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1、上海高一数学学问点归纳第一章集合与命题1.1 集合与元素（ 1） 集合的概念常把能够准确指定的一些对象看作一个整体,这个整体就叫做集合.（ 2） 集合中的元素集合中的各个对象叫做这个集合的元素, 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含
2、有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集.（ 6）常用数集及其记法N 表示自然数集, N或 N 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 .1.2 集合与集合名称记号意义性质示意图AB子集（或A 中的任一元素都属于 B1A2AAABBABA(3) 如 A(4) 如 A1B 且 BB 且 BC ,就 AA ,就 ACB或A真子集BAB ,且 B中至A （ A 为非空子集）（或少有一元素不属于A2 如 AB 且 BC ,就 ACBABA）集合相等ABA 中的任一元素都属于 B,B 中的任一元素都属于A1A2BBAAB请浏览后下载,资料供参考,期望您的好
3、评与关注！重要结论：已知集合 A 有nn1 个元素,就它有 2n 个子集,它有 2n1 个真子集,它 2n1n个非空子集,它有 22 非空真子集 .1.3 集合的基本运算交集、并集、补集名称记号意义性质示意图（ 1） AAA交集AB x | xA, 且 xB并集AB x | xA, 或 xB（ 2） A（ 3） AA（ 1） A（ 2） A（ 3） AAB BABBA B A A ABABAB补集CUA x | xU , 且xACU ABCU ABCU ACU ACU BCU B1.4 命题的形式及等价关系（1） 命题用语言、符号或式子表达的,可以判定真假的陈述句. “如 p ,就 q ”形式
4、的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论 .（ 2） 逆命题对于两个命题,假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,就这两个命题称为互逆命题 . 其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题；如原命题为“如 p ,就 q ”,它的逆命题为“如q ,就 p ”.（ 3） 否命题对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,就这两个命题称为互否命题. 中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题.如原命题为“如p ,就 q ”,就它的否命题为“如p ,就q ” .（ 4） 逆否命题对于两个命题,假如一个命题的条件和结论恰好是另一个命题
5、的结论的否定和条件的否定, 就这两个命题称为互为逆否命题；其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题；如原命题为“如p ,就 q ”,就它的否命题为“如q ,就p ”；1.5 充分条件与必要条件充分条件、必要条件、充要条件假如 PQ , 那么 P 是 Q的充分条件, Q是 P 的必要条件；假如 PQ , 那么 P 是 Q的充要条件；也就是说,命题P 与命题 Q是等价命题；1.6 命题的运算命题的非运算命题的且运算命题的或运算1.7 抽屉原就与平均数原就其次章 不等式2.1 不等式的基本性质1. 假如 ab, bc; 那么ac.2. 假如 ab, 那么acbc.3. 假如 ab, c0,
6、 那么 acbc : 假如 ab, c0, 那么 acbc.4. 假如 ab, cd, 那么 acbd.5. 假如 ab0, cd0,那么 acbd .6. 假如 a7. 假如 ab0,那么 0b0,那么 a n11 .abnbnN .8. 假如 ab0, 那么n anb nN , n1.2.2 一元二次不等式的解法这个学问点很重要, 可依据与 0 的关系来求解, 留意解的区间的表示, 不等式组也是一样；解分式不等式的方法就是将它转化为解整式不等式；求一元二次不等式ax2bxc0或0 a0,b 24ac0 解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判定对应方程的根.三求：求对应方程的根.
