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1、第八章直方图 115- 5 - / 30一、前言第八章 直方图 Histogram现场工作人员常常都要面对很多的数据，这些数据均来自于生产过程中抽样或检查所得的某项产品的质量特性；假如我们应用统计绘图的方法，将这些数据加以整理，就生产过程中的质量散布的情形及问题点所在及过程、才能等，均可出现在我们的眼前；我们即可利用这些信息来把握问题点以实行改善计策；通常在生产现场最常利用的图表即为直方图；二、直方图的定义什么是直方图：即使诸如长度、重量、硬度、时间等计量值的数值安排情形能简洁地看出的图形；直方图是将所收集的测定值特性值或结果值， 分为几个相等的区间作为横轴，并将各区间内所测定值依所显现的次数
2、累积而成的面积，用柱子排起来的图形；因此，也叫做柱状图；使用直方图的目的：明白安排的外形；讨论制程才能或运算制程才能；过程分析与掌握；观看数据的真伪；运算产品的不合格率；求安排的平均值与标准差；用以制定规格界限；与规格或标准值比较；调查是否混入两个以上的不同群体；明白设计掌握是否合乎过程掌握；116品管七大手法3. 说明名词：次数安排将很多的复杂数据按其差异的大小分成如干组，在各组内填入测定值的显现次数，即为次数安排；相对次数在各组显现的次数除以全部的次数，即为相对次数；累积次数 f自次数安排的测定值较小的一端将其次数累积运算，即为累积次数；极差 R在全部数据中最大值和最小值的差，即为极差；组
3、距 h极差/ 组数 =组距算数平均数 X数据的总和除以数据总数，通常一X（X-bar ）表示；nX1+X 2+ +XnX=Xi=i 1nn fX= X 0+h中位数 nX将数据由大至小按次序排列，居于中心的数据为中位数；如遇偶位数时，就取中间两数据的平均值；各组中点的简化值 X i - X 0 =,组距 hX 0=次数最多一组的组中点X i=各组组中点众数 M次数安排中显现次数最多组的值；次数最多为 24，不合格数是组中点 m9，故众数为9；一组数据中最大值与最小值的平均值，（上组界 +下组界） 2= 组中点标准差（ ） = 0 = hf 22 fnn样本标准差 Ss= n-1 = h2 ff
4、 2nn1第八章直方图 117例：不合格数35791011次数111518241316三、直方图的制作直方图的制作方法步骤 1：收集数据并记录收集数据时，对于抽样分布必需特殊留意，不行取部分样 品，应全部匀称地加以随机抽样；所收集的数据个数应大于50 以上；118品管七大手法例: 某厂成品尺寸规格为130 至 160mm，今按随机抽样方式抽取 60个样本，其测定值如附表，试制作直方图；1381421481451401411391401411381381391441381391361371371311271381371371331401301361281381321451411351311361
5、31134136137133134132135134132134121129137132130135135134136131131139136135步骤 2：找出数据中的最大值 L 与最小值 S先从各行（或列）求出最大值，最小值，再予比较；最大值用“”框起来，最小值用“”框起来EX:No.1No.2No.3No.4No.5No.613814214814514014113914014113813813914413813913613713713112713813713713314013013612813813214514113513113613113413613713313413213513413
6、2134121129137132130135135134136131131139136135得知：No.1L1=145S1=131No.2L2=142S2=127No.3L3=148S3=130No.4L4=145S4=128No.5L5=140S5=121No.6L6=141S6=129求得 L=148S=121第八章直方图 119步骤 3：求极差 R数据最大值 L 减最小值 S= 极差R例： R=148-121=27步骤 4：打算组数组数过少，虽然可得到相当简洁的表格，却失去次数安排的本质与意义；组数过多，虽然表格详尽，但无法达到简化的目的；通常，应先将反常值剔除再进行分组；一般可用数学家
7、史特吉斯 Sturges 提出的公式，依据测定次数 n 来运算组数 k，公式为： k=1+3.32 log n例： n=60就 k=1+3.32 log 60=1+3.321.78=6.9即约可分为 6 组或 7 组一般对数据的分组可参照下表： 数据数组 数505 751 10061010125071225010 20例：取 7 组步骤 5：求组距 hR组距=极差组数 h= k27为便于运算平均数及标准差，组距常取为2， 5 或 10 的倍数；7例： h=3.86，组距取 4步骤 6：求各组上限，下限 由小而大次序 最小测量单位- 5 - / 230120品第管一七组大下手限法 =最小值第一组
8、上限 =第一组下限 +组界其次组下限 =第一组上限最小测定单位整数位的最小测量单位为 1小数点 1 位的最小测量单位为 0.1小数点 2 位的最小测量单位为 0.01最小数应在最小一组内，最大数应在最大一组内；如有数字小于最小一组下限或大于最大一组上限值时，应自动加一组；1例：第一组=121- / 2=120.5 124.5其次组=124.5 128.5第三组=128.5 132.5第四组=132.5 136.5第五组=136.5 140.5第六组=140.5 144.5第七组=144.5 148.5步骤 7：求组中点- 9 - / 30组中点 值=该组上限 +该组下限2例：第一组 =120.
