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1、学习好资料欢迎下载一元二次方程及应用【知识梳理】1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式： ax2+ bx + c = 0(a 0). 其中， ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。典型例题：1、已
2、知关于x 的方程（ m+3）x21m+（m-3）-1=0 是一元二次方程，求m的值。2 降次解一元二次方程配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a 0) 的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p 或(mx+a)2=p(m0)形式的方程，如果p0，就可以利用直接开平方法。（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的
3、步骤是：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法， 配方的目的是 降次 ，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；（2
4、）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。公式法知识点一公式法解一元二次方程（1）一般地， 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) ，如果 b2-4ac 0，那么方程的两个根为 x=aacbb242， 这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的过程。（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：方
5、程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a 0)，一般 a 化为正值确定公式中a,b,c的值，注意符号；求出 b2-4ac 的值；若 b2-4ac 0，则把 a,b,c和 b-4ac 的值代入公式即可求解，若 b2-4ac 0，则方程无实数根。知识点二一元二次方程根的判别式式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a 0) 根的判别式，通常用希腊字母表示它，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载即 =b2-4
6、ac. 0，方程 ax2+bx+c=0(a 0) 有两个不相等的实数根=0，方程 ax2+bx+c=0(a 0) 有两个相等的实数根 0，方程 ax2+bx+c=0(a 0) 无实数根因式分解法知识点一因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2） 因式分解法的详细步骤：移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法 有提公因式、 平方差公式和完全平方公式；令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二用合
7、适的方法解一元一次方程3 一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程x2+px+q=0 的两个根为x1,x2, 则有 x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a 0) 有两个实数根x1,x2, 则有 x1+x2=ab, x1x2=ac22.3 实际问题与一元二次方程知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（2）设：是指设元，也就是设出未知数。（3）列：列方程是关键步骤, 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的
8、等式，即方程。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（4）解：就是解方程，求出未知数的值。（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6）答：写出答案。知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1）数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1 ，x+1。三个连续偶数（奇数） ：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2 。三位数的表示方法： 设百位、十位、个位上的数
9、字分别为a,b,c ， 则这个三位数是100a+10b+c. （2）增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1x）2=b。（3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润 =总销售价 - 总成本；总利润 =单位利润总销售量；利润 =成本利润率（4）图形的面积问题根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。【典型例题分析】【例 1】已知 ABC中， ABc，BCa，AC6，为实数，且，(1) 求 x 的值；(2) 若ABC的周长为 10，求 ABC的面积解：（1）代入中得
10、，x6ab29xabABCS6ab29xab22(3)0 xb精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载，（2）由（ 1）知，【例 2】 、某商店购进600 个旅游纪念品，进价为每个6 元，第一周以每个10 元的价格售出200 个，第二周若按每个10 元的价格销售仍可售出200 个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1 元，可多售出50 个，但售价不得低于进价），单价降低 x 元销售销售一周后
11、， 商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得出：200 （10-6）+（10-x-6） （ 200+50 x）+（4-6） （600-200-（200+50 x ）=1250，即 800+（4-x） （200+50 x ）-2（200-50 x）=1250，整理得： x2-2x+1=0，解得： x1=x2=1，10-1=9，答：第二周的销售价格为9 元【例 3】 、要在一块长52m，宽 48m 的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案（1）求小亮设计方
12、案中甬路的宽度x；（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）20 x2(3)0b0 x3b3ab1064c2214322 52ABCS精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解： （1）根据小亮的设计方案列方程得：（52-x） （48-x） =2300 解得： x=2 或 x=98 （舍去）小亮设计方案中甬道的宽度为2m；（2）作 AICD，HJEF，垂足分别为I，J
