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1、九年级下册学问点第一章 直角三角形边的关系1、正切：定义：在 Rt ABC中,锐角 A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作 tanA ,名师即tanA= A的对边 / A的邻边；纳归tanA 是一个完整的符号,它表示A的正切,记号里习惯省去角的符号“ ”；结总tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A的对边与邻边的比；|tanA 不表示 “tan乘”以 “A”；|大tanA 的值越大, 梯子越陡, A 越大； A 越大, 梯子越陡, tanA 的值越大；（ P1-6,11、P3-6 、P4-12）有肚2、正弦：定义：在 Rt ABC中,锐角 A的对边与斜边的比叫做A的正弦,记作 sin
2、A ,容即sinA= A的对边 /斜边；,容3、余弦：定义：在 Rt ABC中,锐角 A的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作 cosA,学习即cosA= A的邻边 /斜边；困难4、余切：定义：在 Rt ABC中,锐角 A的邻边与对边的比叫做A的余切,记作 cotA ,之即cotA= A的邻边 / A的对边；事,5、一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的学业余角的余弦、正弦、余切、正切；（通常我们称正弦、成有余弦互为余函数；同样,也称正切、余切互为余函数,可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函更上数）用等式表达：一层如 A 为锐角,就 sin A = cos90 - A ）等等；楼
3、6、记住特殊角的三角函数值表0,30,45,60,90；（ P4-13、 P5-15,16、 P10-11、 P12-3）第 4 页,共 7 页1213题 6： 运算： 102+cot 45cos 60cos 30tan 607、当角度在 0 90间变化时,正弦值、正切值随着角度的增大或减小 而增大 或减小 ；余弦值、余切值随着角度的增大或减小 而减小 或增大 ；0sin 1,0cos；1同角的三角函数间的关系：tnoct=1, tan =sin /co,s cot =cos /si,n2sin2 +cos =18、在 ABC 中, C为直角, A、 B、 C所对的边分别为a、b、c,就有：（
4、1）三边之间的关系： a222+b =c ；（2 两锐角的关系： A B=90；（3 边与角之间的关系： sin 等；（4） 面积公式；（5） 直角三角形 ABC 内接圆 O的半径为 a+b-c/2 ；（6） 直角三角形 ABC 外接圆 O的半径为 c/2；（ P18-13 、 P16-例 5、 P19-15）题 7：小红的运动服被一个铁钉划破一个呈直角三角形的洞,其中两边分别为1 cm 和 2 cm,如用同色形布将此洞全部遮盖,那么这个圆的直径最小应等于 ；A 2 cmB 3 cmC2 cm 或 3 cmD 2 cm 或 5 cm题 8： 长为 12 cm 的铁丝,围成边长为连续整数的直角三
5、角形,就斜边上的中线为 cm ；1题 9： 如图 2,河对岸有铁塔 AB在 C 处测得塔顶 A 的仰角为 30,向塔前进 14 米到达 D,在 D处测得 A 的仰角为 45,求铁塔AB 的高；名师纳归图 2结总题 10： 已知：四边形 ABCD 中, B ADC 90, AB 2、CD 1、 A 60,求： BC；| 大肚有容, 容学习图 3困难之其次章 二次函数事,学1、定义 ：一般地,假如 y业成有量的取值范畴是全体实数；2axbxc a , b, c 是常数, a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数；自变更,2、二次函数 y一上（1）抛物线 yax的性质 ：222ax的顶点是坐标原点,对
6、称轴是y 轴；楼层（2）函数 yax的图像与 a 的符号关系：当 a0 时抛物线开口向上顶点为其最低点；当 a0 时抛物线开口向下顶点为其最高点；2（3） 顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax （ a0）；（ P21-12 ）3、二次函数y2axbxc 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线；4、二次函数 y2axbxc 用配方法 可化成： y22axhk 的形式,其中 hb4acb, k；2a4 a225、二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式： yax； yaxk ； ya xh2； y2axhk ； yax 2bxc ；6、抛物线的 三要素 ：开口方向、对
7、称轴、顶点； a 的符号打算抛物线的开口方向：当物线的开口大小、外形相同；a0 时,开口向上；当 a0 时,开口向下；a 相等,抛平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh .特殊地, y 轴记作直线 x0 ；（ P23-9,10）7、顶点 打算抛物线的位置； 几个不同的二次函数,假如二次项系数 a 相同, 那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同；8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1） 公式法：yax2bxcaxb24 acb2,顶点是（b4 ac,b2）,对称2a4a2 a4 a轴是直线 xb；（ P26-9）2 a（2） 配方法 ：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为2ya
8、 xhk 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线xh ；2（3） 运用抛物线的 对称性 ：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点；留意： 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失；题 11： 抛物线 y x2 6x 4 的顶点坐标是 A 3, - 5B - 3, - 5C 3 , 5D -3 , 59、抛物线 y名2axbxc 中,a, b , c的作用（ P29-例 2,1,10）2师（1） a 打算开口方向及开口大小,这与归yax中的 a 完全一样；2纳（2） b 和 a 共同打算抛物线
9、对称轴的位置；由于抛物线总yaxbxc的对称轴是直线；x结b|2 a大,故： bbb0 时,对称轴为 y 轴；a0 （即 a 、 b 同号）时,对称轴在y 轴肚左侧；0 （即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧；有a容,（3） c 的大小打算抛物线y2axbxc 与 y 轴交点的位置；容学当 x0 时, yc ,抛物线 y2axbxc 与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：习c0困难,抛物线经过原点； c0 ,与 y 轴交于正半轴； c0 ,与 y 轴交于负半轴；b之以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就0 ；事a,学10、几种特殊的二次函数的图像特
