2022年二次函数学案 .pdf

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1、这 就 是 回 答 最值的标准格式。第 1 课时二次函数的概念一、学习准备1函数的定义： 在某个变化过程中，有两个变量x 和 y，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称是的函数，其中是自变量，是因变量。2一次函数的关系式为y= (其中 k、b 是常数， 且 k0 )；正比例函数的关系式为y(其中 k 是的常数 )；反比例函数的关系式为y= (k 是的常数 )。二、解读教材 数学知识源于生活3某果园有100 棵橙子树，每一棵树平均结600 个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵

2、树就会少结5 个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有棵橙子树，这时平均每棵树结个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么 y= 。4如果你到银行存款100 元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后 , 银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y( 元) 的表达式 (不考虑利息税 ) 吗？。5能否根据刚才推导出的式子y=-5x2+100 x+60000 和 y=100 x2+200 x+100 猜想出二次函数的定义及一般形式吗？一般地，形如yax2+bx+c(a，b，c 是常数， a0) 的函数叫做x 的二次函数。 它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几

3、遍。例 1 下列函数中，哪些是二次函数？(1)2321xy(2)112xy(3)xy222(4)251tts(5)22)3(xxy(6)210 rs即时练习 ：下列函数中，哪些是二次函数？(1)2xy(2)252132xxy(3)1(xxy(4)1132）（xy(5)caxy2(6)12xs三、挖掘教材6对二次函数定义的深刻理解及运用例 2 若函数1232kxxykk是二次函数，求k 的值。分析： x 的最高次数等于2，即 k2-3k+2=2，求出 k 的值即可。解：即时练习 ：若函数1) 3(232kxxkykk是二次函数，则k 的值为。四、反思小结1我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二

4、次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。2定义： 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数， a0) 的函数叫做x 的二次函数。3二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数， a0) 的几种不同表示形式：(1) y=ax2 (a0)；(2) y=ax2+c (a0且 c0) ；(3) y=ax2+bx (a0且 b0) 。4二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_，且 _项系数不为 _的整式。第 2 课时二次函数 yax2的图象与性质一、学习准备1正比例函数y=kx(k 0)是图像是。2一次函数y=kx+b(k 0)的图像是。3反比列函数y=kx(k

5、 0) 的图像是。4当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是：，。二、解读教材5试作出二次函数yx2的图象。（1）画出图象： 列表：（注意选择适当的x 值，并计算出相应的y 值）x ,yx2,描点：（在右图坐标系中描点）连线：（应注意用 光滑的曲线 连接各点）（2）根据图像，进行小结：yx2的图像是，且开口方向是。它是对称图像， 对称轴是轴。在对称轴的左侧 （x0） ,y 随 x 的增大而；在对称轴的右侧 （x0 x0) y=ax2(a0 时，y 随 x 的增大而增大，求m 的值。分析：函数102mmmxy的图象是抛物线，则它是二次函数，所以m2+m-10=2，

6、且 m 0 ；当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，所以m0。解：由题意得：02102mmm解得：043mmm或又当 x0 时， y 随 x 的增大而增大，所以m0。 m=3 10已知抛物线y=ax2经过点 A（-2，-8） ， （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点 B（-1，- 4）是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标。四、反思小结二次函数的yax2（a0 ）的图象与性质：五个方面理解：，。第 3 课时二次函数 yax2+k 的图象与性质【学习过程】一、学习准备1画出两条抛物线的草图并填空。二、解读教材2用描点法 作出二次函数y2x2+1 的图像。x ,

7、0 ,y2x2+1 ,小结： y2x2+1 的图像是，且开口向。对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧， y 随 x 的增大而；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而。顶点是： ( ， )，且从图像看它有最点，则函数y 有最值，即当 x= 时 y 有最值是。3在同一直角坐标系中，作出二次函数y-x2，y-x2+2，y-x2-2 的图像。小结：抛物线 yax2+k 的开口方向由决定，当时，开口向上；当时，开口向下。对称轴是， 当 a0时， 在对称轴左侧， y 随 x 的增大而， 在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而。且函数 y 当 x=0 时 ymin=。当 a0 时，y 随 x 的

