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1、学问点总结：一元二次方程学问框架学问点、概念总结1. 一元二次方程 ：方程两边都是整式,只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程,叫做一元二次方程；2. 一元二次方程有四个特点：1 含有一个未知数；2 且未知数次数最高次数是2；3 是整式方程；要判定一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,如是,再对它进行整理；假如能整理为ax+bx+c=0a0 的形2式,就这个方程就为一元二次方程；平方根,当时, ,当 b0 时,方程没有实数根；（ 2）配方法配方法是一种重要的数学方法, 它不仅在解一元二次方程上有所应用, 而且在数学的其他领域也有着广泛的应用； 配方法的理
2、论依据是完全平方公式, 把公式中的 a 看做未知数 x,并用 x 代替,就有；配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式； 化二次项系数为 1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边2配成一个完全平方式；变形为x+p=q 的形式,假如 q 0,方程的根是 x=-p q；假如 q 0, 方程无实根（ 3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法；一元二次方程的求根公式：2（ 4 ）将方程化为一般形式：ax +bx+c=0 时,应满意（ a0）3.一元二次方程的一般形式：一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经22过整理
3、, .都能化成如下形式ax +bx+c=0（ a 0）；（ 4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法, 这种方法简洁易行,是解一元二次方程最常用的方法；2一个一元二次方程经过整理化成ax+bx+c=0（ a 0）后, 其中 ax是二次项, a5. 一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“”是二次项系数； bx 是一次项, b 是一次项系数； c 是常数项；4. 一元二次方程的解法（ 1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法；直接开平方法适用于解形如的一元二次方程；依据平方根的定义
4、可知,是 b 的来表示,即6. 一元二次方程根与系数的关系假如方程的两个实数根是,那么,；也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商；7. 分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程；2、已知关于 x 的方程 m1 x2n3 xp0 ,当时,方程为一28. 分式方程的一般解法次方程；当时,两根中有一个为零a ；解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”；它的一般解法是：3、已知关于 x 的方程 m2 xm2 2x m0 ：（ 1）去分母,方程两边都乘以最简公分母（ 2）解所得的整式方
5、程（ 3）验根：将所得的根代入最简公分母,如等于零,就是增根,应当舍去； 如不等于零,就是原方程的根；（参考教材：中学数学九年级人教版）（ 1） m为何值时方程为一元一次方程；（ 2） m为何值时方程为一元二次方程；学问点二 . 一元二次方程的一般形式学问点 1. 只含有一个未知数,并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程；一元二次方程的一般形式是：ax2bxc0 a0,其中ax2 是二次项, a例题：叫二次项系数；bx 是一次项, b 叫一次项系数,c 是常数项；1、判别以下方程是不是一元二次方程, 是的打“”,不是的打“”,特殊警示：（ 1）“ a0 ”是一元二次方程的一般形
6、式的一个重要组成部分；（ 2）并说明理由 .12x 2 -x-3=0.2y -y 2 =0.3 t2 =0.4二次项系数、 一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的,所以求一元二次方程的各项系数时,必需先将方程化为一般形式；例题：4 x3 -x 2 =1.5 x2 -2y-1=0.61 -3=0.x21、指出以下一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.7x23x=2.8x+2x-2=x+12 .25 x210x2.2032x2150293x 2 -4x+6=0.2103x=-3.4 x3x0x232x45221、如关于 x 的方程 a x1 =2x 2 是一元二次方程, 就 a 的值
