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1、精品学习资源一、填空题2021 年全国高中数学联赛江西省预赛试题欢迎下载精品学习资源1、假设三位数 nabc 是一个平方数， 并且其数字和 abc 也是一个平方数， 就称 n为超级平方数，这种超级平方数的个数是欢迎下载精品学习资源2 、函数 y8xx214xx248 的最大值是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3 、直线 l 过点M 1,2 ，假设它被两平行线 4 x3 y10 与 4 x3 y60 所截得的欢迎下载精品学习资源线段长为2 ，就直线 l 的方程为134 、 sin10 0cos100欢迎下载精品学习资源5 、中意1x2x 的实数 x 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源欢迎下
2、载精品学习资源6 、假设实数x, y, z0 ，且 xyz30, 3xyz50 ，就 T5x4 y2 z 的取欢迎下载精品学习资源值范畴是 7 、在前一万个正整数构成的集合1,2,10000 中，被 3除余 2 ，并且被 5除余 3 ， 被 7 除余 4 的元素个数是8 、如图， 正四周体 ABCD 的各棱长皆为 2 ， A1, B1, C1分别是棱 DA , DB , DC 的中点，欢迎下载精品学习资源以 D 为圆心， 1为半径， 分别在面DAB , DBC 内作弧A1B1, B1C1 ，并将两弧各分成五等分，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分点顺次为A1, P1, P2, P3,
3、P4 , B1 以及B1, Q1,Q2, Q3,Q4 ,C1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一只甲虫欲从点P1 动身，沿四周体外表爬行至点Q4 ，就其欢迎下载精品学习资源a2爬行的最短距离为 二、解答题欢迎下载精品学习资源9 、正整数数列an 中意： a12, an 1nan1 ；证欢迎下载精品学习资源明：数列的任何两项皆互质欢迎下载精品学习资源10、 25 分 H 为锐角三角形 ABC的垂心，在线段CH 上任取一点 E ，延长 CH 到F ，使 HFCE ，作 FDBC ， EGBH ，其中 D, G 为垂足， M 是线段 CF 的中点，欢迎下载精品学习资源O1, O2 分别为AB
4、G ,BCH 的外接圆圆心，O1,O2 的另一交点为N ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明： 1 、AA, B, D,G 四点共圆；FG欢迎下载精品学习资源2 、 O1, O2, M , N 四点共圆；O1HNMEBDC欢迎下载精品学习资源O2欢迎下载精品学习资源11、对于任意给定的无理数a, b 及实数 r20 ，证明：圆周xayb 2r 2 上欢迎下载精品学习资源至多只有两个有理点纵横坐标皆是有理数的点欢迎下载精品学习资源12、从集合 M1,2,36中删去 n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不欢迎下载精品学习资源是 2021的因数，求 n 的最小值欢迎下载精品学习资源2
5、021 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题1、假设三位数 nabc 是一个平方数， 并且其数字和 abc 也是一个平方数， 就称 n为超级平方数，这种超级平方数的个数是 答案： 13 个22解：可顺次列举出： 100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961欢迎下载精品学习资源2 、函数 y8xx14xx48 的最大值是欢迎下载精品学习资源答案： 23 欢迎下载精品学习资源解： yx8x x68x8xxx66 8x，xx6欢迎下载精品学习资源其定义域为 6x其值为 2 3 8 ，当 x6 时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式
6、的值达最大，欢迎下载精品学习资源3 、直线 l 过点M 1,2 ，假设它被两平行线 4 x3 y10 与 4 x3 y60 所截得的欢迎下载精品学习资源线段长为2 ，就直线 l 的方程为答案： x7 y15 或者 7 xy5 欢迎下载精品学习资源解：设 l 的方程为 y2k x1 ，将此方程分别与 4 x3 y10 及 4x3 y60 联欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源立，解得交点坐标A 3k7 ,5k8与 B3k12 ,10k8，据 AB2 ，欢迎下载精品学习资源3k255k43k243k25k2143k41欢迎下载精品学习资源得3k43k42 ，即23k42 ，所以k17 ， k2
7、，分别代入7欢迎下载精品学习资源所设方程，得到 x7 y15 或者 7 xy5 欢迎下载精品学习资源4 、13sin10 0cos100答案： 4 1 cos1003 sin10 00000欢迎下载精品学习资源2213解：4sin 30 cos10cos30 sin104欢迎下载精品学习资源sin10 0cos1002sin10 0 cos1002sin10 0 cos100欢迎下载精品学习资源sin 2004 sin 2004 欢迎下载精品学习资源5 、中意1x2x 的实数 x 的取值范畴是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源答案：1,22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解：用图