13、，AB CD， 1=60 ， ADI=60，BCAD ，四边形 ADCB 为平行四边形，BC=AD 由（ 1）得 x=2，BC=HE=2=AD 在 RtADI 中， AI=2sin60 =3，小颖设计方案中四块绿地的总面积为52 48-52 2-48 2+（3）2=2299 平方米【例 4】 、小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过 10 件，单价为80 元；如果一次性购买多于10 件，那么每增加1 件，购买的所有服装的单价降低2 元，但单价不得低于50 元按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了 1200 元请问她购买了多少件这种服装？解：设购买了x
14、件这种服装，根据题意得出：80-2（x-10）x=1200 ，解得： x1=20，x2=30，当 x=30 时， 80-2（30-10）=40（元） 50 不合题意舍去；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载答：她购买了20 件这种服装【例 5】 、“ 低碳生活，绿色出行” ，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具某运动商城的自行车销售量自2013 年起逐月增加，据统计，该商城1 月份销售自行车64 辆， 3 月份销售了
15、 100 辆（1）若该商城前4 个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4 月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3 万元再购进一批两种规格的自行车，已知 A 型车的进价为500 元/辆，售价为700 元/辆， B 型车进价为1000 元/辆，售价为1300元/辆根据销售经验，A 型车不少于B 型车的 2 倍，但不超过B 型车的 2.8 倍假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解： （1）设平均增长率为x，根据题意得：64（1+x）2=100 解得： x=0.25=25% 或 x=-2.25 四月份的销量为：100（1+25%）=125 辆，答
16、：四月份的销量为125 辆（2）设 A 型车 x 辆，根据题意得： 2300005003000050022.810001000 xxx，解得： 30 x35B 型车的利润大于A 型车的利润，当 A 型车进货量最小时有最大利润，最大利润为：200 30+30015=10500；【例 6】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售，增加盈利， 尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2 件，若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？【解析】设每件衬衫降价x 元，则每件衬衫盈利(40 x)
17、元，降价后每天可卖出(20+2x)件，由关系式：总利润=每个商品的利润售出商品的总量，可列出方程【解答】设每件衬衫降价x 元， 依题意，得 (40 x)(20+2x)=1200，整理得： x230 x+200=0， 解得： x1=10，x2=20，因为要尽快减少库存，所以x=10 舍去精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载答：每件衬衫应降价20 元二次函数【知识梳理】一二次函数的基本概念1二次函数的概念：一般地，形如
18、2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：二次项系数0a，而bc，可以为零 二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二 二次函数的基本形式 4. 2ya xhk 的性质：总结：三 二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h
19、 xh时， y 随x的增大而增大；xh时，y 随x的增大而减小；xh时， y 有最小值k0a向下hk，X=h xh时， y 随x的增大而减小；xh时，y 随x的增大而增大；xh时， y 有最大值k向右 (h0)【或左 (h0)【或向下 (k 4162241mm1m22yx25224mm1mm32yx342yx342yx3432yaxbxc0a20ab0abc240bac0abc420abc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好
20、资料欢迎下载A2 B3 C4 D5 【答案】 B 故选 B考点：二次函数图象与系数的关系【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案. 考点典例五、二次函数图象与平移变换【例 5】)如果将抛物线向上平移，使它经过点，那么所得新抛物线的表达式是 _【答案】【解析】试题分析：可知抛物线过，上下平移时只改变常数项，由条件知平移后经过，故平移后解析式为. 考点： 1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式. 【点睛】 根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【例 6】如图，已知二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0） ，A（2，
21、0） （1）写出该函数图象的对称轴；221yxx(0,3)A223yxx(0, 1)(0,3)223yxx3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）若将线段OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA ，试判断点A 是否为该函数图象的顶点？【答案】 (1)x=1 ； （2）是 . 【解析】试题分析：（1）由于抛物线过点O（0，0） ，A（2，0） ，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1 ；（2）作 AB
22、x 轴与 B，先根据旋转的性质得OA =OA=2，AOA=2 ，再根据含30 度的直角三角形三边的关系得OB=OA =1 ，AB=OB=，则 A 点的坐标为（1，） ，根据抛物线的顶点式可判断点A 为抛物线y= （x1）2+的顶点试题解析：（1）二次函数y=a（xh）2+的图象经过原点O（0，0） ，A（2，0） 抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点 A 是该函数图象的顶点理由如下：如图，作 ABx 轴于点 B，线段 OA 绕点 O 逆时针旋转60 到 OA ，OA =OA=2，AOA=2 ，在 RtAOB中， OA B=30 ，OB=OA =1 ，1233333312精品资料 - - - 欢
23、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载AB=OB=，A 点的坐标为（ 1，） ，点 A 为抛物线y=（x1）2+的顶点考点： 1.二次函数的性质；2.坐标与图形变化-旋转 . 【例 7】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD（1）求此抛物线的解析式（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积【答案】（1）； （2）D（2，
24、6） ，1233333212yxbxc21242yxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载考点： 1待定系数法求二次函数解析式；2二次函数图象上点的坐标特征【例 8】如图，顶点M 在轴上的抛物线与直线相交于 A、B 两点，且点A 在轴上，点 B 的横坐标为2，连结 AM 、BM （1）求抛物线的函数关系式；（2）判断 ABM 的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，