7、四画：画出对应函数的图象.五解集：依据图象写出不等式的解集.规律： 当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边.区间的概念及表示法设 a,b 是两个实数,且ab ,满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 a,b ；满意 axb 的实数 x 的集合叫做开区间,记做a,b ；满意 axb ,或axb 的 实 数 x 的 集 合 叫 做 半 开 半 闭 区 间 , 分 别 记 做 a, b, a,b； 满 足xa, xa, xb, xb 的实数 x的集合分别记做 a, a, b, b 留意： 对于集合 x | axb 与区间 a,b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需ab ,（前
8、者可以不成立,为空集；而后者必需成立）2.3 其他不等式的解法（ 1） 分式不等式的解法先移项通分标准化,就f x0f xg x0gx（“ 或 ”时同理）f x0f xg x0gxg x0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.（ 2） 含肯定值不等式的解法不等式解集| x |aa0 x |axa| x |aa0x | xa 或xa| axb |c,| axb |cc0把 axb 看成 一 个 整 体 , 化 成 | x |a ,| x |aa0 型不等式来求解两个基本不等式： 1. 对任意实数a和b, 有 a 2b22 ab, 当且仅当 ab 时等号成立； 2. 对a 2b 2a 2b
9、2任意正数a和b, 有ab2,当且仅当 ab 时等号成立； 我们把和 ab 分2别叫做正数a、b 的算术平均数和几何平均数；（ 3） 无理不等式的解法方法：将无理不等式转化为有理不等式求解,f x0f xa a0f xa2f xaa0f x02f xaf x0f xg xg xf x0 g x 2或f x0f xg xg x0f x0g x02f x g xf xg xf x0g x0f xg x（ 4） 高次不等式的解法方法：穿根法分解因式, 把根标在数轴上, 从右上方依次往下穿 （ 奇穿偶切 ）,结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集 .2.4 基本不等式及其应用1. a2b22ab a
10、,bR, （当且仅当 ab 时取 号） .2. ab 2aba, bR, （当且仅当 ab 时取到等号） .用基本不等式求最值时 （积定和最小, 和定积最大） ,要留意满意三个条件 “一正、 二定、三相等” .2.5 不等式的证明常用方法有： 比较法（作差,作商法） 、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法 等. 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项,如a1 23a1 2 ;242将分子或分母放大（缩小） ,如11,11,k 2kk1k2kk12212,2kkkkkk112 k*N , k1kkk13.1 函数的概念第三章函数的基本性质在某个变化
11、过程中有两个变量x, y ,假如对于 x 在某个实数集合D 内的每一个 确定 的值,依据某个对应法就f , y 都有 唯独 确定的实数值与它对应,那么y 就是 x 的函数 .记作： yfxxDx 是自变量 D是定义域与 x 对应的 y 值叫做函数值函数值的集合是 值域3.2 函数关系的建立函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系3.3 函数的运算函数的和： h xfxg x3.4 函数的性质（ 1）
12、函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法函数的奇偶性假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x ,都有fx=fx , 那么函数 fx 叫做 奇函数假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x ,都有fx=fx , 那 么函 数 fx 叫做 偶函数（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 （ 2）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义图象判定方法假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量
13、的值 x1 、x2, 当 x1x2时,都有 fx1fx 2,那么就说 fx在这个区y y=fXfx1 fx2 （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象（在某个区间图函数的间上是 增函数ox1x2 x象上升为增）（ 4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2,当 x1fx2 ,2 o那么就说 fx在这个区x 1间上是 减函数fx x 2x（在某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数（ 3）函数的最值一般
14、地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（1）对于任意的xI ,都有 f xM ；（ 2 ）存在 x0I ,使得f x0M 那么,我们称M 是函数f x 的最大值,记作fmax xM 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意：（1）对于任意的xI ,都有 f xm；（2）（ 2）存在 x0I ,使得f x0 m 那么,我们称 m 是函数f x 的最小值,记作 f max xm （4） 函数的零点1、函数零点的概念：对于函数yf x xD ,把使f x0 成立的实数 x 叫做函数 yf x xD 的零点；2、函数零点的意义：函数yf x 的零点就是方