10、点 如下：业成有函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y,2更axy上2一axk层2当 a0 时x0 （ y 轴）（ 0,0）x0 （ y 轴）0,k 楼ya xh开口向上xh h ,02ya xhk当 a0 时xh h ,k 开口向下bb4 acb22yaxbxcx,2 a2 a4a11、用 待定系数法 求二次函数的解析式 （ P32-12、P34-7,8 、 P37-2,4、 P42-1,2 、 P51-例、 P54-16）（1） 一般式： y2axbxc ；已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式；（2） 顶点式： y2a xhk . 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式；（3）
11、 交点式：已知图像与x 轴的交点坐标 x1 、 x 2 ,通常选用交点式：ya xx1x222x 2；2题 12：已知关于 x 的一元二次方程 x -2 m-1 x m-1 0,有两个实数根 x1、x2,且 x1 m的值；x2 4求题 13： 先化简,再求值：x5 x6322211,其中 x 33 x3 xx1x3题 14：在平面直角坐标系中, B3 1,0,点 A 在第一象限内,且 AOB60, ABO45；(1) 求点 A 的坐标；(2) 求过 A、O、B 三点的抛物线解析式；(3) 动点 P 从 O 点动身,以每秒 2 个单位的速度沿OA 运动到点 A 止,如 POB 的面积为 S, 写
12、出 S 与时间 t秒的函数关系；是否存在t,使 POB 的外心在 x 轴上,如不存在,请你说明理由；如存在,恳求出t 的值；3名师归纳图 4总结|12、 直线与抛物线的交点（P47-5、 P48-10,14）|2大（1） y 轴与抛物线 yaxbxc得交点为 0,c ；肚有（2）与 y 轴平行的直线 x容h 与抛物线 y2axbxc 有且只有一个交点 h , ah 2bhc ；,（3）抛物线与 x 轴的交点；容二次函数 y学ax 2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1 、x 2 ,是对应一元二次方程习2困axbxc0 的两个实数根； 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的
13、根的判别式难判定 ：之事, 学业有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离；有（ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点：,成同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点； 当有 2 个交点时, 两交点的纵坐标相等,上更设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根；一（ 5）一次函数 y层楼y由方程组ykxn kkxn2axbx0 的图像 l 与二次函数 y的解的数目来确定：c2axbxc a0的图像 G 的交点,方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点；方程组只有一组解时l 与 G 只
14、有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点；（ 6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离 ：如 抛 物 线 yax 2bxc 与 x 轴 两 交 点 为A x1,0 , Bx 2,0, 由 于x1 、 x 2是 方 程2axbxc0 的两个根,故：bcx 1x2ABx1, x 1x2aa2x 2x1x 22x1x 24 x1 x 22b4caa2b4 acaa第三章 圆1、定义：圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合；其中定点叫做圆心,定长叫做圆的半径, 圆心定圆的位置,半径定圆的大小,圆心和半径确定的圆叫做定圆；对圆的定义的懂得：圆是一条封闭曲线,不是圆面；圆由两个条件唯独确定：一是圆心（即定
15、点）,二是半径（即定长） ；2、点与圆的 位置关系及其数量特点：假如圆的半径为 r ,点到圆心的距离为 d,就：点在圆上 d=r ；点在圆内 dr ；点在圆外 dr ；（ P56-5, 6、 P58-16） 证明如干个点共圆,就是证明这几个点与一个定点的距离相等；3、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形,对称中心为圆心；直径所在的直线是它的对称轴,圆有很多条对称轴；（ P58-4、 P59-9、 P61-3、 P63-16、 P65-15 ）44、与圆相关的概念：弦和直径； 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦； 直径 ：经过圆心的弦叫做直径；圆弧、半圆、优弧、劣弧；
16、圆弧 ：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号 “ ”表示,半圆 ：直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆； 优弧 ：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧 ： 小于半圆的弧叫做劣弧； 为了区分优弧和劣弧,优弧用三个字母表示； 弓形 ：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形；名师 同心圆 ：圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆；归纳 等圆 ：能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆；结总 等弧 ：在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧；圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；| 弦心距 ：从圆心到弦的距离叫做弦心距；|大5、垂径定理 ：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧；有肚推
17、论 ：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；容说明： 依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,假如具备： 过圆心； 垂直于弦；,容平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧；学习6、定理 ：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等；困难推论 ：在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,之那么它们所对应的其余各组量都分别相等；事,7、1的弧的概念 ：把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1的圆心角,相应的整个学业圆也被等分成 360份,每一份同样的弧叫1弧；圆心角的度数和它所对的弧的度数相
