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1、（1）集合的概念高中数学必修 1（函数）学问点第一章集合与函数概念【1.1.1 】集合的含义与表示集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法N 表示自然数集, N或 N表示正整数集,Z 表示整数集, Q 表示有理数集,R 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是（ 4）集合的表示法aM ,或者 aM ,两者必居其一 .自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x为集合的代表元素 .图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类.含有有限个元素
2、的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集 .【1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号A（或意义性质示意图B子集BAA 中的任一元素都属于 B1A2AAB 且 B B 且 BAB(3) 如 A(4) 如 AC ,就 AA ,就 ACBBA或AB（1）A（ A 为非空子集）真子集AB ,且 B 中至BA（或 BA ）少有一元素不属于 A2 如 AB 且 BC ,就 AC集合相等ABA 中的任一元素都属于 B ,B 中的任一元素都属于 A1A2BBAAB（ 7）已知集合 A 有 nn1 个元素,就它有2 n 个子集,它有2 n1
3、 个真子集,它有2 n1 个非空子集,它有 2 n2 非空真子集 .（ 8）交集、并集、补集【1.1.3 】集合的基本运算交集AB x | xxA,B（1）（2）（3）A A AAAB BAA BAB并集AB x | xxA, 或B（1）（2）（3）A A AAAB BA A ABAB名称记号意义性质示意图且1 AeU A2 AeU AU补集eU A x | xU , 且xA痧U ABU A.U B痧U AB U A.U B【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法不等式解集| x |aa0 x |axa| x |aa0x | xa 或 xa| axb |
4、c,| axb |cc0把 axb 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |a ,| x |aa0 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式2000b4ac二次函数yax2bxca0O的图象一元二次方程2x1,2bb22a4acbaxbxc的根0a0（其中 x1x2 x1x22a无实根ax2bxc的解集0a0 x| xx1 或 xx2 x | xb 2a2axbxc的解集0a0 x | x1xx2（ 1）函数的概念1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集, 假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数x ,在集合 B中都有唯独确定的数f
5、 x和它对应, 那么这样的对应 （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作f : AB 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数,且 ab ,满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 a,b ；满意axb 的实数 x 的集合叫做开区间,记做a,b ；满意 axb ,或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 a,b , a,b ；满意 xa, xa, xb, xb 的实数 x 的集合分别记做 a, a, b, b 留
6、意： 对于集合 x | axb 与区间 a, b ,前者 a 可以大于或等于b ,而后者必需ab （ 3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1 ytan x 中, xkkZ 2零（负）指数幂的底数不能为零R如 f x是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题,一般步骤是： 如已知f x 的定义
7、域为 a,b ,其复合函数f g x的定义域应由不等式ag xb 解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数
8、的值域或最值判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程2a y xb y xc y0 ,就在a y0 时,由于x, y为实数,故必需有b2 y4a yc y0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（ 5）函数的表示方法【1.2.2 】函数的表示法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法
9、三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应 （包括集合 A, B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A到 B 的映射,记作 f : AB 给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 aA,bB 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象（ 1）函数的单调性定义及判定方法函数
10、的性 质 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值定义图象判定方法假如对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量 的值 x1 、x2 , 当 x1 x 2 时,都有 fx1fx2, 那 么 就说fx在这个区间上是 增函数y y=fXfx1 fx2 （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象 （在某个区间图函数的单调性o假如对于属于定义域I内某y个区间上的任意两个自变量 的值 x 1、x2 ,当 x1 fx2 , 那 么 就说x1x2 xy=fXfx 1fx2 象上升为增）（ 4）利用复合函数（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图
11、象 （在 fx在这个区间上是 减函数ox1x 2x某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数yf g x , 令ugx , 如yf u为 增 ,ug x为 增 , 就yf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减,就yf g x 为增；如yf u 为增 , ug x为 减,就yf g x为 减； 如yf u为减,ug x为增,就 yyf g x 为减a（ 2）打“”函数f xxax0 的图象与性质f x分别在 ,a 、a, 上为增函数,分别在o
