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1、专题五：图形与证明孙法光一、考点综述考点内容：1.了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；2.掌握平行线的性质定理和判定定理；3.全等和相似三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理；4.掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；5.掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；6.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理；7.与圆有关的性质和定理考纲要求：1. 基本概念、 三角形、 四边形与特殊四边形等知识是推理论证的对象，要求能进行较严格的推理证明；题目以“证明”形式存在；2. 圆中的切线要求会证明
2、；4. 会用相似形或全等的知识证明或求解线段与角度的计算问题. 5. 会用解直角三角形的知识求解实际问题. 6. 能用圆心角、 圆周角换算与计算，能求解弧长与扇形面积；会求圆柱与圆锥的表面积；能解决圆与解直角三角形的结合问题. 7. 能用反证法证明简单的文字问题. 考查方式及分值：本部分的内容多以解答或证明说理的形式出现，中考压轴的题目往往是这部分多种知识的综合，所占分值比重比较高约占30% 左右。备考策略：本部分知识是中考的重点，在复习时必须首先要掌握好各种定理和性质，能熟练记住，再进一步强化训练，立足于课本，要一题多解、举一反三。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
3、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 二、例题精析例 1 如图 1， 已知点D在ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F（1）求证：AEDF；（2）若AD平分BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由解题思路： 本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握证明： （1）DEAC，ADEDAF，同理DAEFDAADDA，ADEDAF，AEDF（2）若AD平分BAC，四边形AEDF是菱形DEAC，DFAB，四边形AEDF是平行四边形，FADEAD，AFDF，
4、平行四边形AEDF为菱形规律总结： 三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等，此类题起点低， 注重基础知识及基本技能的考查，考查了同学们最基本的几何推理证明能力例 2如图2，AB是O的直径，C是O上一点，过圆心O作ODAC，D为垂足，E是BC上一点，G是DE的中点，OG的延长线交BC于F（1） 图中线段OD、BC所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；（2）猜想线段BEEFFC，三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程解题思路： 平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想OD BC ，再利用圆的有关概念及性质得证解： （1）结论：ODB
5、C证明：AB是O的直径，C是O上一点，90ACB，即BCAC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 又ODAC，ODBC（2）结论：EFBEFC证明：ODAC，AD=DC又O为AB的中点，OD是ABC的中位线BC=2OD在ODG与EFG中，DG=EG，GOD=GFE，ODG=FEG，ODGFEGOD=EF22BEEFFCBCODEFEFBEFC规律总结 ：为了使同学们对推理论证的必要性有更深刻的理解，新课程中的逻辑推理常在探究、猜想的前
6、提下进行本题就采用了这种方式该题主要考查了直径与圆周角、垂直于弦的直径等概念之间的联系例 3如图，已知O的直径 AB 2，直线 m与O 相切于点 A，P为O 上一动点（与点A、点 B不重合）， PO的延长线与O相交于点 C，过点 C的切线与直线m相交于点 D（1）求证： APC COD （2）设 AP x，OD y，试用含x的代数式表示y（3）试探索x为何值时， ACD 是一个等边三角形解题思路： 运用圆的切线的性质、三角形的相似的判定和性质解析： （1）PC是O的直径，CD是O的切线PACOCD90，显然DOADOCDOADOCAPCCODAPCCOD（2）由APCCOD，得APOCPCOD
7、12xy，2yx（3）若ACD是一个等边三角形，则6030ADCODC，于是2ODOC，可得2y，1x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 故，当1x时，ACD是一个等边三角形规律总结： 认真审题，根据题目所给的条件充分利用图形的性质及判定。例 4如图 ,C为线段BD上一动点 , 分别过点B、D作ABBD,EDBD, 连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8, 设CD=x. (1) 用含 x 的代数式表示ACCE的长；(2)
8、请问点 C满足什么条件时,ACCE的值最小 ? (3) 根据 (2) 中的规律和结论, 请构图求出代数式9)12(422xx的最小值 . 解题思路： 代数知识与几何知识结合在一起，在直角三角形中利用勾股定理，注意运用两点之间线段最短。解析 : (1)125)8(22xx (2)当A、C、E三点共线时 ,AC+CE的值最小 (3)如下图所示 , 作BD=12, 过点B作ABBD,过点D作EDBD, 使AB=2,ED=3, 连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式9)12(422xx的最小值 . 过点A作AFBD交ED的延长线于点F, 得矩形ABDF, 则AB=DF=2,AF=BD=8. 所以 A
9、E=22)23(12=13 即9)12(422xx的最小值为13. 规律总结： 用代数的方法来解决几何问题，是我们常用的方法，在没有给出未知量的情况下，巧妙的设未知数。例 5如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点（不与点B重合），连结AD，作BEAD，垂足为E，连结CE，过点E作EFCE，交BD于F（1）求证：BFFD；（2）A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说明理由；E D C B A F E D C B A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4
10、页，共 10 页 - - - - - - - - - - （3）A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件14DGDA，并说明理由解题思路： 根据题目的条件，注意角度之间的相等，三角形中位线的定理的运用，梯形的判定的运用。解析： （1）在RtAEB中，ACBC，12CEAB，CBCE，CEBCBE90CEFCBF，BEFEBF，EFBF90BEFFED，90EBDEDB，FEDEDFEFFDBFFD（2）由（ 1）BFFD，而BCCA，CFAD，即AECF若ACEF，则ACEF，BCBFBABD，45A当045A或4590A时，四边形ACFE为梯形（3）作GHBD，垂足为H，则GHAB
