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1、精品学习资源数学模型试验试验报告 10学院：专业：姓名：学号： 试验时间： 试验地点：一、试验项目 ：传染病模型求解二、试验目的和要求b.求解微分方程的数值解三、试验内容问题的描述各种传染病给人类带来的庞大的灾难，长期以来， 建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探究禁止传染病扩散的手段等，始终是各国有关专家和官员关注的课题；不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3 模型；分别对 3 种建立胜利的模型进行模型分析，便可以明白到该传染病在人类间传播的大致情形；模型一 SI 模型：1模型假设1. 在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，人群
2、分为健康人和病人，时刻t 这两类人在总人数中所占比例为 st和 it；2. 每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a 成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病；2建立模型依据假设， 每个病人每天可使ast 个健康人变成病人， t 时刻病人数为 Ni t，所以每天共有 aNstit个健康者被感染，即病人的增加率为：Ndi/dt=aNsi又由于 s t+i t=1再记时刻 t=0 时病人的比例为 i0就建立好的模型为：欢迎下载精品学习资源di dti0=i0ai 1i 欢迎下载精品学习资源3模型求解 代码、运算结果或输出结果syms a i t i0%a：日接触率， i：病人比例，s：
3、健康人比例， i0 ：病人比例在t=0 时的值i=dsolveDi=a*i*1-i,i0=i0,t; y=subsi,a,i0,0.32; ezploty,0,100figure欢迎下载精品学习资源i=str2doublei; i=0:0.01:1;y=0.3*i.*1-i;ploti,ySI 模型的 it 曲线SI 模型的 di/dti曲线4结果分析由上图可知，在i=0:1 内， di/dt 总是增大的，且在时，取到最大值，即在t-inf 时，全部人都将患病；上述模型明显不符合实际，为修正上述结果，我们重新考虑模型假设，建立SIS 模型模型二 SIS 模型（1） ） 模型假设假设条件 1.2
4、 与 SI 模型相同；u，成为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者；明显1/u 是平均传染期；2模型建立病人的增加率： Ndi/dt=aNsi-uNi且 i t+st=1 ； 就有： di/dt=ai1-i-ui在此定义 k=a/b ，可知 k 是整个传染传染期内每个病人有效接触的平均人数，成为接触数；就建立好的模型为：欢迎下载精品学习资源diai i dt11 / k欢迎下载精品学习资源i0=i0;（2） ） 模型求解 代码、运算结果或输出结果 symsa i u t i0% a：日接触率， i：病人比例， u：日治愈率， i0：病人比例在 t=0 时的值 dsolveDi=a*i*1
5、-i-u*i,i0=i0,t% 求用 u 表示的 i t 解析式 syms k%k：接触数 k=a/u; i=dsolveDi=-a*i*i+a*i*1-1/k,i0=i0,t% 求用 k 表示的 i t 解析式% 给 k、a、 i0 指定特别值，作出相关图像 y=subsi,k,a,i0,2,0.3,0.02;% k1 的情形，以 k=2 为例欢迎下载精品学习资源 ezploty,0,100pause%作 i t 图，分析随时间t 的增加 , i 的变化 gtext1/klegendk1本例中 k=2figure i=str2doublei; i=0:0.01:1; y=-0.3*i.*i-
6、1/2; ploti,y%作 di/dt i 的图像 gtext1-1/k, 在此图中为 0.5 legendk=2 y=subsi,k,a,i0,0.8,0.3,0.02;% k ezploty,0,100%作 i t 图，分析随时间 t 增加， i 的变化 legendkfigure i=str2doublei;:1; y=-0.3*i.*i-1-1/0.8; ploti,y%作 di/dt i 的图像 legendk=0.8 gtextk1SIS 模型的 it 曲线 k1欢迎下载精品学习资源SIS 模型的 di/dt i 曲线 k1SIS 模型的 it 曲线 k1 时， it的增减性取决
7、于i0 的大小，但其极限值i =1-1/k 随 k 的增加而增加；当k0和 i0i00 不妨设移出者的初始值r0=0 ，就 SIR模型的方程可以写作欢迎下载精品学习资源disidtds dti ,i 0t0si, s0s03欢迎下载精品学习资源3模型求解我们无法求出解析解，先做数值运算：欢迎下载精品学习资源设1,0.3, i 00.02, s00.98 ，用 MA TLAB软件编程：欢迎下载精品学习资源function y=illt ， xa=1;b=0.3;y=a*x1*x2-b*x1, -a*x1*x2;ts=0:50; x0=0.02,0.98;t,x=ode45i11,ts,x0;t,