9、5+124.5 2=122.5其次组=124.5+128.5 2=126.5第三组=128.5+132.5 2=130.5第四组=132.5+136.5 2=134.5第五组=136.5+140.5 2=138.5第六组=140.5+144.5 2=142.5步骤 8：作次数安排表将全部数据，按其数值大小记在各组的组界内，并运算其次数；将次数相加，并与测定值的个数相比较；表示的次数总和应与测定值的总数相同；次数安排表 f f2f（ -41 ）平均值 X = X0 + - * h = 138.5 + - * 4 = 138.33n60 f （ f ） / n22117 = h * - = 4 *
10、n60（ -41 ） / 60 - = 4.8712 f （ f ） / n11722（ -41 ） / 602S = h * - = 4 * - = 4.91n 160 1第七组=144.5+148.5 2=146.5第八章直方图 121组组界组中划记次号点数1120.5 124.5122.51-4-4162124.5 128.5126.52-3-6183128.5 132.5130.512-2-24484132.5 136.5134.518-1-18185136.5 140.5138.5190006140.5 144.5142.55+1+557144.5 148.5146.53+2+612
11、合计60 f=-7 f=-412 f=117步骤 9：制作直方图将次数安排表图表化，以横轴表示数值的变化，纵轴表示次数；横轴与纵轴各取适当的单位长度；再将各组的组界分别标在横轴上，各组界应为等距分布；以各组内的次数为高，组距为宽；在每一组上画成矩形，就完成直方图；在图的右上角记入相关数据履历（数据总数n，平均值 x，标准差），并划出规格的上、下限；填入必要事项：产品名称、工序名称、时间、制作日期、制作者；122品管七大手法SL20=13015105n=60x =138.33=4.87s =n-1=4.91S =160120.5 124.5 128.5 132.5 136.5 140.5 144
12、.5 148.5说明： 1. 分组后再运算的 ， s 为近似值2. 如直接以原始数据 60 个，依公式运算，可得真值；n=60x =138.33=4.87s =4.912. 用运算机运算统计量如手边有函数型运算机，可使用次数安排表中，输入组中点与次数，快速求得各统计量 n, x ,与 s；如目前使用最普遍的 CASIO fx-3600PV, 其运算步骤如下：按键功能说明荧幕显示MODE3进入统计运算系统SDSHIFTKAC清除记忆0122.5 1DATA输入组中点及次数数据122.5136.5 2DATA126.5130.5 12DATA130.5134.5 18DATA134.5138.5
13、19DATA138.5142.5 5DATA142.5146.5 3DATA146.5KOUT 3输出统计量 n60SHIFTxX135.766 SHIFTx n SHIFTx n-1 KONT 2KNOT 1- 8 - / 30s2 X X4.8714.91281461107379第八章直方图 1233. 常见的直方图外形正常型说明：中间高，两边低，有集中趋势；结论：左右对称分布（正态安排），显示过程运转正常；缺齿型（凸凹不平型）说明：高低不一，有缺齿情形；不正常的安排，由于测定值或换算方法有偏差，次数安排不妥当所形成；结论：检验员对测定值有偏好现象，如对5， 10 之数字偏好；或是假造数据
14、；测量仪器不精密或组数的宽度不 是倍数时，也有此情形；切边型（断裂型）说明：有一端被切断；- 11 - / 30结论：缘由为数据经过全检，或过程本身经过全检，会显现的外形；如剔除某规格以上时，就切边在靠近右边形成；124 品管七大手法离岛型说明：在右端或左端形成小岛；结论：测量有错误，工序调剂错误或使用不同原料所引起；肯定有反常缘由存在，只要去除，就可满意过程要求，生产出符合规格的产品；高原型说明: 外形似高原状；结论: 不同平均值的安排混在一起，应分层后再做直方图比较；双峰型说明：有两个高峰显现；结论：有两种安排相混合，例如两台机器或两家不同供应商，第八章直方图 123有差异时，会显现这种外
