《2022年人教版八级下册数学专题第18章勾股定理知识点与常见题型总结.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年人教版八级下册数学专题第18章勾股定理知识点与常见题型总结.docx（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、八年级下册第 18 章.勾股定理学问点与常见题型总结勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；222表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么 abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了 “勾三,股四,弦五 ”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,只
2、要没有重叠,没有间隙,面积不会转变依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4SS正方形 EFGHS正方形 ABCD, 41 ab2ba22c,化简可证DCHEGFbaAcB方法二：baaccbbccaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41 abc222abc2222大正方形面积为 S aba2abb所以 a 2b 2c2S1 ab abS2SS2 1 ab1 c2梯形方法三：2梯形ADEABE,22,化简得证AaDbccEaBbC .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之
3、间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需明白所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用222222已知直角三角形的任意两边长,求第三边在 ABC 中,C90,就 cab, bca, acb知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实际问题 .勾股定理的逆定理22假如三角形三边长 a, b , c 满意 abc2 ,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边
4、的平方和a2b 2 与较长边的平方c2 作比较,如它们相等时,以a , b , c 为三边的三角形是直角三角形；如a2b2c2 ,时,以 a , b ,222c 为三边的三角形是钝角三角形；如abc ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形；222定理中 a , b , c 及 abc 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长a ,22b , c 满意 acb2 ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时, 这个三角形是直角三角形 .勾股数能够构成直角三角形的
5、三边长的三个正整数称为勾股数,即a2b2c 2 中, a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n 组勾股数：222n1,2n, n1（ n2,EMBED Equation.DSMT4n 为正整数）；222n1,2n2n,2 n2n1 （ n 为正整数）222m n ,2 mn,mn （ mn,EMBED Equation.DSMT4m , n 为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关
6、系的证明问题在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角 形,在详细推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定
7、理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决常见图形：CCC30ABADBBDACBDA题型一：直接考查勾股定理例 .在 ABCABC 中, C90C90 已知 AC6 AC6 , BC8 BC8 求 AB AB 的长2222已知 AB17 AB17 , AC15 AC15 ,求 BC BC 的长222222分析：直接应用勾股定理abcabc解：ABACBC10ABACBC102 BCAB2AC82BCAB2AC8题型二：应用勾股定理建立方程例 . 在ABCABC中 ,ACB90ACB90, AB5AB5cm , BC3BC3 cm ,CDAB CDAB 于 D D , CD CD 已知直角
8、三角形的两直角边长之比为3: 4 3: 4 ,斜边长为 15 15 ,就这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为30 30 cm ,斜边长为 13 13 cm ,就这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可依据勾股定理列方程求解解：22 ACABBC224 ACABBCCDACBC4 ,AB2.4 CDACBC AB2.4AD222BC 设 两 直 角 边 的 长 分 别 为 3k3k , 4kEMBEDEquation.DSMT43k 4 k15,k3k3 , S54 S54 设 两 直 角 边 分 别 为 aa , b , 就
9、ab17ab17 , ab2289a 2b2289, 可 得ab60 ab60S1 ab230EMBED Equation.DSMT42cm2例 . 如 图ABCABC中 ,C90C90,1212 , CD1.5CD1.5 ,BD2.5 BD2.5 ,求 ACAC 的长CD1BA2E分析：此题将勾股定理与全等三角形的学问结合起来解：作 DEAB DEAB 于 E E ,12 ,C90C90DECD1.52222在 BDEBDE 中BED90 , BEBDDE2BED90 , BEBDDE2RtACDRtAEDRtACDRtAED ACAEACAE在 RtABC RtABC 中, C90C90A
10、B 2AC 2BC 2AB2AC 2BC2 AEEB 2AC2224 AEEB AC224AC3,例 4. （ 2022.安徽省 ,第 8 题 4 分）如图, Rt ABC 中, AB=9, BC=6, B=90,将 ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,就线段 BN 的长为（）A BC4D 5考点： 翻折变换（折叠问题）分析： 设 BN= x,就由折叠的性质可得DN=AN =9 x,依据中点的定义可得BD=3,在 Rt ABC中,依据勾股定理可得关于x 的方程,解方程即可求解 解答： 解：设 BN=x,由折叠的性质可得 DN =AN=9x, D 是 BC 的中点,