7、是（）（ A） 2（ B） 2（ C） 0（ D）不等于 22、关于 x 的方程是；3x22 x60 中 a 是； b 是； c学问点三 . 一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解；例题：（ 3） 公 式 法 ： 一 元 二 次 方 程 ax2bxc0 abb24acxb24ac0 ；2 a0的 求 根 公 式 是1、已知方程3x29xm0 的一个根是 1,就 m的值是；（ 4） 因式分解法：假如xaxb0 就 x 1a, x2b ；22、设 a 是一元二次方程 x5x0 的较大根, b 是 x23x20 较小根,温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要,特殊是因式分
8、解法,它使用的频那么 ab的值是（）率最高,在详细应用时,要留意挑选最恰当的方法解；（ A） -4（ B） -3（ C） 1（D） 2例题：解方程：3、已知关于 x 的一元二次方程 x2kx20的一个解与方程x13 的解x11、方程x22x0 的解是：（）相同；A. x 1x21 B.x 11, x23C.x 12, x20D.x 12, x20（ 1） 求 k 的值；2、方程51 x215x的 较 简便 的解 法应选2（ 2） 求方程 xkx20 的另一个解；用；解为23、解以下方程：2（ 1）x33 x1（ 2） 2xx30（3）x22 x30学问点四 . 一元二次方程的解法一元二次方程的
9、四种解法：（ 1） 直接开平方法：假如x2k k20 ,就 xk（ 4） 23 y223 y1（ 5）x1 31 x12（ 2） 配方法：要先把二次项系数化为1,然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方,配成左边是完全平方式,右边是非负常数的形式,然后用直接开平方法求解；（ 6） x322 x5 273 y26y 2 2y2 24、已知关于 x 的一元二次方程x24 m1 x2m10 ,求证：不论 m为任何实数,方程总有两个不相等的实数根；学问点五 . 一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0 a0 的根的判别式是b24ac ：（ 1） 当 b24 ac（ 2） 当 b24 ac2
10、（ 3） 当 b4 ac0 时,方程有两个不相等的实数根；0 时,方程有两个相等的实数根；0 时,方程无实数根；学问点六 . 一元二次方程根与系数的关系温馨提示 ：如方程有实数根,就有b24 ac0 ；如 一 元 二 次 方 程ax2bxc0 a0的 两 个 实 数 根 为x , x, 就例题：1、已知方程 x23xk0 有两个不相等的实数根,就k=；x1x212b , x xc ；a1 2a2、当 m满意何条件时, 方程mx22 m1 x9m10 有两个不相等实根？温馨提示： 利用根与系数的关系解题时,一元二次方程必需有实数根；例题：有两个相等实根？有实根？1、关于 x 的一元二次方程 x2
11、kx4k230 的两个实数根分别是x , x ,12且满意 x1x23x1x2 ,就 k 的值为：（）3（ A）1或（ B）1（ C）44（ D）不存在3、关于 x 的方程mx22 m2 xm50 无实根,试解关于x 的方程2、已知,是关于 x 的一元二次方程 x222m3 xm0 的两个不相等m5 x22 m2 xm0 ；的实数根,且满意111 ,就 m的值是（）（ A）3 或-1（B） 3（ C） 1（ D）-3 或 13、方程x23x60与方程x26 x30 的全部根的乘积是m6m4, n4 、 两 个 不 相 等 的 实数 m,n满 足22为；6n4 , 就 mn 的 值3、将一条长2
12、0m 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形；5、设 x, x 是关于 x 的一元二次方程 x2pxq0 的两个根, x1, x1 是(1) 要使这两个正方形的面积之和等于17 平方米, 那么这段铁丝剪成两段后的12关于 x 的一元二次方程 x2qxp0 的两个根, 就12p,q 的值分别等于多少？长度分别是多少？(2) 两个正方形的面积之和可能等于12 平方米吗？如能,求出两段铁丝的长度；如不能,请说明理由；学问点七 . 一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（ 1）审题（ 2）设未知数（ 3）列方程（ 4） 解方程（ 5）检验（ 6）写出答案；在检验时,应
