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1、精品学习资源（2021.05.22）经济数学基础复习指导（文本）欢迎下载精品学习资源1. 懂得函数概念；第一部 微分学第 1 章 函数欢迎下载精品学习资源懂得函数概念时，要把握函数的两要素定义域和对应关系，这要解决下面四个方面的问题：（ 1）把握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；函数的定义域就是使函数有意义的自变量的变化范畴；同学要把握常见函数的自变量的变化范畴，如分式的分母不为 0，对数的真数大于0，偶次根式下表达式大于0，等等；欢迎下载精品学习资源例 1求函数 yln x21) 的定义域；x欢迎下载精品学习资源解 ln x1 的定义域是 x1， 2x 的定义域是 x2 ，但
2、由于2x 在分母上，欢迎下载精品学习资源因此 x2 ；故函数 yln x21 的定义域就是上述函数定义域的公共部分，即1x2；x欢迎下载精品学习资源x（ 2）懂得函数的对应关系f 的含义： f 表示当自变量取值为x 时，因变量 y 的取值欢迎下载精品学习资源为 f x ；例如，对于函数222yf xx2ln2ln x2 ， f 表示运算：欢迎下载精品学习资源于是，f 112ln 1213， f 22ln 228ln 2 ；欢迎下载精品学习资源例2设f xx1 ，求f f x1 ；欢迎下载精品学习资源解由于f xx1 ，说明 f 表示运算： 1 ，因此欢迎下载精品学习资源f f x1 f x11
3、 f x2欢迎下载精品学习资源再将 f xx1代入，得欢迎下载精品学习资源f f x1 = x12x3欢迎下载精品学习资源（ 3）会判定两函数是否相同；从函数的两个要素可知，两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规章相同，而与自变量或因变量所用的字母无关；例 3 以下函数中，哪两个函数是相等的函数：欢迎下载精品学习资源A. f xx与 gtt2x21欢迎下载精品学习资源B. f x与 g xx1x1欢迎下载精品学习资源解 A中的两个函数定义域相同，对应规章也相同，故它们是相等的函数；B 中的两个函数定义域不同，故它们是不相等的函数；（ 4）明白分段函数概念，把握求分段函数定义域和函数值的
4、方法；欢迎下载精品学习资源例 4设f xx1x1xx1，求函数的定义域及1f 2,f 0 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解函数的定义域是, ，f 2211 ,f 0101；欢迎下载精品学习资源2. 把握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；判定函数是奇函数或是偶函数，可以用定义去判定，即欢迎下载精品学习资源（ 1）如 f xf x ，就f x 为偶函数；欢迎下载精品学习资源（ 2）如 f xf x ，就f x 为奇函数；欢迎下载精品学习资源也可以依据一些已知的函数的奇偶性，再利用“奇函数奇函数、奇函数偶函数仍为奇函数；偶函数偶函数、偶函数偶函数、奇函数奇函数仍为偶函数”的性质来判定；
5、例 5 以下函数中，（）是偶函数；欢迎下载精品学习资源A. f xx3 sin xB. f xx31欢迎下载精品学习资源C. f xaxa xD. f xx2 sin x欢迎下载精品学习资源解依据偶函数的定义以及奇函数奇函数是偶函数的原就，可以验证A 中x3 和欢迎下载精品学习资源sinx 都是奇函数，故它们的乘积f xx3 sin x 是偶函数，因此 A 正确；既然是单项欢迎下载精品学习资源题， A 已经正确，那么其它的选项肯定是错误的；故正确选项是A；3. 明白复合函数概念，会对复合函数进行分解；欢迎下载精品学习资源例 6将复合函数 ycosln 2x1 分解成简洁函数；欢迎下载精品学习资
6、源解ycosu, uln v,v2 x1；欢迎下载精品学习资源4. 知道初等函数的概念，牢记常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解读表达式、定义域、主要性质及图形；基本初等函数的解读表达式、定义域、主要性质及图形在微积分中常要用到，肯定要娴熟把握；5. 明白需求、供应、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；6. 会列简洁应用问题的函数表达式；例 7生产某种产品的固定成本为1 万元，每生产一个该产品所需费用为20 元，如该产品出售的单价为30 元，试求：（ 1）生产 q 件该种产品的总成本和平均成本；（ 2）售出 q 件该种产品的总收入；（ 3）如生产的产品