8、xplott,x:,1,t,x:,2,grid,pauseplotx:,2,x:,1表 1it , st 的数值运算结果t012345678itstt91015202530354045it0st欢迎下载精品学习资源i t, st的图形is 图形相轨线欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4结果分析i t , st 的图形见左图，i s 的图形见右图， 称为相轨线， 随着 t 的增加，s,i 沿轨线自右向左运动；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由上图结合表1 可知，i t 由初值增长至约 t7 时到达最大值，然后削减，t, t0; st 就单调欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源削
9、减 t, s0.0398 ；欢迎下载精品学习资源进行相轨线分析，可得：欢迎下载精品学习资源s i平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域 s, i D 为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源D s, t | s0,i0, si1欢迎下载精品学习资源在方程 3中消去 dt ，并留意到的定义，可得欢迎下载精品学习资源di1dts1i |iss0，0 4欢迎下载精品学习资源简单求出它的解为欢迎下载精品学习资源i s0i0 s1 ln s s05欢迎下载精品学习资源在定义域 D 内，上式表示的曲线即为相轨线欢迎下载精品学习资源1. 不管初始条件s0 , i0 如何，病人终将消逝，即欢迎下载精品学习
10、资源欢迎下载精品学习资源i0ds06dr0欢迎下载精品学习资源其证明如下，第一，由3， dt而 st0 故 s 存在；由 2， dt，而 r t 1 ，故 r存在，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源dr再由 1，对于充分大的t 有 dt2 ，这将导致，与 r存在相冲突；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 最终未被感染的健康者的比例是s ，在 5式中令 i0 得到， s 是方程欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源s0i0s1 ln s0 s07欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源在 0,1 / 内的根；在图形上，s 是相轨线与 s轴在0,1 / 内交点的横坐标；欢迎下载精
11、品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 假设 s01/，就 it 先增加，当 s1 /时， i t 到达最大值欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源is0i01 1lns0 8欢迎下载精品学习资源然后 it 减小且趋近于0， st 就单调减小至s ；欢迎下载精品学习资源4. 假设 s01/，就it 单调削减至 0， st 单调削减至 s ；假如仅当病人比例i t 有一段增长的时期欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源才认为传染病在扩散，那么1 /是一个阈值，当 s01/即1/ s0 时传染病就会扩散；而减小欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源传染期接触数，即提高阈值 1/，使得 s01/即
12、1/ s0 ，传染病就不会扩散健康者比例欢迎下载精品学习资源的初始值s0 是肯定的，通常可认为s0 接近 1；欢迎下载精品学习资源并且，即使 s01/，从 7，8式可以看出，削减时， s 增加通过作图分析 ， im 降低，也掌握了扩散的程度，我们留意到，在/中，人们的卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越大，于是越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于掌握传染病的扩散；欢迎下载精品学习资源从另一方面看，ss.1 /是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源个病人被s个健康者交换，所以当s0例 i t 绝不会增加，传染病不会扩散；建模所得：1. 符号变量如何使用2. 如何求微分方程的解析解和数值解1/, 即s01时，必有s1 ，既然交换数不超过1，病人比欢迎下载精品学习资源3. 对符号变量方程作图时，先将其中的符号变量赋值，再将其变成数值变量，这也是一种有效的解决方法；欢迎下载