8、增大而。当 x= 时， y 有最值为。三、挖掘教材 - 抛物线 yax2+k 可以由抛物线yax2经过向上（ k0）或向下 (k0）或向(k0) y=ax2(a0) y=ax2+k (a0，则开口向上，而对称轴122bxa。 则大致图象是：即时练习：在右边空白处画出函数y=x2+n 的大致图象。变式训练：画出函数y=x2+mx+3 的大致图象。三、巩固训练：作出下列函数的大致图象232yxx244yxx221yx1122yxx第 8 课时根据抛物线得到二次函数系数信息【学习过程】一、学习准备二次函数20yaxbxc a中，它的顶点坐标式可写为：_，对称轴是，顶点坐标是，还可以写为：，其中对称轴

9、是 _，顶点坐标是。二、典例示范例 1 已知函数2yaxbxc的图象如图所示，13x为该图象的对称轴，根据图象信息，你能得到关于系数abc、 、的一些什么结论？解：由图可得：a0；1c0；123ba，即23ab，由可得b0；又2ba1 而 a0 则得b2a， 2a+b0；由得abc0；考虑1x时y0，所以有abc0；考虑1x时y0，所以有abc0；考虑2x时y0，所以有42abc0，同理2x时，42abc0；图象与 x 轴有两个交点，所以24bac0。例 2 如图是二次函数2yaxbxc图像的一部分，图像过点A3,0，对称轴1x，给出四个结论：2b4ac，20ab，0abc，5ab，其中正确的

10、结论是（）A、B、C、D、分析：由图象可以知道a0；抛物线与x 轴有两个交点，oxy1234-1-2-3-41-1-2-3-4234对称轴在 y 轴的左边a、b同号，对称轴在y 轴的右边，a、b异号“左同右异”精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - oxyx=-11y1ox3oxyoxy124bac0，即2b4ac；又对称轴1x，即12ba，2ab，b0；20ab，a、b均为负数，5ab；当1x时，抛物线有最高点，abc0；综上，正确的

11、是，故选B。例 3 如图所示的抛物线是二次函数223yaxxa的图象，那么a的值是 _。分析：由图象可知：a0；当0 x时1y，即21a，1a，但是a0，故1a。三、巩固训练1抛物线2yaxbxc如图所示，则（）A、a0，b0，c0 B、a0，b0，c0 C、a0，b0，c0 D、a0，b0，c0 2已知二次函数2yaxbxc的图像如图所示，下列结论中正确的个数是（）abc0，abc0，abc0，2baA、4 个B、3 个C、2 个D、1 个3已知函数22yxxc的部分图像如图所示，则c 0，当 x_时， y 随 x 的增大而减小。4已知一次函数yaxb的图像过点2,1， 则关于抛物线23ya

12、xbx的三条叙述： 过定点2,1；对称轴可以是1x；当a0 时，其顶点的纵坐标的最小值为3，其中正确叙述的个数是（）A、0 B、1 C、2 D、3 5已知二次函数20yaxbxc a的图象如图所示，当y0 时， x 的取值范围是（）A、 1x3 B、x3 C、x-1 D、x3 或 x-1 6抛物线cbxaxy2的图象与x 轴的一个交点是2,0，顶点是1,3，下列说法中不正确的是（）A、抛物线的对称轴是1xB、抛物线开口向下C、抛物线与 x 轴的另一个交点是2,0D、当1x时， y 有最大值是3 7已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A、223yxxB、223yxxC、223

