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1、1、不等式的性质 :新课标 回来教材不等式名称不等式名称不等式对称性abba 充要条件 传递性ab, bcacabacbc 充要条件 同向不等式可加性 :ab, c0acbc ab, c0acbc可加性ab, cdacbd异向不等式可减性 :ab, cdacbd可乘性同向正数不等式可乘性 :ab0, cd0acbd异向正数不等式可除性 :ab0,0cdacb d乘方法就ab0anbn nN, n2开方法就ab0n an b nN, n2倒数法就ab0, ab11ab常用结论aba3b3 充要条件 注: 表中是等价关系的是解、证明不等式的依据, 其它的仅仅是证明不等式的依据.典例 :1对于实数a
2、, b, c 中,给出以下命题 : abac2bc2 ;ac2bc2ab; ab0a2abb2 ; ab011 ; ab ab0ba ;ab ab0|a | | b | ; cab0ab cacb11; ab,aba0, b0 .其中正确的命题是 .2) 已知 1xy1,1xy3 ,就 3xy 的取值范畴是 1,7 ;3) 已知 abc ,且 abc0, 就 c 的取值范畴是a1 2, .22、不等式大小比较的常用方法:(1) 作差 :作差后通过分解因式、配方等手段判定差的符号得出结果;(2) 作商 常用于分数指数幂的代数式;(3) 分析法 ;4 平方法 ;5 分子 或分母 有理化 ;6 利用
3、函数的单调性;7 查找中间量或放缩法 ;8图象法 .其中比较法 作差、作商 是最基本的方法 .典例 :1 设 a0且a1,t0 ,比较 1 log t和 logtaa1 的大小22答案 :当 a1 时, 1 logtlogt1在 t1时取 “=”;aa22当 0a1 时, 1 logttlog1在 t1时取 “=”;aa1222) 已知 a0, a1 ,试比较paa31 ,qaa2的大小 . 答: pq 3) 设 a2 , pa1, q a22 a 2 4 a2,试比较p, q 的大小 答: pq ;4) 比较 1+ log x 3 与 2log x 2 x0且x1 的大小 .答:当 0x1或
4、 x4 时,1+ log 3 2log2 ;3xx当 1x4 时,1+ log 3 2log2 ;当 x4 时,1+ log 3 2log25) 如3aa,b,cR ,且 2xlog 0.5xba,0.53clog 0.5 b,0.5xlog 2 c ,比较xa, b, c 的大小 . 答: cba3. 利用重要不等式求函数最值:“一正二定三相等 , 和定积最大 , 积定和最小 ”.典例 :1以下命题中正确选项 B A. yx x2C. yx21的最小值是 2B. yx3 的最小值是 2D. y 223x23x4 x x4 xx0 的最大值是 24 30 的最小值是 24 3 ;2) 如 x2
5、 y1,就 2x4 y 的最小值是 2 2 ;3) 已知x, yR ,且 xy1 ,就 82 的最小值为18;xy变式 :已知 0x1,就 82的最小值为18;x1x : 已知x, yR ,且 419 ,就 xy 的最大值为1;y 的最小值为9;xy :已知x, yR ,且xyx4y ,就 x4. 常用不等式 有:1a2b22ab22ab11a,bR, 当 ab时取 =号ab22(2) ab2ab2ab a, bR, 当 ab 时取 =号 2上式从左至右的结构特点为:“平方和 ”不小于 “和平方之半 ”不小于 “积两倍 ”.(3) 真分数性质定理 : 如 ab0, m0 , 就 bbm 糖水的
6、浓度问题 .aam典例 :如 a, bR ,满意abab3 ,就 ab 的取值范畴是9,.5、证明不等式的方法 : 比较法、分析法、综合法和放缩法.比较法的步骤是 : 作差 商 后通过分解因式、配方、通分等手段变形判定符号或与1 的大小 , 然后作出结论 . 常用的放缩技巧有:1111111nn1n n1n2nn1n1n 右边当 n2 时成立 111k1kkk1k1k2kk1k2 222典例 :1已知 abc ,求证: a2 bb2cc2aab2bc2ca2 ;2) 已知a,b, cR ,求证: a2 b2b cc aabc abc ;3) 已知a,b, x, yR ,且 11 , xy ,求
7、证 :xy;abxayb4) 如 a, b, c 是不全相等的正数 ,求证 : lg ab2lg bc 2lg ca 2lg alg blg c ;5) 如 nN*,求证 :n121n1n21n ;6) 求证 : 11112222 .23n6. 常系数一元二次不等式的解法:判别式图象法步骤 :1化一般形式 : ax 2bxc00,其中 a0 ;2(2) 求根的情形 : ax(3) 由图写解集 : 考虑bxc2yax能否因式分解0bxca00,0 ;0 图象得解 .典例 :解不等式26xx20 . 答: x21 , 32注: 解一元二次不等式的过程实际上是一种函数、 方程与不等式思维的转换过程
8、, 从中我们不难看出“三个二次”关系是核心 , 即一元二次不等式解集定值端点 非正负无穷大 是对应一元二次方程 函数 的根 零点 .典例 :如关于 x 的不等式ax2bxc0 的解集为 x | xm, 或xn nm0 , 解关于 x 的不等式 cx2bxa0 . 答: x | x1, 或x1 nm7. 简洁的一元高次不等式的解法:标根法 :其步骤是 :1 分解成如干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2) 将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根右上方依次通过每一点画曲线奇穿偶回 ;(3) 依据曲线显现f x 的符号变化规律 ,写出不等式的解集.2典例 :1解不等式 x1x2
