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1、学问梳理一、学问结构：一元二次方程一元二次方程题型分类总结解与解法根的判别韦达定理考点类型一概念1 定义： 只含有一个未知数 ,并且 未知数的最高次数是2,这样的 整式方程就是一元二次方程；2 一般表达式： ax2bxc0a0难点 ：如何懂得 “未知数的最高次数是2”：该项系数不为“ 0”；未知数指数为“ 2”；如存在某项指数为待定系数, 或系数也有待定, 就需建立方程或不等式加以争论；典型例题：例 1、以下方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）A3 x1 22 x1B1120C ax 2bxc0D x 2x2x2xx 21变式：当 k时,关于 x 的方程kx 22 xx23 是一元二次方程
2、；例 2 、 方程 m2 x m3mx10 是关 于 x 的 一元二次方程,就 m 的值为；针对练习： 1、方程 8 x 27 的一次项系数是,常数项是；m 2、如方程 m2 x10 是关于 x 的一元一次方程,求 m的值；写出关于 x 的一元一次方程； 3、如方程 m1 x2m . x1 是关于 x 的一元二次方程,就 m的取值范畴是；mn2 4、如方程 nx+x -2x=0 是一元二次方程,就以下不行能的是（）=n=2=3,n=1=2,m=1=n=1考点类型二方程的解概念： 使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解；应用 ：利用根的概念求代数式的值；典型例题： 例 1、已知2 y2y3 的
3、值为 2,就 4 y 22 y1 的值为；例 2、关于 x 的一元二次方程a2 x 2xa 240 的一个根为 0,就 a 的值为；例 3、已知关于 x 的一元二次方程ax 2bxc0 a0 的系数满意 acb ,就此方程必有一根为；例 4、已知a,b 是方程 x24xm0 的两个根,b,c 是方程 y28y5m0 的两个根,2就 m的值为；针对练习：1、已知方程xkx100 的一根是 2,就 k 为,另一根是；2、已知关于 x 的方程x2kx20 的一个解与方程x1x13 的解相同；求 k 的值；方程的另一个解；3、已知 m是方程x 2x10 的一个根,就代数式m 2m；90;0 4、已知
4、a 是 x23x10 的根,就2a 26a； 5、方程ab x2bc xca0 的一个根为（）A1B 1CbcDa 6、如 2 x5 y30, 就 4 x . 32 y；考点类型三解法方法： 直接开方法；因式分解法；配方法；公式法关键点： 降次类型一、直接开方法：x 2m m0 ,xm对于xa2m , axm 2bxn2等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程： 1 2 x 280;22 2516 x =0;23 1x例 2、如 9 x1216 x22,就 x 的值为；针对练习： 以下方程无解的是（）A. x 232 x21B.x220C.2 x31xD.x 29类型二、因式分解法 :x
5、x1xx20xx1, 或xx2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,方程形式：如 axm2bxn2, xaxbxaxc,x22axa 20典型例题：例 1、 2 x x35 x3的根为（）Ax5B2x3Cx5 , x3Dx22125例 2、如 4 xy 23 4 xy40 ,就 4x+y 的值为；22变式 1： a2ba 2b260, 就a2b2；变式 2：如 xy2xy30 ,就 x+y 的值为；变式 3：如 x2xyy14 , y 2xyx28 ,就 x+y 的值为；例 3、方程x2x60 的解为（）A. x13,x22B.x13,x22 C.x13,x23 D.x12,
6、x2 2例 4、解方程： x2231 x2340例 5、已知2x 23 xy2 y 20 , 就 xxy 的值为；y变式：已知2 x23 xy2 y 20 , 且 x0, y0 , 就 xxy 的值为；y针对练习： 1、以下说法中：方程 x2pxq0 的二根为x , x ,就 xpxq xx xx 21212x26 x8 x2 x4 . a 25ab6b 2a2a3 x2y 2xyxy xy方程3x1270 可变形为3x17 3x17 0正确的有（）个个个个 2、以17 与17 为根的一元二次方程是（）A x22 x60B x22x60C y22 y60D y22 y60写出一个一元二次方程,
7、要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： 4、如实数 x、y 满意 xy3xy20 ,就 x+y 的值为（）A、-1 或-2B1x2、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 25、方程： x22 的解是； 6、已知6 x2xy6 y20 ,且 x0 , y2x0,求3xy6y 的值； 7 、 方 程1999 x219982000 x10的 较 大 根 为r, 方 程2007 x 22022x10 的较小根为 s,就 s-r的值为；类型三、配方法 ax 2bxc0 a0xb2a2b24ac4a 2在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题；典型例题：例1、 试用配方法
8、说明x22 x3 的值恒大于 0；例2、 已知 x、y 为实数,求代数式x 2y22 x4 y7 的最小值；例3、 已知 x 2y 24 x6 y130,x、y为实数,求 x y 的值；例4、 分解因式： 4 x212x3针对练习： 3、写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且两根互为倒数： 1、试用配方法说明10x 27 x4 的值恒小于 0； 2、已知 x21x1x 2x40 ,就x1.x 3、如 t23x212x9 ,就 t的最大值为,最小值为； 4 、 假如 abc114a22b14 , 那 么 a2b3c 的值为；类型四、公式法条件： a0,且b24ac0公式： xbb 22a
