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1、等腰三角形巧用“ 三线合一” 证题“ 三线合一” 是等腰三角形的一条特别性质,在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用；本文结合实例说明其应用,供参考；一. 直接应用“ 三线合一”例 1.已知,如图 1 , AD 是的角平分线, DE 、DF 分别是和的高；求证： AD 垂直平分 EF分析：从此题的条件和图形特点看,欲证AD 垂直平分 EF ,由于有,所以只要证为等腰三角形即可证明：又AD 垂直平分 EF例 2.如图 2 ,中, AB AC , AD 为 BC 边上的高, AD 的中点为 M,CM 的延长线交 AB 于点 K,求证：精品资料分析：可考虑作DE/CK交 AB 于 E ,由于 M 是
2、 AD 的中点,所以 K 是 AE 的中点, 只要证 E 是 BK 的中点,问题可得到解决；由于有,所以就想到用“三线合一” ；证明：过点 D 作 DE/CK交 BK 于点 E二. 先连线,再用“ 三线合一”例 3.如图 3 ,在中,D 是 BC 的中点, P 为 BC 上任一点,作,垂足分别为 E、F求证：（ 1） DE DF ；（ 2）分析：（1）欲证二线段相等, 简单想到利用全等三角形；观看 DE 为或的一边, DF 为或的边,但它们都没有全等的可能；由于D 为等腰直角三角形的底边 BC上的中点,于是我们想到连结AD一试,这时简单发觉或问题得证；（ 2）欲证,只要证,即可但由（ 1 ）已
3、证出又,故问题解决证明：连结 AD ；D 是 BC 的中点,DA 平分,四边形 PEAF 是矩形又又（ 2） 又 即三. 先构造等腰三角形,再用“三线合一”例 4.如图 4 ,已知四边形 ABCD 中,M、N 分别为 AB 、CD 的中点,求证：分析：由于 MN 与 CD 同在中,又 N 为 CD 的中点,于是就想到证为等 腰 三 角 形 , 由 于 MD 、 MC为、斜 边 AB上 的 中 线 , 因 此,所以,问题简单解决；证明：连结 DM 、 CM, M 是 AB 的中点是等腰三角形又N 是 CD 的中点,例 5.如图 5 ,中,BC 、CF 分别平分和,于 E , 于 F,求证： EF
4、/BC分析：由 BE 平分、简单想到： 延长 AE 交 BC 于 M ,可得等腰, E 为 AM 的中点；同理可得等腰, F 是 AN 的中点,故 EF 为的中位线,命 题就能得证；证明：延长 AE 、AF 分别交 BC 于 M、N,为等腰三角形即,同理为的中位线一、证明角相等【 例 1 】 已 知 ： 如 图 1 , 在A B C中 , ABAC , BDAD 于 D 求 证 ：BA C2DBC A【分析 】作出等腰ABC 的顶角平分线将顶角分为相等的1 2两部分,依据“ 三线合一” 的性质证得DBC 等于其中任一部D分即可BEC图 1【 证 明 】 作BAC的 平 分 线AE, 就 有11
5、22B A C ABAC ,12 , AEBC （ 三 线 合 一 ） 2C90 又 BDAD , DBCC90 2D B C B A C 2D B C【点拨 】添加帮助线,利用等腰三角形的“三线合一” 性质,奇妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形,将已知条件与待证结论有机地联系在一起,从而简单获得问题的解决二、 证明线段相等【例 2 】（ 2022 汕头）如图 2, ABC 是等边三角形, D 点是 AC 的中点,延长 BC到 E ,使 CECD ,过点 D 作 DMBE ,垂直为 M求证： BMEM【 分 析 】 在B DE 中 , DMBE 如 果 能 证 得ADBDE ,由“ 三线合
6、一” 就可得出 BMEM D【证明 】 ABC是等边三角形, D 是的 AC 中点,ABCACB60 ,BD 平分ABC（三线BMCE图 2合一）DBC30 又 CECD ,ECDE 又ACBECDE ,E1ACB30 DBCE30 2DBDE 又 DMBE , BMEM （三线合一）【点拨 】能利用“ 三线合一” 证明线段相等的问题,也可以用全等三角形来解决,但利用“ 三线合一” 证明要比用全等三角形证明简便得多因此,我们在解决这类问题时, 要订正总是依据三角形全等的思维定势,应当优先选用“三线合一” 来解决三、 证明直线垂直【例 3 】（ 2022 义乌）如图 3 ,在正 ABC 中, A
7、DBC 于点 D ,以 AD 为一边向右作正 ADE 请判定 AC 、DE 的位置关系,并给出证明【 分 析 】 在 正 ABC中 , 由 “ 三 线 合 一 ” 知ACAD30 而 ADE也 是 正 三 角 形 , 于 是 有EFAEDAECAD603030, 这 样 就 得FAF 是正 ADE 的角平分线, 再由“ 三线合一”得 ACDE BDC图 3【 证 明 】 在 正 ABC中 , ADBC , CAD30 （三线合一）在正 ADE 中,FAEDAECAD603030 , AF 是平分线ACDE （三线合一）DAE 的【点拨 】当题设中同时具备以下两个条件时,就可以利用“三线合一”
8、来证明两条直线相互垂直：（ 1）有一个等腰三角形；（ 2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线例 1.等腰三角形顶角为,一腰上的高与底边所夹的角是,就与的关系式为=；图 1分析：如图 1, AB=AC ,BD AC 于 D ,作底边 BC 上的高 AE ,E 为垂足,就可知EAC= EAB, 又 , 所 以；例 2. 已知： 如图 2, ABC 中, AB=AC ,CE AE 于 E,E 在 ABC 外, 求证： ACE= B；图 2分析： 欲证 ACE= B,由于 AC=AB ,因此只需构造一个与Rt ACE 全等的三角形,即做底边 BC 上的高即可；证明：
9、作 AD BC 于 D, AB=AC ,又, BD=CE ；在 Rt ABD 和 Rt ACE 中,AB AC , BD=CE , Rt ABD Rt ACE （ HL ）； ACE= B例 3. 已知：如图 3,等边三角形 ABC 中, D 为 AC 边的中点, E 为 BC 延长线一点,CE=CD , DM BC 于 M,求证： M 是 BE 的中点；图 3分析： 欲证 M 是 BE 的中点, 已知 DM BC ,因此只需证 DB=DE ,即证 DBE= E , 依据等边 ABC , BD 是中线,可知DBC=30 ,因此只需证 E=30 ；证明：联结 BD , ABC 是等边三角形, A
10、BC= ACB=60 CD=CE , CDE= E=30 BD 是 AC 边上中线, BD 平分 ABC ,即 DBC=30 DBE= E； DB=DE又 DM BE , DM 是 BE 边上的中线,即M 是 BE 的中点；练习1. 如图 4,墙上钉了一根木条,小明想检验这根木条是否水平,他拿来一个如下列图的测平仪,在这个测平仪中,AB=AC , BC 边的中点 D 处有一个重锤,小明将BC 边与木条重合,观看此重锤是否通过A 点,如通过A 点,就是水平的,你能说明其中的道理吗？图 42. 已知：如图 5 ,在 Rt ABC 中, ACB=90 ,AC=BC ,D 是 AB 的中点, E 、F 分别在 AC 、BC 上,且 ED FD ,求证： S 四边形 CEDF ；图 5Welcome To Download .欢迎您的下载,资料仅供参考！