9、 20 .答: x | x1 或 x2 ;2 不等式 x2) x2x30 的解集是 x | x3,或x1 ;3) 设函数f x 、g x 的定义域都是 R ,且f x0 的解集为 x |1x2 , g x0 的解集为,就不等式f xg x0 的解集为 ,12, ;4) 要使满意关于x 的不等式2x29xa0 解集非空 的每一个x 的值至少满意不等式x24 x30 和x26x80 中的一个 ,就实数 a 的取值范畴是7, 81 .88. 分式不等式的解法 :分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正, 最终用标根法求解 .解分式不等
10、式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母.典例 :1解不等式5xx22x31 答: 1,12,3 ;2 关于 x 的不等式axb0 的解集为 1, ,就关于x 的不等式axb0 的解集为x2,12, .注: 和一元二次不等式一样, 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范畴的端点值 .9. 肯定值不等式的解法 : 明白 1 分域争论法 最终结果应取各段的并集典例 :解不等式 | 23 x |2| x1 | ;答: xR ;42(3) 利用肯定值的定义;3数形结合 ;典例 :解不等式 | x | x(4) 两边平方1|3 ;答: ,12, 典例 :如不等式 |3x2
11、| | 2xa |对 xR 恒成立 , 就实数 a 的取值范畴为4310、含参不等式的解法:通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类争论是关键 ” 留意 :解完之后要写上:“综上 ,原不等式的解集是 ”.按参数争论 , 最终应按参数取值分别说明其解集; 但如按未知数争论 , 最终应求并集 .2典例 :1如 log a31,就 a 的取值范畴是 a1,或0a2 ;32 解不等式ax2ax1xaR .答: a0 时, x | x0 ; a0 时, x | x1 或 x a0 ; a0 时, x | 1ax0, 或 x0 含参数的一元二次不等式的解法:三级争论法 .一般地 , 设关于 x 的含参
12、数 a 的一元二次形式的不等式为:2f a xg a xr a00 .(1) 第一级争论 : 争论二次项系数f a 是否为零 ;(2) 其次级争论 : 如 f a0 时, 先观看其左边能否因式分解, 否就争论的符号 ;(3) 第三级争论 : 如f a0,0 时, 先观看两根x1, x2 大小是否确定 , 否就争论两根的大小 .留意 : 每一级的争论中 , 都有三种情形可能显现 , 即“ ”, “ =” , “ ” , 应做到不重不漏 .典例 :1解关于 x 的不等式ax22xa0 aR .11a211a2答: 当 a1 时, x; 当 0a1 时, x, ;aa11a211a2当 a0 时,
13、x0, ; 当1a0 时, x,aa 当 a1 时, xR2 解关于 x 的不等式ax222xaxaR .答: 当 a0 时, x2 ,a; 当 a0 时, x,1当 2a0 时,22x,1 ; 当 a a2 时, x1; 当 a2 时, x1,a提示 : 解不等式是求不等式的解集, 最终务必有集合的形式表示.11. 不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题: 不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用函数方程思想和“分别变量法”转化为最值问题,也可抓住宅给不等式的结构特点,利用数形结合法 .1. 恒成立问题 如不等式 fxA 在区间 D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上如不等式 fxB 在区间
14、D 上恒成立 , 就等价于在区间 D 上fx minAfx maxB典例 :1设实数x, y 满意 x2 y121,当xyc0 时, c 的取值范畴是21,;2) 不等式 x4x3a 对一切实数 x 恒成立 , 求实数 a 的取值范畴 a1 ;3) 如 2 x1m x21 对满意 m2 的全部 m 都成立 ,就 x 的取值范畴 71 ,31 ;22 1n 134) 如不等式 1n a22对于任意正整数 n 恒成立 , 就实数 a 的取值范畴是n12,25) 如不等式 x2mx2m10 对 0x1恒成立 ,就 m 的取值范畴 m22. 能成立问题如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxA 成
15、立 , 就等价于在区间 D 上fx maxA ;如在区间 D 上存在实数 x 使不等式 fxB 成立 , 就等价于在区间 D 上的fx minB .留意 : 如方程af x xD有解 , 就等价于 a y | yf x, xD典例 :1已知 x4x3a 在实数集 R上的解集不是空集, 求实数 a 的取值范畴 a12 已知 P x | 12x2, 函数 y2log 2 ax2 x2的定义域为 Q .如 PQ, 求实数 a 的取值范畴 . 答: a4 如方程2log 2 ax12x22 在 , 2 内有解 , 求实数的取值范畴. 答: a23,12 23.恰成立问题如不等式 fxA 在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxA 的解集为 D ;如不等式 fxB 在区间 D 上恰成立 , 就等价于不等式fxB 的解集为 D .12. 简洁的线性规划问题 :1 二元一次不等式 组 表示平面区域 一 般 地 , 二 元 一 次 不 等 式AxByC00在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 直 线AxByC0 某一侧的全部点组成的平面区域 半平面 不含边界线 ;