11、14DGDA，14DHDB又F为BD中点，H为DF的中点GH为DF的中垂线GDFGFD点G在EDh 上，EFDGFD180EFDFDEDEF，180GFDFDEDEFA B C D F E M A B C D F E M G H 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 3180EDF60EDF又90AEDF，3090A当3090A时，DE上存在点G，满足条件14DGDA规律总结： 探索在什么条件下结论成立，可以从结论出发，根据已知，充分
12、利用图形的性质或判定，同时注意题目中的数量关系。三、综合训练一、选择题1下列说法中错误的是 ( ) A、一组对边平行且有一组对角相等的四边形是平行四边形B、四边都相等的四边形是菱形C、四个角都相等的四边形是矩形D、对角线互相垂直的平行四边形是正方形2下列四边形等腰梯形，正方形，矩形，菱形的对角线一定相等的是（）A、 B 、 C 、 D 、3如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，下列结论：OAOC；BADBCD；ACBD；BADABC180中，正确的个数有（）A、1 B、2 C、3 D、4 4如图 AB为 O的直径， AC交 O于 E点，BC交 O于 D点，CD=BD ， C=70
13、现给出以下四个结论： A=45； AC=AB ：AEBE； CE AB=2BD2其中正确结论的序号是（）A B C D5. 如图 , 已知 O的半径为 1.AB 与 O相切于点 A,OB 与 O交于点 C, CD OA,垂足为 D,则 cosAOB 的值等于A.OD B.OA C.CD D.AB C A D B O (第 3 题图 ) ODCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 第7题图OC B A二、填空题1如图，在口 ABCD
14、中， ABC的角平分线BE交 AD于 E点, AB=5 ，ED=3 ，则口 ABCD的周长为 . 2在菱形 ABCD 中， AC=16 ，BD=12 ，则菱形的高是_。3. 菱形的周长为20cm,一条对角线长为6cm ，则这个菱形的面积是_cm2 4. 如图，已知 O的直径 AB=8cm ，C为O上的一点， BAC=30 ，则 BC=_cm. 5已知菱形的周长为8 5，面积为16，则这个菱形较短的对角线长为6如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在 x 轴、y 轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A的位置上若OB=5，21OCBC，求点 A的坐标为
15、 _三、解答题1如图，在ABC与ABD中，BCBD设点E是BC的中点，点F是BD的中点（1）请你在图中作出点E和点F；( 要求用尺规作图, 保留作图痕迹 , 不写作法与证明）（2）连接AE，AF若ABCABD，请你证明ABEABF2如图， O的半径OD经过弦AB( 不是直径 ) 的中点C，过AB的延长线上一点P作O的切线PE，E为切点，PEOD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K（1）求证：四边形OCPE是矩形；（2）求证：HKHG；（3）若EF2，FO1，求KE的长xyOACBAD A E C B DABCPEDKHGCABFO精品资料 - - - 欢迎下载 - -
16、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 3如图，在RtABC中，ABAC，P是边AB（含端点）上的动点过P作BC的垂线PR，R为垂足，PRB的平分线与AB相交于点S，在线段 RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上（1）ABC与SBR是否相似，说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3）设边AB1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值TPSREABCF精品资料 -
17、- - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 答案一、选择题1.D 2. A 3. C 4.C 5.A 二、填空题1. 26 2. 9.6 3. 24 4. 4cm 5. 4 6. (35，45) 三、解答题1. 解： (1) 能看到“分别以B，C为圆心，适当长为半径画弧，两弧交于点M、N，连接MN，交BC于E”的痕迹，能看到用同样的方法“作出另一点F( 或以B为圆心，BE为半径画弧交BD于点F) ”的痕迹 . (2) BCBD，E，F分别是BC，BD的中
18、点，BEBF，(4 分) ABAB，ABCABD, ABEABF. 2. 解： (1) ACBC，AB不是直径，ODAB，PCO90PEOD, P90，PE是切线，PEO90，四边形OCPE是矩形 . (2) OGOD, OGDODG. PEOD, KODG. OGDHGK, KHGK, HKHG.(5分) (3) EF2，OF1, EODO3. PEOD，KEODOE，KODG. OFDEFK，(7 分) EFOFKEOD21, KE6. 3. 解： (1) RS是直角PRB的平分线，PRSBRS45. 在ABC与SBR中，CBRS45，B是公共角，ABCSBR.(1分) (图 1) TPS
19、REABCF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - (2) 线段TS的长度与PA相等. 四边形PTEF是正方形，PFPT，SPTFPA180TPF90, 在 RtPFA中，PFAFPA90, PFA TPS，RtPAFRtTSP，PATS. 当点P运动到使得T与R重合时，这时PFA与TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PATS. 由以上可知，线段ST的长度与PA相等 . (3) 由题意，RS是等腰 RtPRB的底边PB上的高，PS
20、BS, BSPSPA 1, PS 12PA. 设PA的长为x，易知AF=PS，则yPF2PA2PS2, 得yx2(12x)2, 即y2511424xx，(5 分) 根据二次函数的性质，当x15时，y有最小值为15. 如图 2，当点P运动使得T与R重合时，PATS为最大 . 易证等腰 RtPAF等腰 RtPSR等腰 RtBSR，PA13. 如图 3，当P与A重合时，得x0. x的取值范围是0 x13. 当x的值由 0 增大到15时，y的值由14减小到15当x的值由15增大到13时，y的值由15增大到29. 152914，在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是15，y的最大值是14. (图 2) 图 3) (T)PSREABCF(T)(P)SE(R)ABCF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -