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1、精品学习资源二 元 一 次 方 程 组 的 解 法一 、 目 标 认 知学 习 目 标 ：1 了 解 二 元 一 次 方 程 、 二 元 一 次 方 程 组 及 其 解 的 含 义 ；2 会 检 验 一 组 数 是 不 是 某 个 二 元 一 次 方 程 组 的 解 ；3会用代入法和加减法解二元一次方程组，明白代入消元法和加减消元法的基本思想；4 能 够 根 据 题 目 特 点 熟 练 选 用 代 入 法 或 加 减 法 解 二 元 一 次 方 程 组 ；5能借助二元一次方程组解决一些实际问题，使用代数方法去反应现实生活中的等量关系，体会代数方法的优越性.重点：二元一次方程组的解法.难点：熟
2、练 运 用 代 入 法 和 加 减 法 解 二 元 一 次 方 程 组 .二 、 知 识 要 点 梳 理知 识 点 一 ： 二 元 一 次 方 程 的 概 念含有两个未知数一般设为 x、y，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫 做 二 元 一 次 方 程 .如 x y 24 ，都 是 二 元 一 次 方 程 .要点诠释：(1) 在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.(2) “未知数的次数为1”是指含有未知数的项单项式 的次数是 1. 如 xy 的次数是 2， 所以方程6xy90不是二元一次方程.(3) 二元一次方程的左边和右边都必需是整式. 如方程的左边不
3、是整式，所以 它就不是二元一次方程.(4) 判定某个方程是不是二元一次方程，一般先把它化为ax by c0 的形式，再依据定义判定，例如： 2x 4y 3 2x 不是二元一次方程，由于通过移项，原方程变为4y 3， 不符合二元一次方程的形式；知识点二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解；由于使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值不只一个，故每个二元一次方程都有无数组解；如，都是二元一次方程x y 3 的解，我们把有很多组解的这样的方程又称之为不定方程；要点诠释：(1) 使二元一次方程左右两边都相等的两个未知数的值二元一次方程的每一个解，都
4、是欢迎下载精品学习资源一对数值，而不是一个数值,即二元一次方程的解都要用“ ”联立起来，如,是二元一次方程xy2的解；(2) 在二元一次方程的很多个解中，两个未知数的值是相互联系、一一对应的；即其中一 个 未 知 数 的 值 确 定 后 ， 另 一 个 未 知 数 的 值 也 随 之 确 定 并 且 唯 一 ；知识点三：二元一次方程组的概念把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.例 如，都 是 二 元 一 次 方 程 组 .此 外 ， 组 成 方 程 组 的 各 个 方 程 也 不 必 同 时 含 有 两 个 未 知 数 .例如也是二元一次方程组.知识点四：二元
5、一次方程组的解一 般 地 ， 二 元 一 次 方 程 组 的 两 个 方 程 的 公 共 解 ， 叫 做 二 元 一 次 方 程 组 的 解 .要点诠释：(1) 方 程 组 的 解 要 用 大 括 号 联 立 ， 如， 而 不 能 表 示 成 x 9,y 4.(2) 一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特别情形，如方程组无解，而方程组的解有无数个. 3检验一组数是否是二元一次方程组的解时，肯定要将这一组数代入方程组中的每一个方程，看是否满意每一个方程，只有这组数满意方程组中的全部方程时，该组数才是原方程组的解，否就不是；知识点五：消元法1消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，假如消去其
6、中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟识的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求 出 另 一 个 未 知 数 . 这 种 将 未 知 数 由 多 化 少 、 逐 一 解 决 的 思 想 ， 叫 做 消 元 思 想 .2消元的基本思路：未知数由多变少. 3 消 元 的 基 本 方 法 ： 把 二 元 一 次 方 程 组 转 化 为 一 元 一 次 方 程 .知识点六：代入消元法1代入消元法是解方程组的两种基本方法之一；代入消元法就是把方程组其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，消去一个未知 数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解；这种