25、使其顶点为（，） ，当满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？【答案】（1）抛物线的解析式为（2）ABM 是直角三角形，且BAM 90 理由见试题解析；y1yxxyxm2mm21yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）平移后的抛物线总有不动点，【解析】试题解析：解： （1）点 A 是直线与轴的交点， A 点为（ -1，0）点 B 在直线上，且横坐标为2， B 点为（ 2，3）过点 A、B 的抛物线的顶点M
26、 在轴上，故设其解析式为：，解得：抛物线的解析式为（2）ABM 是直角三角形，且BAM 90 理由如下：作 BC轴于点 C，A（-1，0） 、B（2，3） AC BC3， BAC 45 ；点 M 是抛物线的顶点， M 点为（ 0，-1） OAOM 1， AOM 90 MAC 45 ；BAM BAC MAC 90 ABM 是直角三角形（3）将抛物线的顶点平移至点（，） ，则其解析式为抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，14m1yxx1yxy2yaxc043acac11ac21yxx21yxm2m22yxmmyx22xmmx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
27、 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载化简得：当时，方程总有实数根， 即平移后的抛物线总有不动点考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）旋转【知识梳理】1 图形的旋转知识点一旋转的定义在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二旋转的性质旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
28、旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（ 2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三利用旋转性质作图旋转有两条重要性质： （1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：222120 xmxmm22214 12mmm41m410m222120 xmxmm14m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - -
29、- - - - - - -第 22 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；接：即连接到所连接的各点。23.2 中心对称知识点一中心对称的定义中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180两个图形能够完全重合。知识点二作一个图形关
30、于某点对称的图形要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。知识点三中心对称的性质有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。知识点四中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五关于原点对称的点的坐标在平面直角坐标系中，如
31、果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y ）关于原点对称点为（-x,-y ） 。【典型例题分析】【例 1】(2017 四川宜宾中考 ) 如图 , 在矩形ABCD中,BC=8,CD=6, 将ABE沿BE折叠 , 使点A恰好落在对角线BD上的点F处, 则DE的长是 (C) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A.3 B.C.5 D.解析 :在矩形ABCD中,BAE=90, 且由折叠可得BEFBEA,
32、BFE=90,AE=EF,AB=BF, 在 RtABD中,AB=CD=6,BC=AD=8, 根据勾股定理得BD=10, 即FD=10-6=4, 设EF=AE=x, 则有ED=8-x, 根据勾股定理得x2+42=(8-x)2, 解得x=3, 所以DE=8-3=5, 故选 C.【例 2】 (2017 山东枣庄中考 ) 如图 ,把正方形纸片ABCD先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN, 再过点B折叠纸片 , 使点A落在MN上的点F处, 折痕为BE.若AB的长为 2, 则FM的长为 (B ) A.2 B.C.D.1 解析 :四边形ABCD为正方形 ,AB=2, 过点B折叠纸片 , 使点A落在M
33、N上的点F处,FB=AB=2,BM=1, 则在 RtBMF中,FM=, 故选 B.【例 3】 (2017 湖南长沙中考 ) 如图 , 将正方形ABCD折叠 , 使顶点A与CD边上的一点H重合 (H不与端点C,D重合), 折痕交AD于点E, 交BC于点F, 边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m, CHG的周长为n, 则的值为 (B ) A. B. C. D.随H点位置的变化而变化精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 31 页 - - - - - - - - - -
34、 学习好资料欢迎下载解析 : 设CH=x,DE=y, 则DH= -x,EH=EA=-y,EHG=90,DHE+CHG=90.DHE+DEH=90, DEH=CHG, 又D=C=90, DEHCHG, , 即, CG=,HG=, CHG的周长n=CH+CG+HG=, 在 RtDEH中,DH2+DE2=EH2, 即+y2=, 整理得-x2=, n=CH+HG+CG=.故.故选 B.圆【知识梳理】知识点一圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O ，半径为 r 的圆是所有到定点
35、O的距离等于定长r 的点的集合。比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载知识点二圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3）等圆：等够重合的两个圆
36、叫做等圆。（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段， 弧是曲线， 判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径知识点一圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二垂径定理（1）垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示， 直径为 MD ，AB是弦，且 CD AB ，垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点 C， CDAB AC=BC AM=BM AD=BD 注意： 因为圆
37、的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。24.1.3 弧、弦、圆心角知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它M A B D o C AC=BC AM=BM 垂足为 C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载们所对应的其