12、xa ,0、 0,a 上为减函数（ 3）最大（小）值定义一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有 f xM ；（ 2 ）存在 x0I ,使得f x0 M 那么,我们称M 是函数f x的最大值,记作fmax xM 一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意：（ 1）对于任意的xI ,都有f xm ；（2）存在 x0I ,使得f x0 m 那么,我们称m是函数f x的最小值,记作fmax xm （ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质【1.3.2 】奇偶性定义图象判定方法假如对于函数 fx定义域内（ 1）利用定义
13、（要先任意一个x,都有fx=判肯定义域是否关于函数的奇偶性fx,那么函数 fx叫做 奇函数假如对于函数 fx定义域内任意一个 x,都有 f x=fx,那么函数 fx叫做 偶函数原点对称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（
14、或商）是奇函数补充学问函数的图象（ 1）作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）利用基本函数图象的变换作图：；画出函数的图象要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf xyf x伸缩变换h 0,左移 h个单位h 0,右移 | h|个单位k 0,上移 k个单位k 0,下移 | k|个单位yf xhyf xkyf x01,伸1,缩yf xyf x对称变换0 A 1,缩A 1,伸yAf xyf xx轴yf xyf xy轴yf xyf x原点yf xyf x直线y xyf xyf x去
15、掉y轴左边图象保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象yf | x |yf x（ 2）识图保留 x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y| f x |对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“形”的直观性,它是探求解题途径, 获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法其次章基本初等函数 2.1 指数函数【2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念假如 xna, aR, xR, n1 ,且 nN ,那么 x 叫做
16、 a 的 n 次方根当 n是奇数时,nna 的 n 次方根用符号a 表示；当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号a 表示,负的 n 次方根用符号n a 表示； 0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根式子 n a 叫做根式,这里n 叫做根指数, a 叫做被开方数当 n 为奇数时, a 为任意实数；当nnn 为偶数时, a0 根 式 的 性 质 ： n a na ； 当 n 为 奇 数 时 ,aa ； 当 n 为 偶 数 时 ,nnaa0a| a |aa0（ 2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是： 幂等于 0ma nnam a0,m, nN, 且 n1 0 的
17、正分数指数m1 m1正数的负分数指数幂的意义是：an nn m a0, m, nN, 且 n1 01aa的负分数指数幂没有意义留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数rs（ 3）分数指数幂的运算性质 arasar s a0,r , sR a ars a0,r , sR abrar br a0,b0,rR（ 4）指数函数【2.1.2 】指数函数及其性质函数名称指数函数定义函数yax a0 且 a1) 叫做指数函数a10a1yya x图象y1ya xy1y0,10,1OxOx定义域R值域0,过定点图象过定点 0,1 ,即当 x0 时, y1 奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数
18、值的变化情形ax1 x0ax1 x0xa1 x0a x1 x0a x1 x0xa1 x0a 变化对图象的影响在第一象限内,a 越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义如 axNa0,且a1 ,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 xlogaN ,其中 a 叫做底数,N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlog aNa xN a0, a1, N0 （ 2）几个重要的对数恒等式log a 10 , log a ab1, loga ab（ 3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ,即log10N ；自然对数：
19、 ln N ,即 log e N （其中 e2.71828 ）（ 4）对数的运算性质假如 a0, a1,M0, N0 ,那么加法： log a Mloga Nloga MN 减法： log a Mlog a NMlog aN数乘：n log a Mlog a Mn nRlog a NaNn log ab Mnlog a M bb0, nR换底公式：log a Nlog b N b log b a0, 且b1（ 5）对数函数函数名称【2.2.2 】对数函数及其性质对数函数定义函数 ylog ax a0 且 a1) 叫做对数函数a1yx1yloga x0a1yx1 yloga x图象O1,0x1,
20、0Ox定义域0,值域R过定点图象过定点1,0,即当 x1 时,y0 奇偶性单调性在 0, 上是增函数非奇非偶在0, 上是减函数log a x0x1log ax0x1log a x0x1log ax0 x1log a x00x1log ax00x1函数值的变化情形a 变化对 图象的影响在第一象限内,a越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高6 反函数的概念设函数yf x 的定义域为A ,值域为 C ,从式子yf x 中解出 x ,得式子 x y 如果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过式子x y , x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子 x y 表示 x 是 y 的函数,函
21、数 x y 叫做函数yf x 的反函数,记作xf1 y ,1习惯上改写成yf(x) （7）反函数的求法确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式1yf x 中反解出 xf1(y) ；1将 xf y 改写成 yf x ,并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数yf x 与反函数 yf1 x 的图象关于直线 yx 对称1函数yf x 的定义域、值域分别是其反函数yfx 的值域、定义域1如 Pa,b 在原函数yf x 的图象上,就P b, a在反函数 yfx 的图象上一般地,函数（ 1）幂函数的定义yf x 要有反函数就它必需为单调函数2.3 幂函数一般地,函数yx 叫做幂函数,其中x为自变