15、形，因测量值不同的缘由影响，应先分层后再作直方图；偏态型（偏态安排）说 明：高处偏向一边，另一边低，拖长尾巴；可分偏右型、偏左型；偏右型：例如，微量成分的含有率等，不能取到某值以下的值时，所显现的外形；偏左型：例如，成分含有高纯度的含有率等，不能取到某值以上的值时，就会显现的外形；结 论：尾巴拖长时，应检查是否在技术上能够接受，工具磨损或松动时，也有此种现象发生；4. 直方图使用的留意事项反常值应去除后再分组；从样本测量值估计群体外形，直方图是最简洁有效的方法；应取得具体的数据资料（例如：时间、原料、测量者、设备、环境条件等）；126品管七大手法进行过程治理及分析改善时，可利用层别方法，将更简
16、洁找出问题的症结点，对于质量的改善，有事半功倍的成效；四、直方图的应用运算过程才能，作为改善制程的依据从过程中所收集的数据，经整理成为次数安排表，再绘成直方图 后，就可由其集中或分散的情形来看出过程的好坏；直方图的重 点在于平均值（ X），经整理后的安排如为正态安排，就自拐点中引起一横轴的平行线，可得到表现差异性的标准差（）；良好的过程，平均数应接近规格中心，标准差就越小越好；运算产品不合格率质量改善循环活动中，常需运算改善活动前、中、后的不合格 率，用以比较有无改善成效；其不合格率可直接从次数安排表中求得；也可从直方图中运算出来；例如，某产品的重量直方图如图图示，其规格为353g ；SLSU
17、504030201210815 205040383030 28201062930313233 343536 373839404142由图与规格界限比较 , 可知在规格下限以下的有35 件, 超出规格上限的有 64 件, 合计有 99 件, 占总数 307 件的 32.25%, 即不合格率为 32.25%.观看安排外形 参阅第三 .3 节由直方图的外形，得知过程是否反常；用以制定规格界限在未订出规格界限之前，可依据所收集编成的次数安排表，运算次数安排是否为正态安排；如为正态安排时，就可依据运算得到第八章直方图 127的平均数与标准差来订出规格界限；一般而言，平均数减去3 个标准差得规格下限，平均
18、数加上3 个标准差就得规格上限；或按实际需要而制定；与规格或标准值比较要明白过程才能的好坏，必需与规格或标准值比较；一般而言， 我们期望过程才能（直方图）在规格界限内，且最好过程的平均值与规格的中心相一样；满意规格(a) 抱负型过程才能在规格界限内，且平均值与规格中心一样，平均数加减 4 倍标准差为规格界限；过程稍有变大或变小都不会超过规格值，是一种最抱负的直方图；表示产品良好，才能足够；下限规格上限制品范畴(b) 一侧无余地产品偏一边，就另一边仍有很余外地，如过程再变大（或变小）很可能会有不合格发生，必需设法使产品中心值与规格中心值吻合才好；下限规格上限制品范畴- 13 - / 30128c
19、品两管侧七无大余手地法产品的最大值与最小值均在规格内，但都在规格上下限两 端，也表示其中心值与规格中心值吻合，虽没有不合格品发生，但如过程稍有变动，就会有不合格品产生的危急，要设法提高产品的精度才好；下限规格上限制品范畴d 余地太多实际制程在规格界限内，但两边距规格界限太远；亦即产品质量匀称，变异小；假如此种情形是因增加成本而得到，对公司而言并非好现象，故可考虑缩小规格界限或放松质量变异，以降低成本、削减铺张；下限规格上限制品范畴- 19 - / 30不满意规格a 平均值偏左（或偏右）假如平均值偏向规格下限并舒展至规格下限左边，或偏向规格上限并舒展至规格上限的右边，但产品呈正态安排，即表示平均
20、位置有偏差，应针对固定的设备、机器、原料等方向去追查；第八章直方图 129SLb 离散度过大SUSLSU实际产品的最大值与最小值均超过规格值，有不合格品发生（斜线部分），表示标准太大，过程才能不足，应针对变动的人员、方法等方向去追查，要设法使产品的变异缩小；或是规格订得太严，应放宽规格；规格下限制品范畴上限c 完全在规特殊表示产品的生产完全没有依照规格去考虑；或规格订得不合理, 根本无法达到规格；规格制品范畴调查是否混入两个以上不同群体假如直方图出现双峰外形，可能混合了两种不同群体，亦即过程为两种不同群体，比如两个不同班级、不同生产线、不同材料、不同操作人员、不同机台等；生产出来的产品混合在一