7、都能够售出，就生产q 件该种产品的利润是多少？ 解 （1）生产 x 件该种产品的总成本为欢迎下载精品学习资源平均成本为CqC q1000010000q20q ；20 ；欢迎下载精品学习资源（ 2）售出 q 件该种产品的总收入为（ 3）生产 q 件该种产品的利润为R x30q ；欢迎下载精品学习资源L qRqCq欢迎下载精品学习资源= 30q1000020q =10q10000 .欢迎下载精品学习资源第 2 章 极限，导数与微分1. 把握求简洁极限的常用方法；求极限的常用方法有（ 1）利用极限的四就运算法就；（ 2）利用两个重要极限；（ 3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量仍是无穷小量）
8、；（ 4）利用连续函数的定义；例 1求以下极限：欢迎下载精品学习资源x 23x（ 1） lim22sin x1；（ 2） lim2欢迎下载精品学习资源x2 xx2x1x1欢迎下载精品学习资源（ 3） lim1x1；（ 4） lim2 x333 x224 x5；欢迎下载精品学习资源x0xx5 xx3 x1欢迎下载精品学习资源解（ 1）分解因式，消去零因子，再利用四就运算法就运算欢迎下载精品学习资源22lim x3x2lim x1 x2lim x11欢迎下载精品学习资源x2xx2x2 x1 x2x2 x13欢迎下载精品学习资源（ 2）利用第一重要极限和四就运算法就运算欢迎下载精品学习资源limsi
9、n x1limsin x1欢迎下载精品学习资源x 1x21x1 x1 x1欢迎下载精品学习资源limsin x1lim1111欢迎下载精品学习资源x 1x1x1 x1112欢迎下载精品学习资源（ 3）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四就运算法就运算欢迎下载精品学习资源lim1x1 = lim 1x1 1x1欢迎下载精品学习资源x0xx 0x1x1=lim1x1欢迎下载精品学习资源= lim1=1x0 x 1x1欢迎下载精品学习资源x 01x12（ 4）利用教材 P68 的结论欢迎下载精品学习资源limx2 x 35x33x 2x24x52；3x15欢迎下载精品学习资源2. 知道一些与极
10、限有关的概念（ 1）知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；（ 2）明白无穷小量的概念，明白无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；（ 3）明白函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，明白“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判定函数在某点的连续性，会求函数的间断点；例 2 以下变量中，是无穷小量的为（）1欢迎下载精品学习资源A. xsin1 x x0 B.ln x xC.e x x10 D.x x22 x241欢迎下载精品学习资源解 A中：由于 x是无穷小量；0 时，是无穷小量，sin是有界变量，由定理，xxsin
11、 x0x欢迎下载精品学习资源B 中：由于 x时，ln x，故 lnx x1 不是无穷小量；欢迎下载精品学习资源C中：由于 x10 时，11，故 e xx0 ；但是 x0 时，1，x欢迎下载精品学习资源故 e x，因此 ex 当 x0 时不是无穷小量；欢迎下载精品学习资源2D 中：由于 x2x41，故当 x x22 时， x22x41x2，24x4不是无穷小量；欢迎下载精品学习资源因此正确的选项是B；例 3 当 k（）时，f xx1x 2kx0在 x0 处连续；x0欢迎下载精品学习资源A.0B. 1C.2D.1欢迎下载精品学习资源解函数在一点连续必需满意既是左连续又是右连续；由于欢迎下载精品学习
12、资源而左连续f 0011f 0 lim x2kkf 0 ；欢迎下载精品学习资源x0欢迎下载精品学习资源故当 k1 时，f x 在 x0 处连续；欢迎下载精品学习资源正确的选项是D；3懂得导数定义；懂得导数定义时，要解决下面几个问题：（ 1）牢记导数定义的极限表达式；（ 2）会求曲线的切线方程；（ 3）知道可导与连续的关系 可导的函数肯定连续，连续的函数不肯定可导 ；欢迎下载精品学习资源例 4 设 f xlnx ，就 limx1f x x11（）；欢迎下载精品学习资源A 1B. e 2C. 0D. 不存在欢迎下载精品学习资源解假如单看 求极限 limf xlimln x，很难求出结果；但是如联想
