构造法形如 ancan 1d （ c、d 为常数, c0, c1, d0 ）的递推式；n可转化为等比数列,设 anxc an 1xancan 1c1 x令c1) xd , xd, a c1d是首项为 a c11d, c 为公比的等比数列c1 adad cn1 , aadcn 1dn1c1c1n1c1c1例：已知数列满意,.求数列的通项公式；解：（1）, 而,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,因此练习 1：已知数列 . 中. = 1 , .= 3. + 3,求数列 a的通项公式；.12.+1.n练习 2： 已知数列 an 满意 an 12 an35n, a6 ,求数列an的通项公
8、式；1（7） ）倒数法例： a11, an 12anan2,求an由已知得： 1an211 ,111an 112 an2an11an 1an2111n111 n12 a为等差数列, a,公差为2 , a2, ann1n2n1练习： 已知数列的首项, . = 1；.=. . 求数列的通项公式；1.+1aS1 n 1.+2总结：公式法、利用nSnSn1 n 2、累加法、累乘法. 构造等差或等比an 1panq 或an 1panf n 、待定系数法、对数变换法、迭代法；4. 求数列前 n 项和的常用方法（1） 定义法 ：假如已知数列为等差或者等比数列,这用对应的公式求和等差数列前n 项和： Sna1
9、an nna1n n1d22.1.= 1等比数列前 n 项和公式 ： . = .1 1-. .= .1 -.11-.1-.常见公式： . = .1.=.+ 11 + 3 + 5 + . + 2.-1 = .2.=1212 + 22 + 32 + . + .2 = 1 . .+ 1 2.+ 1 ,13 + 23 + 33 + . + .3 = 1 .+ 1 264（2） ）错位相减法给. = .1. + .2 + .3 + . + .两边同乘以一个适当的数或者式,然后把所得的等式与原等式相减,对应项相互抵消,最终得出前 n 项的和 .一般适用于an为等差数列,bn为等比数列,求数列anbn（差比
10、数列）前n 项和,可由 SnqSn ,求Sn ,其中 q 为 bn的公比.例： Sn12 x3x24x3nx n 12nn1xSn x2x23x34x4n1 xn 1nxn 1x Sn1xx xnxx1 时, Sn1xnx nn2, x1 时, Sn123n n1n1x1x2练习：已知数列是等差数列,是等比数列,且,（ 1）求数列和的通项公式（ 2）数列满意,求数列的前 项和2 裂项法把数列的通项公式拆成两项差的形式,相加过程中消去中间项,只剩下有限项再求和；常见形式：如a是公差为d 的等差数列,就1111=-n1111=-.+1. .+1 2.-1 2.+1211=2.-11-2.+11.
11、.+1 .+22. .+1 .+1 .+211= .-.+.1.-.1=.+.+.+ .-.如： an是公差为d 的等差数列,求n1k 1 ak ak1解： 由11111d0akak 1ak akddakak 1n1n1111111111k 1 ak ak 1k 1 dakak 1da1a2a2a3anan 1111da1an 1练习： 已知数列的前 n 项和,求数列的通项公式；求数列的前 n 项和；（3） ）倒序相加法把数列的各项次序倒写,再与原先次序的数列相加.Sna1a2an 1anSaa aa相加 2Sna1ana2an 1a1an nnn 121练习已知f x2x,就1x2f 1f 2f1f 3f1f 4f1234由 f xf121x2x22x21221原式xf 11x1f 2f111x1xf 3f1xf 4f111 113 123422（ 3）分组求和法有一类数列,既不是等差数列也不是等比数列,如将这个数列适当拆分开,可分为几个等差或等比或常见数列,然后分别求和,再将其合并即可；一般适用于数列,求数列 .+ .前 n 项和；an为等差数列,bn为等比练习：已知数列an 为等差数列,公差为 d, bn为等比数列,公比为 q,且 d=q=2,.+ 1 = .310 = 5,. = .2. 求 .的通项公式,求 .+ . 的前 n 项和.；