18、等；成有8、圆周角 的定义：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角；,圆周角定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；更上推论 1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之,在同圆或等圆中,相等圆周角所对的弧也相等；一层推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； （ P66-5, 7、P68-16 ）楼9、确定圆的条件 ：懂得确定一个圆必需的具备两个条件：圆心和半径,圆心打算圆的位置,半径打算圆的大小；经过一点可以作很多个圆,经过两点也可以作很多个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上；经过三点作圆要分两种情形：1 经过同始终线上的三点不能作圆；2 经过不
19、在同始终线上的三点,能且仅能作一个圆；定理：不在同始终线上的三个点确定一个圆；10、 1 三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆, 这个三角形叫做圆的内接三角形；（ P69-4,5 、 P70-15）2 三角形的 外心 ：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；3 三角形的外心的性质：三角形外心到三顶点的距离相等；11、直线和圆的位置关系：（ P72-3,5）(1) 相交 ：直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线；(2) 相切 ：直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点；(3) 相离 ：
20、直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离；(4) 直线与圆的位置关系的 数量特点 ：设 O的半径为 r,圆心 O到直线的距离为 d,就 dr 直线 L和 O相交； d=r 直线 L和 O相切； dr 直线 L和 O相离；12、 切线的总判定定理 ：经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线 ；切线的 性质定理 ：圆的切线垂直于过切点的半径；推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；结论 ：假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个,就可推出第三个；5第 5 页,共 7 页垂直于切线；过切点；过圆心；（ P73-13、 P74-3、 P7
21、5-14）13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的叫做圆的 外切三角形 ；内切圆 ,内切圆的圆心叫做三角形的内心 ,这个三角形三角形 内心的性质 ：1 三角形的内心到三边的距离相等；2 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角；由此性质引出一条重要的帮助线：连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个名内角；（ P77-2、 P78-14 ）师AB归题 15：如图,PA 是 O 的切线,割线 PBC 与 O 相交于点 B、C,PA 6、PB 4 就 BC 纳AC结总的值为；| 大肚有容, 容学习图 5困难14、 两圆的位置关系：（ P79-6、P81-13）之1外离 ： 两个圆没有公共点,并且
22、每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆外离；事,2外切 ： 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,每个圆上的点都在另一个圆的外学业部时,叫做这两个圆外切；这个惟一的公共点叫做切点；成有3相交 ： 两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆相交；更,4内切 ： 两个圆有惟一的公共点,并且除了这个公共点以外,一个圆上的都在另一个圆的内部上时,叫做这两个圆内切；这个惟一的公共点叫做切点；一层5内含 ： 两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含；楼两圆同心是两圆内的一个特例；(6) 两圆位置关系的 性质与判定 ：1两圆外离 dR+r ；2 两圆外切 d=R+
23、r ；3 两圆相交R- rdR+rRr； 4两圆内切 d=R-rRr ；5 两圆内含 dr；(7) 相切两圆的性质：假如两个圆相切,那么切点肯定在连心线上；(8) 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦；题 16： 已知 A 是 O 上的一点, A 与 O 相交于点 C、D , O 的弦 AB 交 CD 于点 E,AE 2、EB 6求： A 的半径长（证 EAD DAB ）第 8 页,共 7 页15、 圆周长公式 ：圆周长 C=2R R表示圆的半径 ；圆的面积公式 ： S=图 62RR 表示圆的半径 ；弧长公式： 2nR/360R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数；（ P82-
24、6） 扇形 定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形；（ P82-9、 P84-1、 P85-8）扇形的面积公式：扇形的面积 =nR2 /360R 表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数 ；弓形 定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形；弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高；16、 圆锥 ：可以看作是一个直角三角形围着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面；圆锥的侧面绽开图与侧面积运算：圆锥的侧面绽开图是一个扇形 ,这个扇形的半径是圆锥侧面6的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点；假如设圆锥底
25、面半径为r,侧面母线长 扇形半径 是l,底面圆周长 扇形弧长 为c,那么它的 侧面积是： S=cl/2=2 rl/3= ；rl总面积 =侧面积 +底面积；（ P87-7, 9, 11）题 17： 圆柱的高为 10cm,底面半径为 6cm,就该圆柱的侧面积为；名17、如四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形 ,这个圆叫做这个四边形归师的外接圆 ；圆内接四边形的 特点 ： 圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于纳它的内错角；总结18、 切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条|切线的夹角；肚大19、和圆有关的比例线段：有
26、 相交弦定理 ：圆内的两条弦相交,被交点分成的两条线段长的积相等；容,推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；容学20、 切割线定理 ：习从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；困难推论：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等；之事21、 两圆连心线 的性质：,学假如两圆相切,那么切点肯定在连心线上,或者说,连心线过切点；有业假如两圆相交,那么连心线垂直平分两圆的公共弦；（ P91-7、 P92-14）成,更第四章 统计与概率（ P94-10、 P97-7、 P100-7,8）上一层楼7