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1、学问点大全1 全等三角形的对应边、对应角相等2 边角边公理 SAS有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3 角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4 推论AAS有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5 边边边公理 SSS有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边、直角边公理 HL有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上9 角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等即等边对等角）21 推论
2、 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合23 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于6024 等腰三角形的判定定理 假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）25 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形26 推论 2 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形27 在直角三角形中, 假如一个锐角等于 30那么它所对的直角边等于斜边的一半28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的
3、点,在这条线段的垂直平分线上31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合32 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形33 定理 2 假如两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线34 定理 3 两个图形关于某直线对称, 假如它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在对称轴上35 逆定理 假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称36 勾股定理 直角三角形两直角边 a、b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即a2+b2=c237 勾股定理的逆定理 假如三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三
4、角形38 定理 四边形的内角和等于 36039 四边形的外角和等于 36040 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（ n-2 ）18041 推论 任意多边的外角和等于 36042 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等43 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等44 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等45 平行四边形性质定理3平行四边形的对角线相互平分46 平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形47 平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形48 平行四边形判定定理3对角线相互平分的四边形是平行四边形49 平行四边形判定定理4一组对边平行相等
5、的四边形是平行四边形50 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角51 矩形性质定理2矩形的对角线相等52 矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形53 矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形54 菱形性质定理1菱形的四条边都相等55 菱形性质定理2菱形的对角线相互垂直,并且每一条对角线平分一组对角56 菱形面积 =对角线乘积的一半,即 S= （ab） 257 菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形58 菱形判定定理2对角线相互垂直的平行四边形是菱形59 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等60 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等, 并且相互垂直平分,每条对角线
6、平分一组对角61 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的62 定理 2 关于中心对称的两个图形, 对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分63 逆定理 假如两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称64 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等65 等腰梯形的两条对角线相等66 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形67 对角线相等的梯形是等腰梯形68 平行线等分线段定理 假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等69 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰70 推论 2
7、经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边71 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半72 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L= （a+b ） 2 S=Lh73 1 比例的基本性质假如 a:b=c:d, 那么 ad=bc假如 ad=bc, 那么 a:b=c:d74 2 合比性质 假如 ab=c d,那么a bb=c d d75 3 等比性质 假如 ab=c d= =m nb+d+ +n 0那, 么a+c+ +mb+d+ +n=a b76 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例77 推论 平行于三角形一边的
8、直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例78 定理 假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边79 平行于三角形的一边, 并且和其他两边相交的直线, 所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例80 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相像81 相像三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相像（ ASA）82 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像83 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像（SAS ）84 判定定理 3 三边对应成比例,两三
9、角形相像（ SSS）85 定理 假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像86 性质定理 1 相像三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相像比87 性质定理 2 相像三角形周长的比等于相像比88 性质定理 3 相像三角形面积的比等于相像比的平方89 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值90 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值91 圆是定点的距离等于定长的点的集合92 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合93 圆的外部可以看作是