13、yxxD、223yxx8在直角坐标系中画一个二次函数y=ax2+bx+c 的图象，且满足b0，c0 B、a+b+cab-ac D、4ac-b20 12若二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则直线y=abx+c 不经过象限。第 9 课时求二次函数的解析式（一）一、学习准备 ：1已知一次函数经过点（1，2） ， （-1，0） ，则一次函数的解析式为。2二次函数的一般式为，二次函数的顶点式，二次函数的两根式（或交点式）为。二、方法探究（一） 已知三点，用一般式求函数的表达式。3例 1 二次函数的图象经过（0，2） ， （1，1） ， （3，5）三点，求二次函数的解析式。4即时练习已知抛物线

14、经过A（-1，0） ，B（1，0） ，C（0，1）三点，求二次函数的解析式。三、方法探究（二） 已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求出函数的解析式。5例 2 已知抛物线的顶点坐标为（-2，3） ，且经过点（ -1，7） ，求函数的解析式。解：设抛物线的解析式为2()ya xhk。把顶点（ 2，3） ,即 h=-2 , k=3 代入表达式为2(2)3ya x再把（ 1，7）代入上式为27(12 )3a解得4a所以函数解析式为24(2)3yx即241619yxx6即时练习（1）抛物线经过点（0， 8） ，当1x时，函数有最小值为9，求抛物线的解析式。（2）已知二次函数2()ya xhk，

15、当2x时，函数有最大值2，其过点 (0，2)，求这个二次函数的解析式。四、方法探究（三）已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求出函数的解析式。7例 3 已知抛物线经过（1，0） ， （3，0） ，且过（ 2，6）三点，求二次函数的表达式。解：设抛物线的解析式为12()()ya xxxx把抛物线经过的（1，0） ， （3，0）两点代入上式为：(1)(3)ya xxx y O x y O 1 -1 x y O 1 x y O x y O -1 3 x y O 1 -2 -1 1 2 3 -3 y X O -1 3 第 1 题第 2 题第 3 题第 5 题第 6 题第 10题第 11题第 1

16、2题第 9 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 再把（ 2，6）带入上式为6(21)(3)ax解得2a所以函数的解析式为2(1)(3)yxx即2246yxx8即时练习已知抛物线经过A（-2，0） ，B（4，0） ，C(0，3)，求二次函数的解析式。五、反思小结求二次函数解析式的方法1已知三点，求二次函数解析式的步骤是什么？2用顶点式求二次函数的解题思路是：已知顶点及一点或对称轴或函数的最值，用顶点式求解析式比较简单。3用两根式求二

17、次函数的解题思路是：已知两根及一点或对称轴或函数的最值，用两根式求解析式比较简单。【达标测评】 求下列二次函数的解析式：1图象过点（ 1，0） 、 （0，-2 ）和（ 2，3） 。2当 x=2 时， y最大值=3，且过点（ 1，-3） 。3图象与 x 轴交点的横坐标分别为2 和-4 ，且过点 (1 ，-10) 第 10课时求二次函数的解析式（二）一、 学习准备1函数的表示方式有三种：法，法，法。2二次函数的表达式有：、，。二、典型例题用适当的方法求出二次函数的表达式3例 1 已知抛物线2(0)yaxbxc a与 x 轴的两个交点的横坐标是1，3，顶点坐标是（ 1， 2） ，求函数的解析式（用三

18、种方法）4即时练习： 用适当的方法求出二次函数的解析式。一条抛物线的形状与2yx相同，且对称轴是直线12x，与 y 轴交于点（ 0，1） ，求抛物线的解析式。5例 2 已知如图，抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为A(-1,0)，与 y 轴的正半轴交于点C。直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；当点 CO=3时，求抛物线的解析式。6即时练习： 已知直线 y=2x-4 与抛物线y=ax2+bx+c 的图象相交于A（-2，m） ，B(n，2)两点，且抛物线以直线x=3 为对称轴，求抛物线的解析式。三、反思小结求二次函数解析式的方法1已知三点或三对x、y 的对应值，通常用2