15、程f x0 实数根,亦即函数yf x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f x0 有实数根函数 yf x的图象与 x 轴有交点函数 yf x有零点3、函数零点的求法：求函数 yf x 的零点：1（代数法）求方程f x0 的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数并利用函数的yf x 的图象联系起来,第四章 幂函数、指数函数和对数函数4.1 幂函数的性质（ 1）幂函数的定义一般地,函数 yx 叫做幂函数,其中 x 为自变量,是常数（2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图
16、象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1单调性：假如0 ,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增函数假如0,就幂函数的图象在0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴奇偶性：当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数4.2 指数函数的图像与性质1 x0ax1 x01 x0ax1x01 x0ax1x0函数名称指数函数定义函数 yax a0 且 a1 叫做指数函数a10a1yya xya xy图象y1y10,10,1OxOx定义域R
17、值域0,过定点图象过定点 0,1 ,即当 x0 时, y1奇偶性单调性非奇非偶在 R 上是增函数axaxax在 R 上是减函数函数值的变化情形a变化对 图 象 的影响在第一象限内,a越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低 （趋势）4.3 对数概念及其运算（ 1）对数的定义如 axNa0,且a1 ,就 x叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 xlogaN ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlogNa xN a0, a1,N0 a（ 2）几个重要的对数恒等式log a10 , log a a（ 3）常用对数与自然对数1, logabb a常用对数：
18、lg N ,即log10N ；自然对数： ln N ,即 log e N （其中 e2.71828）（ 4）对数的运算性质假如 a0, a1,M0, N0 ,那么加法： logMlogNlog MN 减法： logMlogNlogMaaaaaaN数乘：n log a Mloga Mn nR aloga NNan log b Mn log bM b0, nR换底公式：log a Nlog b N b log b a0, 且b1a4.4 反函数的概念（ 1）反函数的概念设函数yf x 的定义域为A ,值域为C ,从式子yf x中解出 x ,得式子x y假如对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子
19、x y, x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子x y表示 x 是 y 的函数,函数x y叫做函数yf x 的反函数,记作x f y ,习惯上改写成y f x 11（2） 反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式yf x 中反解出x f 1 y ；将 xf1 y 改写成 yf1 x ,并注明反函数的定义域反函数的性质 :1原函数y f x 与反函数yf 1 x 的图象关于直线 yx 对称函数yf x 的定义域、值域分别是其反函数yfx 的值域、定义域如 Pa, b 在原函数yf x 的图象上,就P b, a 在反函数 yf1 x 的图象上一般地,函数yf x 要有反
20、函数就它必需为单调函数4.5 对数函数的图像与性质函数名称对数函数定义函数 ylog axa0 且 a1 叫做对数函数图象a10a1x1yyloga xyx1 yloga xO1,0x1,0Ox定义域0,值域R过定点图象过定点 1,0 ,即当 x1 时, y0 奇偶性非奇非偶单调性在 0, 上是增函数在 0, 上是减函数log ax0 x1log ax0 x1log ax0 x1log ax0x1log ax00x1log ax00x1函数值的变化情形a 变化对 图 象的影响在第一象限内, a 越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高4.6 简洁的指数方程指数方程：我们把指数里含有未知
21、数的方程叫做指数方程.1. 留意定义域2. 娴熟使用指数对数运算公式3. 娴熟运用函数性质,留意换元法4.7 简洁的对数方程对数方程：在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.第五章 三角比5.1 任意角及其度量（1） 角的分类1、 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角2 、角的顶点与原点重合, 角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边落在第几象限, 就称为第几象限角第一象限角的集合为k 360k 36090 , k其次象限角的集合为k 36090k 360180 ,k第三象限角的集合为k 360180k 360270 , k第四象限角的集合
22、为k 360270k 360360 , k假如角的终边落在坐标轴上,就也可以称为轴线角 .终边在 x 轴上的角的集合为k 180 , k终边在 y 轴上的角的集合为k 18090 , k终边在坐标轴上的角的集合为k 90 , k3、与角终边相同的角的集合为k 360, k（2） 角的弧度制1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度2、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ,就角的弧度数的肯定值是l r3、弧度制与角度制的换算公式：2360 , 1, 11805.2 任意角的三角比1、三角比定义18057.3 设角 是一个任意角,将角置于平面直角坐标系中,角的顶点与原点O重合, 的始边与