10、圆心的距离大于半径的点的集合94 同圆或等圆的半径相等95 到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆96 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线97 到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线98 到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线99 定理 不在同始终线上的三点确定一个圆；100 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧101 推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦
11、所对的另一条弧102 推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等103 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形104 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等105 推论 在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 106 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半107 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等108 推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90的圆周角所对的弦是直径109 推论 3 假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三
12、角形是直角三角形110 定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角111 直线 L 和 O 相交 dr直线 L 和 O 相切 d=r直线 L 和 O 相离 dr112 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线113 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径114 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点115 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心116 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角117 圆的外切四边形的两组对边的和相等118 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的
13、圆周角119 推论 假如两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等120 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等121 推论 假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项122 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项123 推论 从圆外一点引圆的两条割线, 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等124 假如两个圆相切,那么切点肯定在连心线上125 两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-r dR+rR r两圆内切 d=R-rR r 两圆内含 dR-rR r 126 定理 相
14、交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦127 定理 把圆分成 nn 3:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形128 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆129 正 n 边形的每个内角都等于（ n-2 ） 180 n130 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形131 正 n 边形的面积 Sn=pnrn 2 p 表示正 n 边形的周长132 正三角形面积 3a 4 a 表示边长133 假如在一个顶点四周有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应
15、为360,因此 kn-2180n=360化为（ n-2 ）k-2=4134 弧长运算公式： L=n 兀 R180135 扇形面积公式： S 扇形=n 兀 R2360=LR 2136 内公切线长 = d-R-r外公切线长 = d-R+r例题：1、一次函数： 如两个变量 x,y 存在关系为 y=kx+b k 0, k,为b 常数的形式,就称 y 是 x 的函数；留意：（ 1） k0否, 就自变量 x 的最高次项的系数不为1；（ 2）当 b=0 时, y=kx , y 叫 x 的正比例函数；2、图象：一次函数的图象是一条直线（ 1）两个常有的特别点： 与 y 轴交于（ 0,b）；与 x 轴交于（-
16、,0）；（ 2）正比例函数 y=kxk 0的 图象是经过（ 0, 0）和（ 1, k）的一条直线；一次函数y=kx+bk 0的（ 0, b）的一条直线；图象是经过（ - , 0）和（ 3）由图象可以知道, 直线 y=kx+b 与直线 y=kx 平行,例如直线： y=2x+3 与直线 y=2x-5 都与直线 y=2x 平行；3、一次函数图象的性质：（ 1）图象在平面直角坐标系中的位置:（ 2）增减性：k0 时, y 随 x 增大而增大； k0 ,就函数图象必过一、三象限；b=10, 就直线和 y 轴交于正半轴,可以判定直线位置,也可以画草图, 或取两个点画草图判定,图像不过第四象限；答案： D；
17、例 3、（辽宁省中考题）某单位急需用车；但又不预备买车,他们预备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租 车合同；设汽车每月行驶x 千米,应对给个体车主的月费用是y1 元,应对给出租车公司的月费用是y2 元, y1、y2 分别与 x之间的函数关系图象（两条射线）如图,观看图象回答以下问题：（ 1）每月行驶的路程在什么范畴内时,租国营公司的车合算？（ 2）每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同？（ 3）假如这个单位估量每月行驶的路程为2300 千米,那么这个单位租哪家的车合算？分析：因给出了两个函数的图象可知一个是一次函数,一个是一次函数的特别形式正比例函数,两条直线交点的横坐标为
18、1500,说明当 x=1500 时,两条直线的函数值 y 相等,并且依据图像可以知道 x1500 时, y2 在 y1 上方； 0x1500 时, y2 在y1 下方；利用图象,三个问题很简洁解答；答：1 每月行驶的路程小于 1500 千米时,租国营公司的车合算； 或答:当 0x 1500千米 时,租国营公司的车合算 ；(2) 每月行驶的路程等于 1500 千米时 ,租两家车的费用相同；(3) 假如每月行驶的路程为 2300 千米,那么这个单位租个体车主的车合算；例 4、（河北省中考题）某工厂有甲、乙两条生产线先后投产；在乙生产线投产以前,甲生产线已生产了200 吨成品；从乙生产线投产开头,甲
19、、乙两条生产线每天分别生产20 吨和 30 吨成品；（ 1）分别求出甲、乙两条生产线投产后,各自总产量y（吨）与从乙开头投产以来所用时间x（天） 之间的函数关系式, 并求出第几天终止时,甲、乙两条生产线的总产量相同；（ 2）在如下列图的直角坐标系中,作出上述两个函数在第一象限内的图象；观看图象,分别指出第15 天和第 25 天终止时, 哪条生产线的总产量高？分析：（1）依据给出的条件先列出y 与 x 的函数式, =20x+200 , 30x,当 = 时,求出 x；（ 2）在给出的直角坐标系中画出两个函数的图象,依据点的坐标可以看出第 15 天和 25 天终止时,甲、乙两条生产线的总产量的高低；
20、解：（ 1）由题意可得：甲生产线生产时对应的函数关系式是：y=20x+200 , 乙生产线生产时对应的函数关系式是：y=30x,令 20x+200=30x,解得 x=20,即第 20 天终止时,两条生产线的产量相同；（ 2）由（ 1）可知,甲生产线所对应的生产函数图象肯定经过两点 A（ 0, 200）和B（ 20, 600）；乙生产线所对应的生产函数图象肯定经过两点O（ 0, 0）和 B（ 20, 600）；因此图象如右图所示,由图象可知：第15 天终止时,甲生产线的总产量高；第25 天终止时,乙生产线的总产量高；例 5直线 y=kx+b 与直线 y=5-4x 平行,且与直线 y=-3x-6
21、相交,交点在 y 轴上,求此直线解析式；分析：直线 y=kx+b 的位置由系数 k 、b 来打算：由 k 来定方向, 由 b 来定与 y 轴的交点,如两直线平行,就解析式的一次项系数 k 相等；例如 y=2x, y=2x+3 的图象平行；解： y=kx+b 与 y=5-4x 平行, k=-4 , y=kx+b 与 y=-3x-6=-3x+18 相交于 y 轴, b=18, y=-4x+18 ；说明：一次函数y=kx+b 图象的位置由系数 k、b 来打算：由 k 来定方向,由 b 来定点,即函数图象平行于直线y=kx ,经过 0, b点,反之亦成立, 即由函数图象方向定 k,由与 y 轴交点定