13、从方程本身和实际问题两个方面进行检验；一元二次方程综合复习1、以下方程中,关于x 的一元二次方程是（）2A. 3 x 12 x 1 B.11220 C.bxc20 D. x22xx11、有一个两位数,十位数字比个位数字大3,而此两位数比这两个数字之积的二倍多 5,求这个两位数；axx2x222、方程（m 1）x mx 5 0 是关于 x 的一元二次方程, 就 m满意的条件是（）（ A） m 1（B） m 0（ C） | m| 1（ D）m 13 、 如 x1 是 一 元 二 次 方 程ax2bx20的 一 个 根 , 就2、市政府为明白决市民看病难的问题,打算下调药品的价格,某种药品经过a b
14、；2连续两次降价后, 由每盒 200 元下调至 128 元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少？4、实数 bb 4ac 2a是方程的根（）2（ A） ax2bxc0（ B） ax2bxc0（ C） ax2bxc0（D） axbxc05、方程x2250 的解是：（）A.x 1x25B.x 1x225C.x 15, x2516解以下方程：D. x 125, x2251. （ x2）2250 直接开平方法 2.x24 x50 （配方法）26、关于 x 的一元二次方程范畴是（）kx2x1 0 两个不相等的实数根,就k 的取值（ A） k1（ B） k1（ C） k0（ D） k1且k07、在以下方程
15、中,有实数根的是（）A） x23x10 B ） 4 x11 C ） x22x30 D ）x112x1x13x 2 -5x+6=0（因式分解法）4.2 x 27x30 （公式法）8 、关于 x 的一元二次方程2x22x3m1 0 有两个实数根x , x,且x1x2x1x24 ,就 m的取值范畴是（）（ A） m51（ B） m5（ C） m51（ D）m323329. 如（ x+y ）（ 1 xy） +6=0,就 x+y 的值是（）17、设x , x 是关于 x 的方程 x2m 1 xm0 m0 的两个根,且满意A 2B 3C 2 或 3D 2 或 310、如（ m+1）+2mx 1=0 是关于
16、 x 的一元二次方程, 就 m的值是 12_112,求 m的值；11、填上适当的数,使等式成立：x 25x x 2 x1x23212、当 x =时,代数式x3 x比代数式2 x2x1 的值大 2 13、某商品原价每件 25 元,在圣诞节期间连续两次降价,现在商品每件 16 元,就该玩具平均每次降价的百分率是；14. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,方程为15、参与一次聚会的没两个人都握了一次手,全部人共握手36 次,设有 x 人参与聚会,方程为18、求证：二次三项式 x2+4x 5 的值恒小于 0. 并求出它的最大值；19、已知关于
17、 x 的一元二次方程 x2kx10 ；(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；23、如图,有一面积为150 m2 的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙（墙长18 m）,(2) 设的方程有两根分别为x1, x2 ,且满意 x1x2x1 x2求 k 的值；另三边用竹篱笆围成, 假如竹篱笆的长为35 m,求鸡场的长与宽各为多少米？220、已知,是关于 x 的一元二次方程x112m3 xm0 的两个不相224、西瓜经营户以 2 元 / 千克的价格购进一批小型西瓜,以3 元 / 千克的价格等的实数根,且满意1,就 m的值是（）出售,每天可售出 200 千克,为了促销,该经营户打算降价,经调查发觉,这（ A） 3
18、 或 -1（ B）3（C） 1（D） -3 或 1221. 已 知 ： ABC 的 两 边AB、 AC 的 长 是 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程种小西瓜每降价元 / 千克,每天可多售出 40 千克,另外,每天的房租等固定成本共 24 元,该经营户要想每天盈利 200 元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？2x2k3 xk3k20 的两个实数根,第三边BC 的长为 5,问： k取何值时, ABC是以 BC为斜边的直角三角形？25、在矩形 ABCD中,AB=6cm,BC=3cm；点 P 沿边 AB从点 A 开头向点 B 以 2cm/s的速度移动,点 Q沿边 DA从点 D 开头向点 A 以 1cm/s 的速度移动；假如 P、Q 同时动身,用 t （s）表示移动的时间（ 0 t 3）；那么,当 t为何值时,2QAP的面积等于 2cm .322、一块长方形铁皮的长是宽的倍,四角各截去一个正方形, 制成高是 cm, 容积是 cm 的无盖长方体容器；求这块铁皮的长和宽；