13、到ln 10欢迎下载精品学习资源以及导数的定义，即有x1 x1x1 x1欢迎下载精品学习资源limf xlimln xlimln xln 1 ln x 1欢迎下载精品学习资源x 1x1x1 x1x1x1x 1欢迎下载精品学习资源故正确的选项是A；欢迎下载精品学习资源例 5 设f x 在 x0 处可导，且f 00 ，就limf x；欢迎下载精品学习资源x0x欢迎下载精品学习资源A. 不存在B.f 0C.0D. 任意欢迎下载精品学习资源解由于已知f x 在 x0 处可导，且f 00 ，将f x看成f xf 0 , x 看成欢迎下载精品学习资源x0 ，就limf xlimf xf 0 就是f x 在
14、 x0 处的导数，故欢迎下载精品学习资源x0xx0x0欢迎下载精品学习资源limf xf 0欢迎下载精品学习资源x0x故正确选项是 B；欢迎下载精品学习资源例 6 曲线 yx3x 在点（ 1， 0）处的切线是（）欢迎下载精品学习资源A. y2 x2 B.y2 x2 C.y2 x2 D.y2x2欢迎下载精品学习资源解 依据导数的几何意义可知，y 1 x3xx 13x 212x1欢迎下载精品学习资源是曲线 yx3x在点（ 1， 0）处的切线斜率，故切线方程是欢迎下载精品学习资源y02 x1) ，即 y2x2欢迎下载精品学习资源故正确的选项是A；欢迎下载精品学习资源例 7 求曲线f xx1在点1,2
15、处的切线方程；欢迎下载精品学习资源解由于 fxx11， f2x1112x x 12欢迎下载精品学习资源所以，在点1,2 处的切线方程为y21 x12欢迎下载精品学习资源即y1 x3 ；224. 娴熟把握求导数或微分的方法；详细方法有：（ 1）利用导数（或微分）的基本公式（ 2）利用导数（或微分）的四就运算法就（ 3）利用复合函数微分法（ 4）利用隐函数求导法就例 8求以下导数或微分：欢迎下载精品学习资源（ 1）设 y13x5，求 y ；欢迎下载精品学习资源（ 2）设 ycosx2,yxe求 ；欢迎下载精品学习资源（ 3）设函数 yy x 由方程 exy2x1确定，求 y ；欢迎下载精品学习资源
16、（ 4）设 yxx12 x,求 dy ；1欢迎下载精品学习资源解（1）这是一个复合函数1欢迎下载精品学习资源y利用复合函数求导数u 2 ,u3x5333欢迎下载精品学习资源y1 u22 3x53 u 223 3x25 2欢迎下载精品学习资源=（ 2）这是由两个复合函数相减构成的函数，先用导数的减法法就，再分别用复合函数求导法就求导；欢迎下载精品学习资源2ycosxe x2 sinxxe x 2 x 2 欢迎下载精品学习资源=sinx12xe x2 2x2xe xsinx2 x欢迎下载精品学习资源（ 3） 两边对 x 求导得：2exy y 22xyy 10欢迎下载精品学习资源整理得 y（ 4）
17、y1e 2xy xxxy2y 2 133 x 22欢迎下载精品学习资源dyy dx33 x 222x2 2x121 2dx2x1 2欢迎下载精品学习资源5. 知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数；欢迎下载精品学习资源例 9已知 y= x sinx ，就y （）2欢迎下载精品学习资源A. 1B.1C.D.22解利用导数的公式和导数的乘法法就运算：ysin xxcos x ,y2 cos xx sin x欢迎下载精品学习资源y 22 cosxx sin x x22欢迎下载精品学习资源故正确的选项是D；第 3 章 导数的应用欢迎下载精品学习资源1. 把握函数单调性的判别方法，把握极值点的判别方法，会
18、求函数的极值；通常的方法是利用一阶导数的符号判定单调性，也可以利用已知的基本初等函数的单调性判定；例 1 在指定区间 10，10 内，函数 y（）是单调增加的；欢迎下载精品学习资源A. sin xB. e xC. x2D. ln x20欢迎下载精品学习资源解这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的把握情形；因它们都是比较简洁的函数，从图形上就比较简洁看出它们的单调性；欢迎下载精品学习资源A 中 sin增加函数；x 是正弦函数，它的图形在指定区间 10， 10 内是波浪形的，因此不是单调欢迎下载精品学习资源B 中 e是指数函数， ex2x = ex1 或 x f 1 ，所以点 x = 1 是函
19、数应当填写 1 ；f xx12 的最小值点；欢迎下载精品学习资源（ 2）明白边际概念和需求价格弹性概念；欢迎下载精品学习资源例 5 已知需求函数为 q32p ，就需求弹性E p =.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解 由于q所以应当填写1，且 E p = pqpqpp32p1 pp 32p欢迎下载精品学习资源32p欢迎下载精品学习资源例 6 已知需求函数q p1000.4 p2p，当10 时，需求弹性为（）欢迎下载精品学习资源A. 44 p2ln 2B. 4 ln 2C - 4 ln 2D - 44 p2ln 2欢迎下载精品学习资源解 由于q p1002 0. 4 p 100 0.4