7、解二元一次方程组的方法叫代入消欢迎下载精品学习资源元法，简称代入法；2 用 代 入 法 解 二 元 一 次 方 程 组 的 一 般 步 骤 ：(1) 从方程组中选一个系数比较简洁的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；(2) 将变形后的这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3) 解 这 个 一 元 一 次 方 程 ， 求 出 一 个 未 知 数 的 值 ；(4) 将求得的这个未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值；(5) 把求得的两个未知数的值用符号“”联立起来写成方程组的解的形式.要点诠释：(1) 用代入法解二元一次方程组时，应
8、先观看各项系数的特点，尽可能挑选变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2) 变 形 后 的 方 程 不 能 再 代 入 原 方 程 ， 只 能 代 入 原 方 程 组 中 的 另 一 个 方 程 ；(3) 要善于分析方程的特点，查找简便的解法；如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法；整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可 使运算简便，提高运算速度及准确率；知识点七：加减消元法1加减消元法是解二元一次方程组的基本方法之一，加减消元法是通过将两个方程相加或相减 消去一个未
9、知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解,这种解法叫做加减消元法，简称加减法；2 用 加 减 法 解 二 元 一 次 方 程 组 的 一 般 步 骤 ：(1) 方程组中的两个方程，假如同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就可用适当的数去乘一个方程或两个方程的两边，使两个方程中的某一个未知数的系数互为相反数或相等；(2) 把两个方程的两边分别相加减相同时相减，相反时相加，消去一个未知数，得到 一个一元一次方程；(3) 解 这 个 一 元 一 次 方 程 ， 求 得 其 中 一 个 未 知 数 的 值 ；(4) 把所求得的这个未知数的值代入到原方程组中系数比较简洁的一个方程，求出另一个未
10、知数的值；(5) 把求得的两个未知数的值用符号“”联立起来写成方程组的解的形式；要点诠释：一般地，加减消元法的选择方法是：(1) 选择系数绝对值较小的未知数消元；(2) 某一未知数肯定值相等，假如符号不同，用加法消元，假如符号相同，用减法消元；(3) 某一未知数系数成倍数关系时，直接对其中一个方程变形，使其系数肯定值相等，再运用加减法消元；(4) 当相同的未知数的系数都不相等时，找出某一个未知数的最小公倍数，同时对两个欢迎下载精品学习资源方程进行变形，转化为肯定值相同的系数，再用加减法来解；用加减法解方程组时需注 意：对某个方程变形处理时各项都要扩大相同的倍数；两个方程的左右两边的各项都要同时
11、相加或相减；三、规律方法指导1. 二元一次方程的整数解的求法：一般情形下，一个二元一次方程都有很多个整数解，解这类问题时，先用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后依据条件逐一求出相应的解.2. 判定二元一次方程组的方法：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起就组成一个二元一次方程组，判定一个方程是不是二元一次方程组，就看它是否满意以下两个条件： 1 看整个方程组里含有的未知数是不是两个；2 看含未知数的项的次数是不是1.3. 检验一对数是不是某个二元一次方程组的解，常用的方法是：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有当这对数值满意其中的全部方程时，才能说这对数值是此方程组的解；否就
12、，假如这对数值不满意其中的任何一个方程，那么它就不是此方程组的解.4 运 用 代 入 法 、 加 减 法 解 二 元 一 次 方 程 组 要 注 意 的 问 题 ：(1) 当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简洁；(2) 如方程组中未知数的系数为1或 1，挑选系数为1或 1的方程进行变形，用代入法比较简便；(3) 当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便；(4) 如两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成3 的类型，选择加减消元法比较简便；(5) 如两个方程中，同一个未知数的系数的肯定值都不相等，那么，应选出
13、一组系数选最小公倍数较小的一组系数，求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的 这 组 系 数 的 绝 对 值 相 等 都 等 于 原 系 数 的 最 小 公 倍 数 ， 再 加 减 消 元 ；(6) 对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简去分母、去括号、合并同类项等. 通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑 .经典例题透析类型一：求二元一次方程的解1写出二元一次方程4x y 20 的全部正整数解 .思路点拨： 要把 4xy 20 变形，再依据代数式的特点求解.解读： 由原方程得 y 204x. 由于 x、y 都是正整数， 所以
