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1、反比例函数学问点归纳和典型例题（一）学问结构（二）学习目标1. 懂得并把握反比例函数的概念, 能依据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（ k 为常数,）, 能判定一个给定函数是否为反比例函数2. 能描点画出反比例函数的图象,会用代定系数法求反比例函数的解析式,进一步懂得函数的三种表示方法, 即列表法、解析式法和图象法的各自特点3. 能依据图象数形结合地分析并把握反比例函数（k 为常数,）的函数关系和性质,能利用这些函数性质分析和解决一些简洁的实际问题4. 对于实际问题,能 “找出常量和变量,建立并表示函数模型,争论函数模型,解决实际问题”的过程,体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模
2、型5. 进一步懂得常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,进一步熟悉数形结合的思想方法（三）重点难点1. 重点是反比例函数的概念的懂得和把握,反比例函数的图象及其性质的懂得、把握和运用2. 难点是反比例函数及其图象的性质的懂得和把握 二、基础学问（一）反比例函数的概念1. （）可以写成（）的形式,留意自变量x 的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特殊留意系数这一限制条件；2. （）也可以写成 xy=k 的形式,用它可以快速地求出反比例函数解析式中的k ,从而得到反比例函数的解析式；3. 反比例函数的自变量,故函数图象与 x 轴、 y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反
3、比例函数的图象时, 应留意自变量 x 的取值不能为 0 ,且 x 应对称取点 （关于原点对称） （三）反比例函数及其图象的性质1. 函数解析式：（）2. 自变量的取值范畴：3 图象：（ 1 ）图象的外形：双曲线越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直越小,图象的弯曲度越大（ 2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点,称两条坐标轴是双曲线的渐近线象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而减小；当时,图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内,y 随 x 的增大而增大当时,图（ 3 ）对称性：图象关于原点对称,即如（a, b）在双曲线的一支上,就（,）在双曲线的另一支上图象关于直线对称
4、,即如（ a, b）在双曲线的一支上,就（, ）和（,）在双曲线的另一支上4. k 的几何意义如图 1,设点 P （ a,b）是双曲线上任意一点,作 PA x 轴于 A 点, PB y 轴于 B 点,就矩形 PBOA的面积是（三角形 PAO 和三角形 PBO 的面积都是）如图 2,由双曲线的对称性可知,P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上,作 QC PA 的延长线于 C ,就有三角形 PQC 的面积为图 1图25. 说明：（ 1 ）双曲线的两个分支是断开的,争论反比例函数的增减性时,要将两个分支分别争论,不能一概而论（ 2 ）直线与双曲线的关系：当时,两图象没有交点；当时,两图象必有两个交点,
5、且这两个交点关于原点成中心对称（ 3 ）反比例函数与一次函数的联系（四）实际问题与反比例函数1. 求函数解析式的方法：（ 1 ）待定系数法； （ 2）依据实际意义列函数解析式 2留意学科间学问的综合,但重点放在对数学学问的争论上（五）充分利用数形结合的思想解决问题 三、例题分析1 反比例函数的概念（ 1 ）以下函数中, y 是 x 的反比例函数的是（）A y=3xB C 3xy=1D （ 2 ）以下函数中, y 是 x 的反比例函数的是（）AB CD 答案：（ 1） C；（ 2 ）A 2. 图象和性质（ 1 ）已知函数是反比例函数,如它的图象在其次、四象限内,那么k=如 y 随 x 的增大而减
6、小,那么k=（ 2 ）已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限,就函数的图象位于第象限（ 3 ）如反比例函数经过点（, 2 ）,就一次函数的图象肯定不经过第 象限（ 4 ）已知 a b 0 ,点 P（ a,b）在反比例函数的图象上,就直线不经过的象限是（）A第一象限B 其次象限C第三象限D 第四象限（ 5 ）如 P （2 , 2）和 Q（ m,）是反比例函数图象上的两点, 就一次函数 y=kx+m的图象经过（）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 其次、三、四象限（ 6 ）已知函数和（ k 0）,它们在同一坐标系内的图象大致是（）A BCD 答案：（ 1 ）
7、 1 ；（ 2 ）一、三；（ 3）四；（ 4） C；（ 5 ）C ；（ 6） B3. 函数的增减性（ 1）在反比例函数的图象上有两点,且,就的值为（ ）A正数B负数C非正数D 非负数（ 2）在函数（ a 为常数） 的图象上有三个点,就函数值、的大小关系是（）AB C D （ 3 ）以下四个函数中：；y 随 x 的增大而减小的函数有（）A 0个B 1 个C 2个D 3个（ 4 ）已知反比例函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点,就当x 0时,这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而（填 “增大 ”或“减小 ”）答案：（ 1） A；（ 2 ）D ；（3 ） B留意,（ 3）中
8、只有是符合题意的,而是在“每一个象限内 ”y 随 x 的增大而减小4. 解析式的确定（ 1 ）如与成反比例,与成正比例,就y 是 z 的（ ）A正比例函数B 反比例函数C 一次函数D 不能确定（ 2 ）如正比例函数 y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（ 2, m ）,就 m= ,k= ,它们的另一个交点为（ 3）已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在其次、四象限,求的值（ 4 ）已知一次函数 y=x+m 与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （ x 0 , 3）求 x 0 的值；求一次函数和反比例函数的解析式（ 5）为了预防 “非典 ”,某学校对教室采纳药薰消毒法进行消毒