21、起；此 时，需将其分层，将不同班级、生产线、材料、操作人员、机台、制造出来的产品分开堆放，以便趁早找出造成不合格的缘由；研判设计时的掌握界限可否用于过程掌握计量值掌握图如 XR 掌握图，当 未知，以 X 作为中心线， X+ A 2R 作为掌握上限， X A 2R 作为掌握下限，做为设计的掌握130界限品；管当七每大天手计法算的结果（ X ，R）点绘在设计掌握界限内，如未出现任何规章，一般即可将此设计掌握界限延长为实际的过程掌握界限；但是，假如产品本身有规格界限时，应将所收集的数据，作次数安排表，并绘成直方图；此直方图如在规格界限内， 才可将此掌握界限作为掌握过程用；五、过程才能过程精密度 CP
22、Capability of Precision的求法：(a) 双边规格CTSU-SL（上限规格 （下限规格）P= = T=SU-S L6S6S6X （标准偏差）标准差X(b) 单边规格（i ）上限规格CSU -X（上限规格 （平均值）P= =3S3X （标准偏差）第八章直方图 131（ii ）CP=3S=3X（标准偏差）X- S L（平均值 （下限规格）No.CPSL分布与规格的关系SUs过程才能判定处置1CP1.67太佳过程才能太好，可酌情缩小规格，或考虑简化治理与降低成本；SLSU21.67CP1.33s合 格抱负状态，连续维持；SLSU31.33CP1.00s警 告SLSU41.00CP
23、0.67s不 足SLSU50.67CPs特别不足使过程保持于掌握状态，否就产品随 时有发生不合格品 的危急，需留意； 产品有不合格品产 生 ， 需 作 全 数 检验，过程有妥当管 理及改善的必要； 应实行紧急措施， 改善质量并追究原 因，必要时规格再作检验；132品管七大手法2. 制程精密度 CP值 与不合格率的关系CP规格公差（ T）不合格率（规格以外比率）单边规格双边规格0.332 15.87%31.74%0.574 22.27%4.54%1.006 30.14%0.27%1.338 431.5 PPM63 PPM1.669.6 4.8 0.81 PPM1.62 PPM1.7610.4 5
24、.3 0.06 PPM0.12 PPM2.0012.0 61.0 PPB2.0 PPB制程精密度（ CP值）与不合格率的关系-+-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 68.26%95.46%99.73%六、实例演练案例 1：99.9937%99.999943%99.9999998%注： 1.Ca 值等于 0 时 CP=C Pk 2.PPM Parts Per Million3. PPBParts Per Billion某公司分别在两厂（ A ，B）生产同样的产品；最近，两地均发觉有不符规格值 200275g的反常产品产生，今公司派员分别到两厂去实地明白生产
25、过程，并分别测定60 批产品，数据如附表；请分析并回答以下问题：作全部数据的直方图；针对两厂分别做层别直方图；运算全部数据， A 厂、B 厂的平均 X ，标准差 及过程精密度CP ；直方图上填入必要事项；表达由直方图所得的结果；第八章直方图 133A 厂B 厂21523821721322123723123924122323823126023120124325024123924724524926320924525026120122725825025127324327422127319624922922124721920025323118918425521725920324125623824822
26、1221261210260198210271227251241237270201255243205260204211250250231257246257243251237201261247223263238260237237233260270260219257211233234242240261229263215253223210229222245242231264241205A 厂最大值 274最小值 198B 厂最大值 273最小值 184解： 1全部数据的最大值： 274，最小值： 184组数k = 1+3.32log n = 1+3.32log120 = 1+3.322.08 = 7.