8、像法： 令 y1x211，此为单位圆的上半圆， 它与直线 yx 交点,，欢迎下载精品学习资源22半圆位于交点左侧的图像皆在直线yx 上方；或者三角函数代换法：欢迎下载精品学习资源因 1x1 ，令 xcos, 0，就 ysin，由条件式1x2x ，平方得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 x21 ，就 x1，又有 x2cos1 ，因此 x1,22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6 、假设实数x, y, z0 ，且 xyz30, 3xyz50 ，就 T5x4 y2 z 的取欢迎下载精品学习资源值范畴是 答案： 120,130 欢迎下载精品学习资源解： T5x4y2zxyz4x3 y
9、z304x3yz欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源因 4x2 yxyz3xyz80，所以 T110 yz ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源203xyz xyz2 xz ，就 xz10 ，因x, z非负，于是 x10，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源从而由xyz30 知， yz20 ，得到 T110 yz130 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 z0, x10, y20 时取得等号欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源再由 4 x2 y80 ， y0 ，就 x20 ，所以 yz30x10 ，于是欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源T110 yz120 ，
10、当 x20, y0, z10 时取得等号，所以 120T130欢迎下载精品学习资源7 、在前一万个正整数构成的集合1,2,10000 中，被 3除余 2 ，并且被 5除余 3 ，被 7 除余 4 的元素个数是 答案： 95 个解：对于每个中意条件的数n ，数 2n 应当被 3,5,7 除皆余 1，且为偶数；因此， 2n1欢迎下载精品学习资源应当是 3,5,7 的公倍数， 且为奇数； 即 2n1是 105的奇倍数， 而当 n1,2,10000 时，欢迎下载精品学习资源2n11,2,19999 ，由于在 1,2,19999 中，共有 190个数是 105的倍数， 其中的欢迎下载精品学习资源奇倍数恰
11、有 95 个8 、如图， 正四周体 ABCD 的各棱长皆为 2 ， A1, B1, C1分别是棱DA , DB , DC 的中点，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以 D 为圆心， 1为半径， 分别在面DAB , DBC 内作弧A1B1, B1C1 ，并将两弧各分成五等分，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分点顺次为A1, P1, P2, P3, P4 , B1 以及B1, Q1,Q2, Q3,Q4 ,C1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一只甲虫欲从点P1 动身，沿四周体外表爬行至点Q4 ，就其欢迎下载精品学习资源爬行的最短距离为欢迎下载精品学习资源答案：2sin 420
12、 欢迎下载精品学习资源解：作两种开放，然后比较；欢迎下载精品学习资源由于 A B 被A , P , P , P , P, B 分成五段等弧， 每段弧对应的中心角各为12 ， B C 被欢迎下载精品学习资源011112341110B1 ,Q1, Q2 , Q3 ,Q4 , C1 分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为12 ，假设将DBC 绕线段 DB 旋转，使之与DAB 共面，这两段弧均重合于以D 为圆心，欢迎下载精品学习资源半径为 1 的圆周，P1Q4 对应的圆心角为812 096 0，此时，点P1, Q4 之间直线距离为欢迎下载精品学习资源2sin 480 ，14假设将DAB 绕线段 DA
13、旋转，DBC 绕线段 DC 旋转，使之皆与DAC 共面，在欢迎下载精品学习资源所得图形中，P1Q4 对应的圆心角为712084 0 ，此时，点 P , Q 之间直线距离为2sin 420 ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以最短距离是2sin 42 0 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、解答题9 、正整数数列a中意： a2, aa2a1 ；证明：数列的任何两项皆互质欢迎下载精品学习资源n1n 1nn欢迎下载精品学习资源证：改写条件为an 11an an1 ，从而 an1an 1 an 11 ，等等，据此迭代得欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源an 11anan1an
14、11anan1an2 an 21anan 1a1 a11an an 1a1，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以， anan 1an 2a11，因此当 kn， an, ak 1欢迎下载精品学习资源10、 25 分 H 为锐角三角形 ABC的垂心，在线段CH 上任取一点 E ，延长 CH 到F ，使 HFCE ，作 FDBC ， EGBH ，其中 D, G 为垂足， M 是线段 CF 的中点，欢迎下载精品学习资源O1, O2 分别为ABG ,BCH 的外接圆圆心，O1,O2 的另一交点为N ；欢迎下载精品学习资源证明： 1 、AA, B, D,G 四点共圆；FG欢迎下载精品学习资源2 、
15、 O1, O2, M , N 四点共圆；证： 1 、如图，设 EGDFK ，连 AH ，O1HNMEB DC欢迎下载精品学习资源就因 ACBH , EKBH ， AHBC ，O2KFBC ，得 CA EK ， AH KF ，且CHEF ，所以 CAF EKF ， AH 与 KF 平行且相等，故 AK HF ，欢迎下载精品学习资源KAB900KDBKGB ，因此，KA欢迎下载精品学习资源A, B, D , G 四点共圆；欢迎下载精品学习资源2 、据 1 ， BK 为O1的直径，作O2 的直径O1GFN欢迎下载精品学习资源BP，连CP, KP , HP , O1O2 ，就HM欢迎下载精品学习资源B