38、余的各组量也相等。（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件， 即使圆心角相等，所对的弧、 弦也不一定相等， 比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。24.1.4 圆周角知识点一圆周角定理（1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（2）圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对弦是直径。（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧” 是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点二圆内接四边形及其性质圆内接多边形： 如
39、果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：(1) 圆内接四边形的对角互补。 (2)四个内角的和是360(3) 圆内接四边形的外角等于其内对角24.2 点、直线和圆的位置关系24.2.1 点和圆的位置关系知识点一点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。（2）用数量关系表示：若设O的半径是 r ，点 P到圆的距离OP=d ，则有：点 P在圆外 dr ；点 p在圆上 d=r；点 p 在圆内 dr 。知识点二（1）经过在同一条直线上的三个点不能作圆（2） 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即
40、经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。知识点三三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载知识点四反证法（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。（2）反证法的一
41、般步骤：假设命题的结论不成立；从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。24.2.2 直线和圆的位置关系知识点一直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示若设 O的半径是 r，直线 l 与圆心 0 的距离为 d，则有：直线 l 和 O相交 d r ；直线 l 和 O相切 d = r；直线 l 和 O相离 d r 。知识点二切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于
42、过切点的半径。（3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点三切线长定理（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。知识点四三角形的内切圆和内心精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
43、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(1) 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。(2) 三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。(3) 注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。(4) 直角三角形内切圆半径的求解方法：直角三角形直角边为a.b ，斜边为 c，直角三角形内切圆半径为r. a-r+b-r=c,得2cba
44、r。根据三角形面积的表示方法：21ab=rcba)(21, cbaabr. 24.3 正多边形和圆知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n 是大于 2 的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。知识点二正多边形的性质（1）各边相等，各角相等；（2）都是轴
45、对称图形，正n 边形有 n 条对称轴，每一条对称轴都经过n 边形的中心。（3）正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成2n 个全等的直角三角形。（4）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都经过正 n 边形的中心； 当正 n 边形的边数为偶数时， 这个正 n 边形也是中心对称图形，正 n 边形的中心就是对称中心。（5）正 n 边形的每一个内角等于nn180)2(，中心角和外角相等，等于n360。24.4 弧长和扇形面积精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29
46、页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载知识点一弧长公式 L=180Rn在半径为 R的圆中， 360的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2R，所以 n的圆心角所对的弧长的计算公式L=360n2R=180Rn。知识点二扇形面积公式在半径为 R的圆中，360的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=R2， 所以圆心角为n的扇形的面积为S扇形=3602Rn。比较扇形的弧长公式和面积公式发现：S扇形=lRlRRRnRns21,21211803602扇形所以知识点三圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形
47、。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r ，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为 2r ，因此圆锥的侧面积122r lrls圆锥侧。圆锥的全面积为2rrlsss底圆锥侧圆锥全。【典型例题分析】【例 1】如图 , 点A,B,C在O上, ABO=32, ACO=38, 则BOC等于 (B) A.60 B.70 C.120D.140解析 : 如图 , 过点A作O的直径 , 交O于点D.在OAB中,OA=OB, BOD=OBA+OAB=232=64.同理可得 , COD=OCA+OAC=238=76, BOC=BOD+COD=140.故选 D. 【例 2】如图 , 已知AB是O的直径 ,AC是弦 , 过
48、点O作ODAC于点D, 连接BC.(1) 求证 :OD=BC; (2)若BAC=40, 求的度数.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 30 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(1) 证明 : ( 证法一 )AB是O的直径 ,OA=OB.又ODAC,ODA=BCA=90.ODBC.AD=CD. OD=BC.( 证法二 )AB是O的直径 , C=90,OA=AB.ODAC, 即ADO=90,C=ADO.又A=A,ADOACB. OD= BC.(2) 解: ( 解法一 )AB是O的直径 , A=40, C=90的度数为 :2(90+40)=260.( 解法二 )AB是O的直径 , A=40, C=90,B=50. 的度数为 100. 的度数为 260.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 31 页，共 31 页 - - - - - - - - - -