22、量,是常数（ 2）幂函数的图象（ 3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布在第 一、二象限 图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1单调性：假如0 ,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增函数假如0 ,就幂函数的图象在 0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴奇偶性： 当为奇数时, 幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数 当q（其中pp, q 互质, p 和 qZ ）,如 p
23、 为奇数 q 为奇数时, 就pqqpyx是奇函数, 如 p 为奇数 q 为偶数时, 就qyx p是偶函数,如 p 为偶数 q 为奇数时,就yx是非奇非偶函数图象特点：幂函数yx , x0,当1 时,如 0x1 ,其图象在直线 yx 下方,如x1 ,其图象在直线 yx 上方,当1时,如 0x1 ,其图象在直线 yx 上方,如 x1 ,其图象在直线 yx下方22（ 1）二次函数解析式的三种形式补充学问二次函数一般式：f xaxbxc a0 顶点式：f xaxhk a0 两根式：f xa xx1 xx2 a0 （ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有
24、关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利（ 3）二次函数图象的性质2b二次函数f xaxbxc a0 的图象是一条抛物线,对称轴方程为x, 顶点坐标是2ab4acb 2, 2 a当 a4a0 时,抛物线开口向上, 函数在 ,4acb2b 上递减, 在 2ab , 上递增, 当 xb 时,2 a2abbfmin x；当 a4a0 时,抛物线开口向下,函数在,2a上递增,在 , 上2a递减,当 xb时, fmax x2a4acb 24a二次函数f xax2bxc a0 当b24ac0 时,图象与 x 轴有两个交点M1x1,0,
25、M2x2,0,|M1M2 | | x1x2 | a|2（ 4）一元二次方程axbxc0a0 根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用, 下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2bxc0a0 的两实根为x1, x2 ,且 x1x2 令f xax2bxc ,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向： a 对称轴位置： xb2a判别式：端点函数值符号k x1 x2yybf k 0a0x2aOk x1xx2xb 2akOx1f
26、 k 0x2xa0x1 x2 kya0yf k0xb2aOx2x1kxOkx1x2xxba02af k0x1 kx2af k 0yya0Okx1x2xf k 0x1Okf k 0x2xa0k1 x1 x2 k2yf k1 a00f k2 0yxb2ax1Ok1x2k2 xk1Ox1k2x2xbf k1 0xa02af k 2 0有且仅有一个根 x1（或 x2 ）满意 k1 x1（或 x2） k2f k1 f k20,并同时考虑 f k1 =0或 f k2=0 这两种情形是否也符合yOk1a0f k1 0x1k2x2xyOx1f k1 k10k2x2xf k2 0a0fk 2 0k1 x1 k2
27、 p1 x2 p2此结论可直接由推出（ 5）二次函数f xax2bxca0 在闭区间 p, q 上的最值1设 f x 在区间 p, q 上的最大值为 M ,最小值为 m,令 x0 pq 2（）当 ab0 时（开口向上）bbb如2amf qp ,就mf p如 pq,就2amf 如2 a2aq ,就fqOffpxOfqxfpOxpbf b ff b bf 2a b2a2a如x0 ,就2aMf qx0 ,就2aMf pq 当 a b0 时 开口向下f fpbx0bb如p ,就Mx0qf p如 pq ,就 Mf 如q ,就2a2aOOx2ax2aMf qff pb 2abqff b 2abbf f 2
28、apOfxfqpf 2afOxfqpf2aqOxfb如x0 ,就2amf qbx0 ,就2amf p pf b 2afx0Oxfqx0pqOfbf f2ax一、方程的根与函数的零点第三章函数的应用1、函数零点的概念：对于函数yf x xD ,把使f x0 成立的实数 x 叫做函数yf x xD 的零点；2、函数零点的意义： 函数 yf x 的零点就是方程f x0 实数根, 亦即函数 yf x 的图象与 x 轴交点的横坐标；即：方程 f x0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴有交点函数 yf x 有零点3、函数零点的求法：求函数 yf x 的零点：1（代数法）求方程f x0 的实数根；2
29、（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数 yax2bxca0 ）,方程函数有两个零点）,方程ax 2ax 2bxcbxc0 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次0 有两相等实根（二重根） ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点）,方程ax 2bxc0 无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点1.1 柱、锥、台、球的结构特点高中数学必修 2 学问点第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上
30、往下2 画三视图的原就：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（ 1） .平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（ 2） .平行于 y 轴的线长度变半,平行于x,z 轴的线长度不变；（ 3） .画法要写好；5 用斜二测画法画出长方体的步骤： （1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和22 圆柱的表面积S2 rl2 r 23 圆锥的表面积 Srlr4 圆台的表面积 Srl22rRlR25 球的表面积 S4 R（二）空间几何体的体积11 柱体的体积VS底 h12 锥体的体积V4 球体的体积S底 h3433 台体的体积V（ S上3S上S下S下hVR3其次章 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系DC2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示AB0（1） 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成45 ,且横边画成邻边的 2 倍长（如图）（2） 平面通常用希腊字母 、 、等表示,如平面 、平面 等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面AC、平面 ABCD等