20、ln 22 0.4 p40 ln 20.4 p2，且欢迎下载精品学习资源pE p =q q100p2 0.4 p 40 ln 22 0.4 p 0.4 ln 2 p欢迎下载精品学习资源E100.4 ln 2104 ln 2欢迎下载精品学习资源故正确选项是 C 3娴熟把握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等），会求几何问题中的最值问题；把握求边际函数的方法，会运算需求弹性；欢迎下载精品学习资源例 7 设生产某种产品 q 台时的成本Cq1000.25q 26q （万元），试求（ 1）当欢迎下载精品学习资源q 10 时的总成本，平均成本和边际成本；（2）当产量 q 为多少时，
21、平均成本最小；欢迎下载精品学习资源解 （1）当 q10 时的总成本C101000.2510 2610185（万元）欢迎下载精品学习资源当 q10 时的平均成本C10C 10 01018.5 （万元 / 台）欢迎下载精品学习资源当 q10 时的边际成本C q0.5q6欢迎下载精品学习资源C 100.510611（ 2）这是一个求最值的问题；欢迎下载精品学习资源C qC q100q 2C qq 0.25100q0.25q6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 C q0 ，求得 q20 ；由于有意义的驻点唯独，且平均成本存在着最小大值，所以欢迎下载精品学习资源当产量为 20 台时，可使平均成本
22、达到最小大；例 8 设某产品的成本函数为欢迎下载精品学习资源Cq0.01q24q20 （元）欢迎下载精品学习资源其中 q 是产量，单位：件；单位销售价格为利润达到最大；最大利润是多少？p140.01q （元 /件）问产量为多少时可使欢迎下载精品学习资源解 由于 LRC ，且 Rpq140.01qq14q0.01q 2欢迎下载精品学习资源所以LR10qC14q 0.02q20.01q2200.01 q 24920欢迎下载精品学习资源L100.04q令 L0 ，解得 q250 （件）因唯独驻点唯独，故q=250 件是所求的最大值点；当产量为250 件时，利润最大；最大利润为欢迎下载精品学习资源L
23、250102500.02 2502201230（元）欢迎下载精品学习资源例 9 生产某种产品的固定费用是1000 万元 ,每多生产 1 台该种产品，其成本增加10 万元，又知对该产品的需求为q=120- 2p其中 q 是产销量，单位：台；p 是价格 ,单位 :万元 . 求(1) 使该产品利润最大的产量；(2) 该产品的边际收入.解（ 1）设总成本函数为Cq，收入函数为 Rq，利润函数为Lq，于是C q=10 q+1000 万元 欢迎下载精品学习资源Rq=qp= 60q1 q 22万元 12欢迎下载精品学习资源L q R q-C q= 50qq21000 万元欢迎下载精品学习资源L q 50q0
24、 得到 q=50 台；由于驻点唯独，故q 50 台是所求最小值点；即生产50 台的该种产品能获最大利润；122 因 Rq= 60qq ，故边际收入R q=60 q万元/台 ；2其次部 一元函数积分学第 1 章 不定积分1. 懂得原函数与不定积分概念；这里要解决下面几个问题：（ 1）什么是原函数？欢迎下载精品学习资源如函数数；F x 的导数等于f x ，即 F xf x ，就称函数F x 是f x 的原函欢迎下载精品学习资源（ 2）原函数不是唯独的；由于常数的导数是0，故（ 3）什么是不定积分？F xc 都是f x 的原函数（其中 c 是任意常数）；欢迎下载精品学习资源原函数的全体F xc （其
25、中 c 是任意常数）称为f x 的不定积分，记为欢迎下载精品学习资源f xdx = F xc ；（ 4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系；不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即欢迎下载精品学习资源f xdx= f x , df xdx =f xdx ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xdxf xc ， df xf xc欢迎下载精品学习资源例 1 在某区间上，假如F（ x）是 f（ x）的一个原函数， c 为任意常数，就下式成立的是（）；欢迎下载精品学习资源A. F xcf x B. F xdxcfx dx