16、CPBHP900 ，所以 CP AH ，EBDC欢迎下载精品学习资源HP AC ，故 AHPC 为平行四边形，进而得，O2PC 与 KF 平行且相等，因此对角线KP 与 CF 互欢迎下载精品学习资源相平分于 M ，从而O1, O2 , M 是 KBP 三边的中P欢迎下载精品学习资源点， KM O1O2 ，欢迎下载精品学习资源而由KNB900 ， O OBN ，得 KN O O ，所以M , N , K 共线，欢迎下载精品学习资源1212欢迎下载精品学习资源因此 MN O1O2 ，又由 KBP 的中位线知MO 2O1BO1N ，因此四边形O1O2MN 是等欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源
17、腰梯形，其顶点共圆11、对于任意给定的无理数a, b 及实数 r20 ，证明：圆周xa22ybr上欢迎下载精品学习资源至多只有两个有理点纵横坐标皆是有理数的点欢迎下载精品学习资源证：对于点Ma, b ，用P M , r 表示上述圆周上有理点的个数；第一，我们可以作欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点A 0,0 , B2,2，线段 AB 中垂欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源线 l 的方程为 : xy2 , 今在 l 上取点 M12, 12，再取rMA6 ，就以 M欢迎下载精品学习资源为圆心、 r 为半径的圆周上至少有A, B 这两个有
18、理点；欢迎下载精品学习资源其次说明，对于任何无理点M 以及任意正实数 r ， P M , r2 ；欢迎下载精品学习资源为此，假设有无理点Ma,b 及正实数 r ，在以 M 为圆心， r 为半径的圆周上，至少欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源有三个有理点Aixi , yi， xi ,yi 为有理数， i1,2,3 ，就欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2x1a2y1b2x2a2y2b2x3a2y3b欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源据前一等号得xxayyb1x2y 2x2y2欢迎下载精品学习资源21212112212222欢迎下载精品学习资源据后一等号得x2x3ay2y3 bx
19、2 2y2x3y3欢迎下载精品学习资源记 1x2y2x2y2t ， 1 x2y2x2y 2t ，就 t, t 为有理数，欢迎下载精品学习资源22112212233212欢迎下载精品学习资源假设 x1x20 ，就由， y1y2 bt1 ，因 b 为无理数， 得 y1y20 ，故A1,A2 共点，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源冲突！同理，假设x2x30 ，可得A2,A3 共点，冲突！欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源假设 x1x20, x2x30 ，由、消去b 得，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源x1x2y2y3y1y2x2x3at1y2y3t2y1y2有理数，因 a 为无
20、欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源理数，故得，x1x2y2y3y1y2x2x30 ，所以欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源y1y2y3y2 ，就A , A , A 共线，这与A , A , A 共圆冲突！欢迎下载精品学习资源x1x2x3x2123123欢迎下载精品学习资源因此所设不真， 即这种圆上至多有两个有理点于是对于全部的无理点M 及全部正实数 r ，P M , r 的最大值为 2 欢迎下载精品学习资源12、从集合 M1,2,36中删去 n 个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不欢迎下载精品学习资源是 2021的因数，求 n 的最小值 答案： 17 解：因 202151331
21、， M 中任两个元素之和不大于71 ，由于 2021 不大于 71 的正因数有 1,5,13,31,65 ，在 M 的二元子集中，元素和为5的有 1,4 , 2,3 ；元素和为 13的有 1,12 , 2,11 , 3,10 , 4,9 , 5,8 , 6,7 ；元素和为 31的有 1,30 , 2,29 , 3,28 , 4,27 , 5,26 , 6,25 , 15,16 ；元素和为 65 的有 29,36 , 30,35 , 31,34 , 32,33 ；欢迎下载精品学习资源为直观起见， 我们将其画成一个图， 每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数每条线段中至少要删
22、去一个数；1912272011281318142314173530A9223629B102115163134欢迎下载精品学习资源238526C247625 D3233E欢迎下载精品学习资源于是在图 A, B 中各至少要删去 4 个数，图 C , D 中各至少要删去 2 个数，图 E 中至少删去 5 个数，总共至少要删去17 个数另一方面，删去适当的17 个数，可以使得余下的数中意条件；例如在图 A 中删去12,30,4,22 ，图 B 中删去 11,29,3,21 ， C 中删去 23,5 ， D 中删去 24,6 ， E 中删去13,14,15,31,32 这时图中全部的线段都已被断开欢迎下载