23、x 轴的正半轴重合,在 的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y ） , 有点 P 到原点的距离为：22rxyx 2y 20sin cos tan cot sec csc 4y2rOxQ-2-4Px,yyx2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正,第三象限正切为正, 第四象限余弦为正3、单位圆：圆心在坐标原点,半径为1 的圆（解决任意角,三角比问题的利器）.4、三角函数线： sin, cos, tan说明：三角函数线是有向线段（向量）,既有长度,又有方向, 方向的正负与对应的三角比值保持一样 .yPTOMAx（ 1）正弦线：无论是第几象限角,过的终边与单位圆的交点P 作 x
24、 轴的垂线,交 x轴于 M,有向线段MP的符号与点 P 的纵坐标 y 的符号一样,长度等于y所以有MP = y形式sin我们把有向线段MP 叫做角的正弦线,正弦线是角的正弦值的几何（ 2）余弦线：有向线段OM 叫做的余弦线 .（ 3）正切线：过A（ 1, 0）点作单位圆的切线（ x 轴的垂线）,设的终边或其反向延长线与这条切线交于T 点,那么有向线段 AT 叫做角的正切线 .5.2 任意角的三角比5.3 同角三角比的关系和诱导公式同角三角函数的基本关系式1 sin 2cos21sin 21cos2,cos21sin 2；2 sin costansintancos,cossin tan.（ 3）
25、 倒数关系： tancot11 sin 2ksin, cos 2kcos, tan 2ktank2 sinsin, coscos, tantan3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, coscos, tantan5 sin2coscos2sin6 sin2cos, cos2sin5.4 两角和与差的余弦,正弦与正切 coscoscossinsin； coscoscossinsin； sinsincoscossin； sinsincoscossin； tantantan1tantan（ tantantan1tantan）； tantantan1tantan（ tant
26、antan1tantan5.5 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin22sincos1sin 2sin 2cos22 sincossincos2 cos2cos2sin22cos2112sin 2升幂公式 1cos2 cos2,12cos2sin22降幂公式cos2cos 21 , sin21cos 222半角公式:cos 2tan 1cos ; sin 21cos 2sin 1cos 21cos 21cos 1cos sin 万能公式sin :2 tan 21; cos tan 2 21tan 2 21tan 2 2tan22 tan1tan25.6 正弦定理,余弦定理和解斜三角形1 、 正
27、 弦 定 理 ： 在C 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 角、 C 的 对 边 , 就 有abc sinsinsin C2R R 为C 的外接圆的半径 2、正弦定理的变形公式：a2 Rsin, b2 Rsin, c2R sin C ； sina, sin 2 Rb, sin C2Rc；2 Ra : b : csin:sin:sin C ；3、三角形面积公式：SC1 bc sin1 ab sin C1 acsin2224、余弦定理：在C 中,有 a2b 2c22bc cos,推论：cosb2c2a22bc第六章 三角函数6.1 及 6.2 正弦函数与余弦函数,正切, （余切）的图像与性质性
28、函 数质ysin xycosxytan xy=cotxyy=cotx图象-o2232x2定义域RRx xk,k 2x xk, k 2值域1,11,1RR当x2k当 x2kk时,2k时 ,ymax1；当x2kymax1 ； 当最值k时,ymin1 既无最大值也无最小值既无最大值也无最小值x2k2k时 ,ymin1周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数在2k,2 k22在k上 是2k,2 kk在 k, k单调性增函数；在上 是 增 函 数 ； 在222k,2 k22k ,2 k3k2上是减函数k上是增函数k上 是减函数对 称 中心k ,0k对称中心对称中心对称中心对称性对称轴k,0k2k,0k2
29、k,0k2xkk2对称轴 xkk无对称轴无对称轴6.3 函数 ysinx0,0的性质振幅：；周期：2；频率： f1；相位：x；初相：2函数 ysinx,当xx1 时,取得最小值为ymin；当 xx2 时,取得最大值为 ymax ,就1ymaxymin,21ymaxymin,22x2x1x1x26.4 反三角函数名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数yarcsin x1,1 增2 , 2奇函数增函数反余弦函数yarccosx1,1 减0,arccosx非奇非偶arccosx减函数反正切函数yarctanxR增,22奇函数增函数反余切函数yarc cot xR减0,arc cot xarc cot x减函数非奇非偶6.5 最简洁的三角方程方程方程的解集sin xaa1x | x2karcsin a, kZa1x | xk1 k arcsin a, kZcos xaa1x | x2 karccos a, kZa1x | x2 karccos a, kZtan xax | xkarctana, kZcot xax | xkarc cota, kZ