22、b；例 6直线与 x 轴交于点 A（ -4, 0）,与 y 轴交于点 B,如点 B到 x 轴的距离为 2,求直线的解析式；解： 点 B 到 x 轴的距离为 2, 点 B 的坐标为（ 0, 2）,设直线的解析式为 y=kx2, 直线过点 A（ -4 ,0）, 0=-4k 2,解得： k=,直线 AB 的解析式为 y= x+2 或 y=- x-2 ；说明：此例看起来很简洁,但实际上隐含了许多推理过程,而这些推理是求一次函数解析式必备的；（ 1）图象是直线的函数是一次函数；（ 2）直线与 y 轴交于 B 点,就点 B（ 0, yB）；（ 3）点 B 到 x 轴距离为 2,就|yB|=2；（ 4）点
23、B 的纵坐标等于直线解析式的常数项,即b=yB ；（ 5）已知直线与 y 轴交点的纵坐标 yB,可设 y=kx+yB ； 下面只需待定 k 即可；三、提高与摸索例 1已知一次函数 y1=n-2x+n 的图象与 y 轴交点的纵坐标为-1,判定 y2=3- xn+2 是什么函数, 写出两个函数的解析式, 并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性；解：依题意,得解得 n=-1, y1=-3x-1,y2=3- x, y2 是正比例函数；y1=-3x-1 的图象经过其次、 三、四象限, y1 随 x 的增大而减小； y2=3- x 的图象经过第一、三象限, y2 随 x 的增大而增大；说明：由于一次函
24、数的解析式含有待定系数n,故求解析式的关键是构造关于 n 的方程,此题利用 “一次函数解析式的常数项就是图象与 y 轴交点纵坐标 ”来构造方程；例 2已知一次函数的图象,交 x 轴于 A（ -6,0）,交正比例函数的图象于点 B,且点 B 在第三象限, 它的横坐标为 -2,AOB 的面积为 6 平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式；分析：自画草图如下：解：设正比例函数 y=kx , 一次函数 y=ax+b, 点 B 在第三象限,横坐标为 -2, 设 B（ -2, yB ）,其中 yB0 , =6, AO.|yB|=6, yB=-2 ,把点 B（-2, -2）代入正比例函数y=kx ,得 k
25、=1 , 把点 A（ -6,0）、B（ -2,-2）代入 y=ax+b,得解得： y=x, y=- x-3 即所求；说明：（ 1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式,留意两个函数中的系数要用不同字母表示；（ 2）此例需要把条件（面积）转化为点B 的坐标；这个转化实质含有两步：一是利用面积公式AO.BD=6（过点 B 作 BD AO 于 D ）运算出线段长 BD=2 ,再利用|yB|=BD 及点 B 在第三象限运算出 yB=-2 ；如去掉第三象限的条 件,想一想点 B 的位置有几种可能,结果会有什么变化？（答： 有两种可能, 点 B 可能在其次象限 （-2,2）,结果增加
26、一组 y=-x, y= x+3 ； （有答案,自己去看吧）1 全等三角形的对应边、对应角相等2 边角边公理 SAS有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等3 角边角公理 ASA 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等4 推论 AAS有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5 边边边公理 SSS 有三边对应相等的两个三角形全等6 斜边、直角边公理 HL有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等7 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等8 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上9 角的平分线是到角的两边距离相等的全部点的集合10 等腰三角形的性质定
27、理等腰三角形的两个底角相等即等边对等角）21 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合23 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于6024 等腰三角形的判定定理假如一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）25 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形26 推论 2 有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形27 在直角三角形中,假如一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相
28、等30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的全部点的集合32 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形33 定理 2 假如两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线34 定理 3 两个图形关于某直线对称,假如它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上35 逆定理 假如两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称36 勾股定理 直角三角形两直角边a、b 的平方和、等于斜边c 的平方,即 a2+b2=c237 勾股定理的逆定理假如三角形的三边长a、b、c 有关系 a2+
29、b2=c2,那么这个三角形是直角三角形38 定理 四边形的内角和等于360 39 四边形的外角和等于360 40 多边形内角和定理n 边形的内角的和等于（ n-2） 180 41 推论 任意多边的外角和等于360 42 平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等43 平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等44 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等45 平行四边形性质定理3平行四边形的对角线相互平分46 平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形47 平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形48 平行四边形判定定理3对角线相互平分的四边形是平行四边形49 平行四
30、边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形50 矩形性质定理1矩形的四个角都是直角51 矩形性质定理2矩形的对角线相等52 矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形53 矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形54 菱形性质定理1菱形的四条边都相等55 菱形性质定理2菱形的对角线相互垂直,并且每一条对角线平分一组对角56 菱形面积 =对角线乘积的一半,即S=（ ab） 257 菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形58 菱形判定定理2对角线相互垂直的平行四边形是菱形59 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等60 正方形性质定理对角2 正方形的两条对角线相等,并且相
31、互垂直平分,每条对角线平分一组61 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的62 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分63 逆定理 假如两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称64 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等65 等腰梯形的两条对角线相等66 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形67 对角线相等的梯形是等腰梯形68 平行线等分线段定理假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等69 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰70 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边71 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半72 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L= （ a+b） 2 S=Lh