9、已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 x （分钟）成正比例,药物燃烧完后,y 与 x 成反比例（如下列图） ,现测得药物 8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6 毫克 请依据题中所供应的信息解答以下问题：药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为,自变量 x 的取值范畴是；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为争论说明,当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时同学方可进教室,那么从消毒开头,至少需要经过 分钟后,同学才能回到教室； 争论说明,当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且连续时间不低于 10 分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效？
10、为什么？答案：（ 1） B；（ 2 ） 4, 8,（,）；（ 3 ）依题意,且,解得（ 4 ）依题意,解得一次函数解析式为,反比例函数解析式为（ 5 ）,； 30 ；消毒时间为（分钟）,所以消毒有效5. 面积运算（ 1）如图,在函数的图象上有三个点A 、B、C,过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、,就（ ）ABCD第（ 1）题图第（ 2 ）题图（ 2）如图, A 、B 是函数的图象上关于原点 O 对称的任意两点,AC/y 轴, BC/x 轴, ABC 的面积S,就（ ）A S=1B 1 S 2C S=2D S 2（ 3 ）如图
11、, Rt AOB 的顶点 A 在双曲线上,且 S AOB=3 ,求 m 的值第（ 3）题图第（ 4 ）题图（ 4 ）已知函数的图象和两条直线y=x , y=2x 在第一象限内分别相交于P1 和 P2 两点,过 P1 分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P1Q1 , P1R1 ,垂足分别为 Q1 ,R1 ,过 P2 分别作 x 轴、 y 轴的垂线 P2 Q 2 ,P2 R 2 ,垂足分别 为 Q 2 ,R 2 ,求矩形 O Q 1P1 R 1和 O Q 2P2 R 2 的周长,并比较它们的大小（ 5）如图,正比例函数y=kx （ k 0）和反比例函数的图象相交于A 、C 两点,过 A 作 x 轴垂线
12、交 x 轴于 B ,连接 BC ,如 ABC 面积为 S,就 S=第（ 5）题图第（ 6）题图（ 6 ）如图在 Rt ABO 中,顶点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点, AB x 轴于 B且 S ABO=求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点A、C 的坐标和 AOC 的面积（ 7）如图,已知正方形OABC 的面积为 9,点 O 为坐标原点,点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 在函数（ k0, x 0 ）的图象上,点 P （ m ,n）是函数（ k 0, x 0）的图象上任意一点,过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足为E、F,设矩形 OEPF 在正方形 OABC 以
13、外的部分的面积为S 求 B 点坐标和 k 的值； 当时,求点 P 的坐标； 写出 S 关于 m 的函数关系式答案：（ 1） D；（ 2 ）C ；（3 ） 6 ；（ 4 ）,矩形 O Q 1P1 R 1的周长为 8 , O Q 2P2 R 2 的周长为,前者大（ 5 ）1（ 6 ）双曲线为,直线为；直线与两轴的交点分别为（0 ,）和（, 0 ）,且 A（ 1 ,）和 C（, 1 ）,因此面积为 4 （ 7 ） B （3, 3 ）,；时, E（ 6 , 0）,；6. 综合应用（ 1）如函数 y=k1x （ k1 0 ）和函数（ k2 0）在同一坐标系内的图象没有公共点,就k1 和 k2（）A互为倒
14、数B 符号相同C肯定值相等D符号相反（ 2 ）如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于 A 、B 两点： A （, 1 ）, B （ 1, n ） 求反比例函数和一次函数的解析式； 依据图象写出访一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范畴（ 3）如下列图,已知一次函数（ k 0）的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点,且与反比例函数（ m 0 ）的图象在第一象限交于C 点,CD 垂直于 x 轴,垂足为 D,如 OA=OB=OD=1 求点 A 、B 、D 的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式（ 4 ）如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限 C 、D 两点,坐标轴交于A、B 两点,连结 OC , OD （ O 是坐标原点） 利用图中条件,求反比例函数的解析式和m 的值； 双曲线上是否存在一点P ,使得 POC 和 POD 的面积相等？如存在,给出证明并求出点P 的坐标；如不存在,说明理由（ 5 ）不解方程,判定以下方程解的个数；答案：（ 1 ）D（ 2 ） 反比例函数为,一次函数为；范畴是或（ 3 ） A （0,）, B（ 0, 1）,D （1, 0）；一次函数为,反比例函数为（ 4 ）反比例函数为,；存在（2 , 2 ）（ 5 ）构造双曲线和直线,它们无交点,说明原方程无实数解；构造双曲线和直线,它们有两个交点,说明原方程有两个实数解