9、4 ac ,a0, 且b 24ac0典型例题：例 1、挑选适当方法解以下方程： 3 1x 26. x3x68. x24 x10 3x 24 x10 3 x1 3 x1x1 2 x5例 2、在实数范畴内分解因式：（ 1） x222 x3 ；（ 2）4 x28 x1 . 2 x24 xy5 y 2说明：对于二次三项式ax 2bxc 的因式分解,假如在有理数范畴内不能分解,一般情形要用求根公式,这种方法第一令ax 2bxc =0,求出两根,再写成ax 2bxc = a xx1 xx2 .分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去.类型五、 “降次思想”的应用求代数式的值；解二元
10、二次方程组；典型例题：例1、 已知 x23x20 ,求代数式x1 3x2x11的值；例 2、假如x 2x10 ,那么代数式 x 32 x 27 的值；3例 3、已知 a 是一元二次方程 x23 x10 的一根,求 a2a 25aa 211 的值；例 4、用两种不同的方法解方程组2xyx25xy6,6y20.12说明：解二元二次方程组的详细思维方法有两种： 先消元, 再降次；先降次, 再消元；但都表达了一种共同的数学思想化归思想,即把新问题转化归结为我们已知的问题 .考点类型四根的判别式 b2- 4ac根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它；典型例题：例 1、如关于 x 的方程
11、 x 22 k x10 有两个不相等的实数根, 就 k 的取值范畴是；例 2、关于 x 的方程 m1 x 22mxm0 有实数根,就 m的取值范畴是 A. m0且m 1B.m0C.m1D.m1例 3、已知关于 x 的方程 x2k2 x2 k0(1) 求证：无论 k 取何值时,方程总有实数根；(2) 如等腰 ABC的一边长为 1,另两边长恰好是方程的两个根, 求 ABC的周长；例 4、已知二次三项式9 x2 m6xm2 是一个完全平方式,试求 m 的值.例 5、m 为何值时,方程组x22 y2mxy6,有两个不同的实数解？有两个相同的实3.数解？针对练习： 1、当 k时,关于 x 的二次三项式x
12、2kx9 是完全平方式； 2、当 k 取何值时, 多项式 3x24 x2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？ 3、已知方程 mx2mx20 有两个不相等的实数根,就 m的值是. 4、k 为何值时,方程组ykx2,y24x2 y10.（1） ）有两组相等的实数解,并求此解；（2） ）有两组不相等的实数解；（3） ）没有实数解 . 5、当k 取何值时,方程 x24mx4 x3m22m4 k0 的根与 m 均为有理数？考点类型五方程类问题中的“分类争论”典型例题：例 1、关于 x 的方程 m1 x22 mx30有两个实数根,就 m为,只有一个根,就 m为； 例2、 不解方程,判定关于 x 的
13、方程 x22 xkk 23 根的情形；例 3、假如关于 x 的方程x 2kx20 及方程 x 2x2k0 均有实数根,问这两方程是否有相同的根？如有,恳求出这相同的根及k 的值；如没有,请说明理由；考点类型六应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴, 出席者两两碰杯一次,共碰杯 990 次,问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片,全组共送了90 张,那么这个小组共多少人？3、北京申奥胜利,促进了一批产业的快速进展,某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场, 依据方案, 第一年投入资金 600 万元, 其次
14、年比第一年削减1,第三年比其次年削减31 ,该产品第一年收入资金约400 万元,公司方案三年内不仅要将投入的总资金全部收回,2仍要盈利1 ,要实现这一目标,该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到,3133.61 ）4、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品, 据市场分析, 如按每千克 50 元销售, 一个月能售出500 千克,销售单价每涨1 元,月销售量就削减10 千克,针对此回答：（1） 当销售价定为每千克55 元时,运算月销售量和月销售利润；（2） 商店想在月销售成本不超过10000 元的情形下,使得月销售利润达到8000 元, 销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm
15、的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形；2（1） 要使这两个正方形的面积之和等于17cm,那么这两段铁丝的长度分别为多少？2（2） 两个正方形的面积之和可能等于12cm 吗？如能,求出两段铁丝的长度；如不能,请说明理由；（3） 两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36 千米 . 甲从 A 地,乙从 B 地同时动身相向而行,两人相遇后,甲再走 2 小时 30 分到达 B 地,乙再走 1 小时 36 分到达 A 地,求两人的速度.考点类型七根与系数的关系2前提：对于 axbxc0 而言,当满意 a0 、0 时,才能用韦达定理；主要内容： x1x2b , x x
16、c12aa应用：整体代入求值；典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2 x28 x70 的两根,就这个直角三角形的斜边是（）A.3D.6例 2、已知关于 x 的方程k 2 x 22 k1 x10 有两个不相等的实数根x1, x2 ,（1） ）求 k 的取值范畴；（2） ）是否存在实数 k,使方程的两实数根互为相反数？如存在,求出k 的值； 如不存在,请说明理由；例 3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时, 小明因看错常数项,而得到解为 8 和 2,小红因看错了一次项系数,而得到解为 -9 和-1 ；你知道原先的方程是什么吗？其正确解应当是多少？例 4、已知 ab , a 22a10 , b 22b10 ,求 ab变式：如 a 22a10 , b 22b10 ,就 abb 的值为；a例 5、已知 ,是方程x 2x10 的两个根,那么43.针对练习：1、解方程组xy3,22xy51 22已知 a 27 a4 , b 27b4 ab ,求 b aa 的值；b3、已知x1, x2是方程x 2x90 的两实数根,求 17x23 x266 的值；4、已知关于 X 的方程 x 22 m2 xm 20 , 问：是否存在实数 m,使方程的两x32个实数根的平方和等于56,如存在,求出 m的值,如不存在,请说明理由 ；