26、欢迎下载精品学习资源C. F xcf x D. F xf xc欢迎下载精品学习资源解 假如 F（x）是 f（ x）的一个原函数，就F（ x） c 都是 f（x）的原函数，故有 F xcf x ，即正确的选项是C；欢迎下载精品学习资源例 2 假如f xdxsin 2 xc，就 f（ x） =（）欢迎下载精品学习资源A. 2sin2 xB. 2cos2xC. 2sin2xD. 2cos2x解 依据不定积分的性质可知欢迎下载精品学习资源f（ x）= f xdxsin 2xc2 cos 2 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源正确的选项是 D；例 3 设 F x 是函数 fx 的一个原函数，就x
27、f 1x 2 dx （）；欢迎下载精品学习资源A F1x 2 cB. F 1x2 c欢迎下载精品学习资源1212欢迎下载精品学习资源C. F 1x c 2D. 1x c 2欢迎下载精品学习资源解 由于 F x 是函数 f x 的一个原函数，即有f xdx = F xc ，故欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xf 1x2 dx 1 f 21x 2 dx 22212欢迎下载精品学习资源故正确的选项 C；f 12x d 1x =F 1x c2欢迎下载精品学习资源例 4 设 f x 的一个原函数是 e 2x ，就 f x（ ）；欢迎下载精品学习资源A. e 2 xB.2 e2 x2 xC.4e
28、2 xD.欢迎下载精品学习资源4e解 由于 fx 的一个原函数是 e 2x ，故欢迎下载精品学习资源故正确的选项 B；f x （ e 2x 2e 2 x欢迎下载精品学习资源例 5 设函数g xx , 就g x2 dx =；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A. x2+cB.1 x33c C. xc D.1 x2c2欢迎下载精品学习资源解 由于g xx ，故g x2 x2 ，于是欢迎下载精品学习资源gx 2 dx =故正确的选项 B；x2dx1 x3c3欢迎下载精品学习资源例 6 已知xf xdx =sinx+c，就 f（ x） =欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源sin xA.xB
29、. xsinx C.cos x xD. xcosx欢迎下载精品学习资源xf x解对cos xxf xdx =sin x+c 两端求导，得欢迎下载精品学习资源故 f（ x） =cos x ，正确的选项是 C；x欢迎下载精品学习资源2. 娴熟把握不定积分的运算方法；常用的积分方法有（ 1）运用积分基本公式直接进行积分；（ 2）第一换元积分法（凑微分法）；（ 3）分部积分法，主要把握被积函数是以下类型的不定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；欢迎下载精品学习资源例 7 ln 2 xdxx（）；欢迎下载精品学习资源2A ln 2xB.1 ln 2 2x 2c
30、C. 2 ln 2 2xcD.欢迎下载精品学习资源1 ln 2 2xc 4解 两种方法，其一是凑微分直接运算：欢迎下载精品学习资源ln 2 xdxln 2xd2 xln 2 xdln2 x1 ln 2 2 xc欢迎下载精品学习资源x2 x2其二是求导运算：四个备选答案中都含有ln 2 2x 项，对它求导欢迎下载精品学习资源ln22 x2 ln 2 x22 x2 ln 2 x x欢迎下载精品学习资源与被积函数比较可知，1 ln 2 2 x 2正确的选项是 B；例 8运算以下积分ln 2 xc 是x的原函数；1欢迎下载精品学习资源（1） 3x3xsin x dxx（ 2）sinx dxx 2欢迎下
31、载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（3）解 （ 1）x ln3xdxx3xx sin x2dx=33 dx xxdx（ 4） xsinxdx1) sin xdx欢迎下载精品学习资源（ 2）由于1 dx= 3 ln xx 3d 1 cos xc欢迎下载精品学习资源x 2xsin 1所以x dx =sin 1 1 dxsin 11cos 1c欢迎下载精品学习资源x 2xx2dxxx欢迎下载精品学习资源（ 3） 设 uln x,v1x, v11 x 2 ，利用分部积分公式，2x 2欢迎下载精品学习资源x ln xdxx2 ln xdx2 2x欢迎下载精品学习资源1 x2 ln x21 x2c4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 4）设 u