14、当 x 1,2 ， 3,4 时， y 16,12,8 ， 4.所以方程 4x y20 的全部正整数解为：，.总结升华： 1 可以把二元一次方程中的一个未知数看成已知数，先解关于另一个未知数的一元一次方程，然后两个未知数取正整数值即可.2对题意懂得，要留意两点：要正确；不重、不漏 .两个未知数的取值均为正整数才符合题意的解.欢迎下载精品学习资源举一反三：【变式 1】在方程 3x 4y2 0 中，如 y 分别取 2、0、 1、 4，求相应的的值 .【答案 】将 3x 4y 2 0 变形得.把已知 y 值依次代入方程的右边，运算相应值，如下表：20 1 4 226【 变 式 2 】 求 二 元 一
15、次 方 程 2x y 9在 自 然 数 范 围 内 的 解 ；思路点拨： 第一明确自然数的概念，自然数是指0,1 ， 2, 3 ，也就是非负整数，最小的自然数是 0；再把二元一次方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，可变为y9 2x，这样再让未知数x 按次序0,1 ， 2， 3，取值，即可获得所求的自然数范畴内的解；解 读 ： 原 方 程 变 形 为 y 9 2x 当 x 0 时 ， y 9 ， 当 x 1 时 ， y 7 ， 当 x 2 时 ， y 5 当 x 3 时 ， y 3 ， 当 x 4 时 ， y 1 ， 当 x 5 时 ， y 1所 以 方 程 在 自 然 数 范 围 内 的
16、解 为，；类型二：确定方程的待定系数2如是关于的二元一次方程，求的值.思路点拨： 依据二元一次方程的定义，a 3 0，即 a 3； |a| 21，即a3，所以a3.解 读 ： 由题 意 得 |a|2 1， 所以a 3.而a 3 0， 即a3， 所以a 3.总结升华： 二元一次方程的待定系数的求解，要同时考虑两个未知数的系数与次数，不管方程的形式如何变化，必需满意含有两个未知数，未知数的次数是1，这两个条件.举一反三：欢迎下载精品学习资源20212021【 变 式 1 】 如 果是 方 程 组的 解 ， 求 a 2b的 值 .思路点拨： 把代入方程组，可以得到关于a、b 的方程组，解这个方程组，
17、可得a、b的值.解 读 ： 由是 方 程 组的 解 ， 得.欢迎下载精品学习资源解这个方程组，得，当时，a2021 2b20212021 2 12021 1.欢迎下载精品学习资源 1总结升华： 把 x、 y 的值代入方程组，转化为关于a、b 的方程组，解出 a、b 的值.此题体现了“系数”与“未知数”的转化关系.m 12n【变式 2 】方程 2x 3y 5是二元一次方程，就m， n.【答案 】 0,解读： 由方程是二元一次方程得：m 1 1,2n 1，解得： m 0， n；【 变式 3 】如是方程组的解，就a， b .【答案】a2，b1解 读 ： 把代入 原 方 程 得；3已知方程组与方程组的
18、解相同，求的值 .思路点拨： 由于两个方程组的解相同，所以可先求出方程组的解，然后把此解代入方程组中，得到关于a、b 的二元一次方程组，解这个方程组，即可导出a、b的值.欢迎下载精品学习资源解 读 ： 解方 程 组， 得.把代 入 方 程 组，得， 解 这 个 方 程 组 ， 得.总 结 升 华 ： 由 于 此 题 的 解 题 步 骤 较 多 ， 所 以 解 方 程 组 的 过 程 可 以 省 略 .举一反三：【变式 1】已知方程组与方程组的解相同，求a、 b 的值 .解读： 由方程 3x y 5 与 4x 7y 1 组成方程组，之后解题过程见例3，求出 x、y的值，代 入 方 程 组， 再
19、求 出 a 、 b的 值 ， 得.【 变式2 】如等式中的 x 、 y满意方程组，求mn的值；解 读 ： 由 2x 4 0 ， y 0 ， 得， 把代 入 方 程 组 得解得：22把代 入 2m n 得原 式 2 3 18 ；类型三：二元一次方程组的求法4解方程组.思欢迎下载精品学习资源路点拨： 依据方程组的特点，可以选用不同的方法来解.解读： 方法一：原方程组化简得由得，y365x. 把 代 入 ， 得 x 536 5x 24 ， 解 得x 6. 把x 6代 入 ， 得y 36 5 6 6.所 以 原 方 程 组 的 解 是.方法二：原方程组化简得 5，得 25x 5y 180.，得26x1
20、56，解得x6.把x 6代 入 ， 得y 6.所 以 原 方 程 组 的 解 是.方法三：原方程组化简得 3，得 9x y 6x y 108. 2，得4x y 6x y 48.，得13x y 156，解得xy12.把x y12代 入， 解 得x y 0.解 方程组，得.所 以 原 方 程 组 的 解 是.总结升华： 1 方法一和方法二都利用了二元一次方程组的常规解法：代入法和加减法；方法三依据题目的特点应用了整体的思想方法先求出xy 和 x y 的值，再进一步求x、 y的 值 ， 这 是 解 方 程 组 的 一 种 重 要 的 思 想 .2 解方程组时，不要急于求解，要先观看特点，因题而异，敏
