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1、例 1.用数学归纳法证明：时,解析： 当式成立；时,左边,右边,左边=右边,所以等假设就当时等式成立,即有,时,所以当时,等式也成立；由,可知,对一切等式都成立；点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式,命题关键在于 “先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n 的取值是否有关,由到时等式的两边会增加多少项,增加怎样的项；（2）在本例证明过程中,（ I ）考虑“ n 取第一个值的命题形式”时,需认真对待,一般情形是把第一个值代入通项,考察命题的真假,（ II ）步骤在由到的递推过程中,必需用归纳假设,不用归纳假设的证明就不是数学归纳法；此题证明时如利用数列求
2、和中的拆项相消法,即数学归纳法典型例题【典型例题】；,就这不是归纳假设,这是套用数学归纳法的一种伪证；（3）在步骤的证明过程中,突出了两个凑字,一“凑”假设,二“凑” 结论,关键是明确时证明的目标,充分考虑由到时,命题形式之间的区分和联系；例 2.；解析： （1）当时,左边,右边,命题成立；（2）假设当时命题成立,即,那么当时,左边；上式说明当时命题也成立；由（ 1）（ 2）知,命题对一切正整数均成立；例 3.用数学归纳法证明：对一切大于1 的自然数 n,不等式成立；解析： 当时,左=,右,左右,不等式成立；假设时,不等式成立,即,那么当时,时,不等式也成立；由,知,对一切大于 1 的自然数
3、n,不等式都成立；点评：（ 1）此题证明命题成立时,利用归纳假设,并对比目标式进行了恰当的缩小来实现,也可以用上归纳假设后,证明不等式成立；（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要留意两个步骤缺一 不行,第步成立是推理的基础, 第步是推理的依据（即成立,就成立,成立,从而肯定命题对全部的自然数均成立） ；另一方面,第步中,验证中的未必是 1,依据题目要求,有时可为 2, 3 等；第步中,证明时命题也成立的过程中,要作适当的变形,设法用上归纳假设；例 4.如不等式对一切正整数 n 都成立, 求正整数 a 的最大值,并证明你的结论；解析： 取,；令,得,而,所以取,下面用数学归纳法证明,
4、（1） 时,已证结论正确（2） 假设时,就当时,有,由于,所以,所以,即时,结论也成立,由（ 1）（ 2）可知,对一切,都有,故 a 的最大值为 25；例 5.用数学归纳法证明：能被 9 整除；解析： 方法一：令,（1） 能被 9 整除；（2） 假设能被 9 整除,就能被 9 整除；由（ 1）（ 2）知,对一切,命题均成立；方法二：（ 1）,原式能被 9 整除,（2）如,能被 9 整除,就时时也能被 9 整除；由（ 1）,（ 2）可知,对任何,能被 9 整除；点评：证明整除性问题的关键是“凑项”,而采纳增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出时的情形,从而利用归纳假设使问题获证；例 6.求证：能被
5、整除,；解析： （1）当时,命题明显成立；（2）设时,能被整除, 就当时,；由归纳假设,上式中的两项均能被整除, 故时命题成立；由（ 1）（ 2）可知,对,命题成立；例 7.平面内有 n 个圆,其中每两个圆都交于两点,且无三个圆交于一点, 求证：这 n 个圆将平面分成个部分；解析： 时, 1 个圆将平面分成 2 部分,明显命题成立；假设时, 个圆将平面分成个部分, 当时,第 k+1 个圆交前面 k 个圆于 2k 个点,这 2k 个点将圆分成 2k 段, 每段将各自所在区域一分为二,于是增加了2k 个区域,所以这 k+1 个圆将平面分成个部分,即个部分；故时,命题成立；由,可知,对命题成立；点评
6、：用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k 个变成 k+1 个时,所证的几何量将增加多少, 这需用到几何学问或借助于几何图形来分析,在实在分析不出来的情形下, 将 n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子, 然后作差,即可求出增加量, 然后只需稍加说明即可, 这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧；例 8.设,是否存在关于自然数 n 的函数,使等式对于的一切自然数都成立？并证明你的结论；解析： 当时,由,得,当时,由,得,猜想；下面用数学归纳法证明：当当时,等式时,由上面运算知,等式成立；恒成立；假设那么当时,成立,当时,等式也成立；由知,对一切的自然数 n,等式都成立；故存在函数,使等式成立；点评：（ 1）归纳、猜想时,关键是查找满意条件的与 n 的关系式,猜想的关系未必对任意的都满意条件,故需用数学归纳法证明；（2）通过解答归纳的过程供应了一种思路：可直接解出,即；