27、9取 8 组组距 = 274-184/8 = 11.2512最小一组的下限 = 184 1/2 = 183.5作次数安排表No.组 界组中点全体A厂B厂划记次数划记次数划记次数1183.5195.52195.5207.53207.5219.54219.5231.55231.5243.56243.5255.57255.5267.58267.5279.5189.5201.5213.5225.5237.5249.5261.5273.522611581358201216261011221182012363合 计1206060134品管七大手法直方图（全数）302010SL=200XSU =275n=1
28、20 x=236.8 =20.74 s=20.83189.5 201.5213.5 237.5 249.5 261.5 273.5225.5(2) 针对 A 、B 厂的层别直方图A 厂直方图B 厂直方图SL=200X2015105SU =275 n=60 x=236.3 =19.80 s=19.97SL=200X2015105SU =275n=60 x=237.3 =21.63 s=21.81201.5 226.5 249.5273.5189.5 213.5 237.5261.5213.5237.5 261.5201.5225.5 249.5 273.5(3) 全数， A 厂、 B 厂的平均值
29、 X ，标准差 及过程精密度CP(a) 全数数据X次数 f f f1189.52-4-8322201.511-3-33993213.513-2-26524225.520-1-20205237.5260006249.522122227261.520240808273.5631854中心值2第八章 直方图 1352 f=120 f=-7 f=359平均数fh237.5on712120236.8样本标准差sh2 ff2n12n1359120721201工序才能指数Cp12359Sl2752006 s620. 83Su0 . 4083119121 .7359020. 60.83(b) A 厂数据中心值
30、 X次数 ff2 f1189.50-4002201.56-3-18543213.58-2-16324225.58-1-88- 21 - / 30f60f62 f1645237.5160006249.511111117261.58216328273.533927平均值f237 . 5h0n61260236 .3样本标准差sh2 ff2n12n116462605912164590 . 612163 .459121 . 664219 . 97工序才能指数SuSlCp27520075136 品管七大手法6 s619 .97119 .82(c) B 厂数据中心值X次数ff2 f1189.52-3-618
31、2201.55-2-10203213.55-1-554225.5120005237.510110106249.511222447261.5123361088273.5341248f60f592 f253平均数fh225.50n59 1260237.3样本标准差 sh1222 ffnn125358253121234816059195工序才能指数59CpSuSl27520059750.5736s621.87130.86(4) 将 n， ，s，规格上下界限，平均数，记入直方图；第八章 直方图 137(5) 5项 目全 体A 厂B 厂=236.8=2A36.3=2B37.3SCpS =20.76Cp=
32、0.60S=A19.97C=P0A .626=S2B 1.81C=P0B.573形 状1.稍为偏左1.稍为偏左1.稍为偏左2.分散程度过大2.分散程度过大2.分散程度过大与规格比较分布中心与规格中心相较 , 稍为偏左, 且显现不同左同左良品, 超出规格下限；- 23 - / 30综合评断1.A 厂、B 厂均发生超出规格下限的情形，有必要加以改善，使平均值右移至规格中心；2.两厂之过程变差甚大，均有不良品发生，需做全数检验，过程必需妥当治理与改善；138 品管七大手法案例 2:某国校五年乙班同学之身高、体重，做抽样调查； 期望目标 :身高 125150 体重: 2540kg,其结果如下 :男 生
33、女 生身高cm体重kg身高cm体重kg123131135272827131129117253121118125132233028130128125282824127144141283138119145140203238124124131293026122136148253448132127140352940125131141243035138129149342939132134120302525139130121403835135128118324722137151123355136138119127461825131142125333146130120130312129123128129404633124123135292332(1) 运算直方图表达其分布； 包含全数、男、女生 (2) 运算平均身高、体重； 包含全数、男、女生 (3) 运算身高、体重之标准差； 包含全数、男、女生 (4) 运算评论其结果；解:身高全数数据之最大值 : 151cm,最小值为 : 117cm组数k=1+3.32logn-1+3.32log60=1+3.321.78=6.91 取 7 组组距=151-117/7=4.865cm最小一组的下限 =117-0.