11、 BD=3 ,在 Rt ABC 中, x2+32=（ 9 x） 2, 解得 x=4故线段 BN 的长为 4 应选： C点评： 考查了翻折变换（折叠问题）,涉及折叠的性质,勾股定理,中点的定义以及方程思想, 综合性较强,但是难度不大例 5.已知长方形 ABCD中 AB=8cm,BC=10cm在, 边 CD上取一点 E,将 ADE折叠使点 D恰好落在 BC 边上的点 F,求 CE的长 .解析： 解题之前先弄清晰折叠中的不变量；合理设元是关键；解： 依据题意得 RtADERtAEF AFE=90, AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,就 DE=EF=CD CE=8x在 RtABF 中由勾股
12、定理得： AB2+BF2=AF2,即 82+BF2=102,BF=6cmCF=BC BF=106=4cm在 RtECF中由勾股定理可得：222222EF=CE+CF,即 8 x=x +4264 16x+x =2+16 x=3cm, 即 CE=3 cm题型三：实际问题中应用勾股定理例 6.如图,有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上,请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图,然后再求解）分析： 依据题意画出图形,构造出直角三角形,利用勾股定理求解 解答： 解：如下列图,过 D 点作 DE AB ,垂足为 E AB=13 , CD=8又 BE=CD ,DE=BC AE=AB BE=AB CD=13 8=
13、5在 Rt ADE 中, DE=BC=12 AD2=AE2+DE2=1222+5 =144+25=169 AD=13 （负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m点评： 此题考查正确运用勾股定理善于观看题目的信息是解题以及学好数学的关键例 7.如图,一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A 和 B 是这个台阶两个相对的端点, A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,就蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是25考点： 平面绽开 -最短路径问题分析： 先将图形平面绽开,再用勾股定理依据两点之间线段最短进行解答 解答： 解：如下列图,三级台阶平面绽开图为长方形,长为20,宽为（ 2
14、+3）3,蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长 设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为 x,由勾股定理得： x解得： x=25 故答案为 252=202+（ 2+3）322=25 ,点评： 此题考查了平面绽开最短路径问题,用到台阶的平面绽开图,只要依据题意判定出长方形的长和宽即可解答例 8.一只蚂蚁假如沿长方体的表面从A 点爬到 B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少？已知长方体的长 2cm、宽为 1cm、高为 4cm考点： 平面绽开 -最短路径问题分析： 要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将正方体绽开,然后利用两点之间线段最短解答解答： 解：如图：依据题意,如
15、上图所示,最短路径有以下三种情形：=AB+BB （ 1）沿 AA , AC,CB, BB 剪开,得图（ 1） AB 2 22=（2+1） 22；（2） ）沿 AC, CC,CB, BD , DA , A A 剪开,得图（ 2） AB2+4=25=AC2+B22C=2 +（ 4+1）2=4+25=29 ；（3） ）沿 AD , DD , BD ,CB,CA , AA 剪开,得图（ 3）AB2=AD2+BD2=12+（ 4+2）2=1+36=37 ；综上所述,最短路径应为（ 1）所示,所以 AB 2=25,即 AB =5cm点评： 此题考查最短路径问题,将长方体从不同角度绽开,是解决此类问题的关键
16、,留意不要漏解例 9.如图, RtABC 中, AC=5, BC=12,分别以它的三边为直径向上作三个半圆,就阴影部分面积为解：由勾股定理AB=15212212=13,151131依据题意得： S 阴影 = 2 （2 ） 2 + 2 （2 ） 2 -2 （2 ） 22 5 12=30-例 10.等腰直角 ABC中, BC=AC=1,以斜边 AB 和长度为 1 的边 BB1 为直角边构造直角 ABB1,如图,这样构造下去 ,就 AB3=；A Bn=解：等腰直角 ABC 中, BC=AC=1, AB=2 , BB1=1, ABB1=90 , AB1=3 ,同理可得： AB2=2, AB3=5 ；A
17、B、AB1、AB2、AB3 的值可知 ABn=n2 题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例 11.已知三角形的三边长为 a a , b , c ,判定 ABCABC 是否为 RtRt22 a1.5 a1.5 , b2 b2 , c2.5a5 a22454 , bc2221 b1 ,3解：a 2b21.52226.25ab1.526.25 , c22.526.25 c2.56.25ABC 是直角三角形且C90C90b2c2139b 2c 2139a 225,16a22516, b2c 2a 2 bcaABC 不是直角三角形例 12.三边长为 a a , b , c 满意 a
18、b状？2222解：此三角形是直角三角形10 ab10 , ab18 ab2218 , c28 c8 的三角形是什么形22理由：abab2ab64abab2ab64 ,且c 264c 264222abca2b 2c 2所以此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 13.如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB、 CD、EF、GH 四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH 解：设小正方形的边长为1,就 AB222222222222=2 +2 =8, CD =2 +4 =20, EF =1 +2 =5, GH =2 +3 =13 +EF =GH由于 AB
19、 222,所以能 构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH例 14. 已 知 ABCABC 中 , AB13 AB13 cm , BC10BC10 cm , BCBC 边 上 的 中 线AD12 AD12 cm ,求证： ABAC ABAC证明：ABDC22ADAD 为中线,BDDC5BDDC5 cm2在 ABDABD 中 ,ADBD169AD 2BD 2169 ,AB169EMBEDEquation.DSMT4AD 2ADBBD 290AB 2 ,ADB90,AC 2AD 2DC 2169AC2AD 2DC 2169,AC13 AC13 cm , ABACABAC例 15.如图,在四边形ABCD中, B=90, AB=BC=4,CD=6, DA=2求 DAB 的度数解：连结 AC, B=90, AB=BC=4, AC2 =32, DAB= DBA=45 , 32+2 2=62, AC2+DA =CD22, ACD是直角三角形, D AC是 CD所对的角, DAC=90, DAB= DAC+ BAC=9 0+45=135