21、捷挑选方法，才能事半功 倍 .同 时 ， 注 意 一 题 多 解 ， 训 练 思 维 的 敏 捷 性 和 解 题 的 灵 活 性 .举一反三：【 变 式 1 】 已 知 方 程 组， 求 x y z的 值 .思路点拨： 这是个三元一次方程组，只含有两个方程，一般不能分别求出x、y、z的值 ， 可 把 “ x y z ” 作 为 一 个 整 体 ， 把 方 程 组 变 形 ， 根 据 特 殊 性 求 解 .欢迎下载精品学习资源解读： 将原方程组整理，得 3，得 6x 3y3x yz 21， 2，得 6x 3y 2x y z 16，得 x y z 5.【变式2】解方程组解 ： 由 ， 得 5x 5
22、3y 85 300 ， 即 5x y 48y 85 300. 将 代 入 ， 得 5 300 48y 85 300 ； 解 得y 500.将 y 500代 入 ， 得 x 200. 所 以 原 方 程 组 的 解 是.【变式3】解方程组解 ： 设， 就 原 方 程 组 可 化 为解 得， 即， 解 得；类型四： 实践应用题5 直角三角形ABC 中， C 90，两个锐角的差是30，求两个锐角的度数.思路点拨： 很多几何中的问题，如边、角问题，可通过设未知 数 来 列 方 程 组 ， 使 几 何 问 题 中 的 量 的 关 系 变 得 更 直 接 、 更 易 懂 .解读： 设两个锐角的度数分别是x
23、和 y，依据题意列方程组为，解 方 程 组 ， 得.所 以 两 个 锐 角 的 度 数 分 别 是 60 和 30 .总结升华： 列简洁的二元一次方程组时应先设未知数，然后列出含有未知数的两个方程，再用大括号联立，组成二元一次方程组.举一反三：【变式 1】美术小组的同学分铅笔如干支，如其中4 人每人各取 4 支，其余的人每人各取 3 支，就仍剩 16 支；如有 1 人只取 2 支，就其余的人恰好每人各得6 支，问美术小组欢迎下载精品学习资源的同学有多少人？铅笔有多少支？ 解 读 ： 设 美 术 小 组 有名 同 学 ， 有支 铅 笔 ， 根 据 题 意 ， 得，解方程组，得.答：美术小组有8名
24、同学，44支铅笔.【变式 2】（宁德中考）某刊物报道：“2021 年 12 月 15 日，两岸海上直航、空中直航和直接通邮启动，大三通基本实现大三通最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节约4 小时，海运平均每航次可节约22 小时，以两岸每年往来合计 500 万人次运算，就共可为民众节约2900 万小时”依据文中信息，求每年采纳空运和海运往来两岸的人员各有多少万人次 解读： 设每年采纳空运往来的有x 万人次，海运往来的有y 万人次，依题意得解得答 ： 每 年 采 用 空 运 往 来 的 有450万 人 次 ， 海 运 往 来 的 有50万 人 次 6小明做拼图嬉戏时发觉：8 个一
25、样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1 所示.小丽观察了，也来试一试，结果拼成了如图2 所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是边长为2cm 的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？思路点拨： 在图 1 中，大长方形的长有两种表现形式，一种是5 个小长方形的宽的和，另一种是3 个小长方形的长的和 .在图 2 中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是1 个小长方形的长和2 个小长方形的宽的和，另一种从中间看为2 个小长方形的长和1 个小正方形的 边 长 的 和 ，由 此 可 设出 未 知 数列 出 方 程求 解.解 读： 设小长方形 的长 为cm， 宽为cm.依据题意
26、列方程组， 整理得3，得，把代入，得.所以这个方程组的解是.欢迎下载精品学习资源答：每个小长方形的长为10cm，宽为6cm.总结升华： 通过观看图形找等量关系，建立方程组求解，此题渗透了数形结合的思想.举一反三：【变式 1】（肇庆中考） 2021 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共100枚，金牌数列世界第一其中金牌比银牌与铜牌之和多2 枚，银牌比铜牌少7 枚问金、银、铜牌各多少枚？解 读 ： 设 金 、 银 牌 分 别 为x枚 、 y枚 ， 就 铜 牌 为 y+7枚 ，依题意，得解以上方程组，得x=51,y=21，所以y+7=21+7=28答 ： 金 、银 、 铜 牌 分别 为51枚、 21枚 、28枚【变式 2】（ 2021 浙江绍兴）依据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是A 0.8元 /以， 2.6元/本B 0.8元 /以， 3.6元/本C 1.2元 /以， 2.6元/本D 1.2元 /以， 3.6元/本【答案】D解 读 ： 设 一 支 笔 的 价 格 为x元 ， 笔 记 本 的 价 格 为y元 ， 由 已 知 条 件 可知解方程组，得欢迎下载