19、(0)yaxbxc a。2已知图象的顶点或对称轴，通常用2()(0)ya xhk a。3已知图象与x 轴的交点坐标，通常用12()()(0)ya xxxxa。四、巩固训练1已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0) ，该二次函数的图象与x 轴交于 A、B 两点，其中A 点的坐标为 (4,0) 。（1）求 B 点的坐标（2）求这个二次函数的关系式；2如图，在平面直角坐标系中，直线33yx与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线22 3(0)3yaxxc a经过ABC， ，三点。（1）求过ABC， ，三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标。（2）在抛物线上是否存在点P，使ABP为直角三角形，若存在，直接

20、写出P点坐标；若不存在，请说明理由。第 11 课时利用二次函数求最大利润【学习过程】一、学习准备1二次函数y=ax2+bx+c 的图像是一条 _，它的对称轴是直线x=ab2，顶点是 _。2二次函数y=-2x2+3x-1 的图象开口 _，所以函数有最_值，即当 x= 时， ymax =_。A O x y B F C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - TMHGFECBA二、解读教材3例 1 某商经营 T 恤衫， 已知成批购买时的单价是

21、5 元。根据市场调查， 销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内， 单价是 15 元时，销售量是 500 件，而单价每降低1 元，就可以多售200 件。问销售价是多少时，可以获利最多？分析： 若设销售单价为x(x 15)元，所获利润为y 元，则：(1)销售量可以表示为_；(2)销售额可以表示为_；(3)销售成本可以表示为_；(4)所获利润可表示为y=_。解：设根据题意得关系式：y=_，即 y= 。a= 0，则当 x=-ab2时，y( )= ；若 a0，则当 x= 时， y( )= 。2在二次函数y=2x2-8x+9 中当 x= 时，函数 y 有最值等于。3如图， 在边 BC 长为 20cm，

22、高 AM 为 16cm 的 ABC 内接矩形 EFGH ，并且它的一边FG 在ABC 的边 BC 上，E、F 分别在 AB 、AC 上，若设 EF 为 xcm，请用 x 的代数式表示EH。解：矩形EFGH， EHBC AEH_。又 BC 上的高 AM 交 EH 于 T。AMAT=_，即1616x=_。EH= 。二、解读教材4在上题图中，若要使矩形EFGH 获得最大面积，那么它的长和宽各是多少？最大面积是多少？解：设矩形面积为y，而 EF=x，EH= ，则 y= = 。a= -450 则 y有最 _值。当 x=_时，则 y最大值=_。此时 EH= 。答：。5想一想： 活动 4 通过设 EH 为

23、xcm 能解决问题吗？（试一试吧！）注意自变量范围哟！这是一个二级图形哟！公式：全高上高下底上底利用相似三角形性质和矩形面积公式列出二次函数， 应用其性质解决。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - xDECBA6即时练习 ： （1）在 Rt的内部作内接矩形ABCD ，其中 AB 和 AD 分别在两条直角边上，点C 在斜边上。设矩形 ABCD 的边 AB x m，那么 AD 边的长度如何表示？设矩形的面积为y m2，当 x 取何值时，

24、y 的值最大？最大值是多少？解：（2）将（ 1）题变式： 其它条件和图形都不变，设AD 边的长为 x m，则问题又怎样解决呢？解：三、挖掘教材：7在 RtQMN 的内部作内接矩形ABCD ，点 A 和 D 分别在两直角边上，BC 在斜边 MN 上。设矩形的边BC=xm ，则 AB 边的长度如何表示？设矩形的面积为ym2，当 x 取何值时， y 的最大值是多少 ? 8即时练习如图，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角C=120 ，两腰与下底AD 的和为 4m。当水渠深（ x）为何值时，横断面积（S）最大？最大值为多少？解：四、反思小结：通过学习上节和本节解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题

25、的基本思路吗？我认为解决此类问题的基本思路是：。【训练提高】1用 48m 长的竹篱笆围建一矩形养鸡场，养鸡场一面用砖砌成，另三面用竹篱笆围成，并且在与砖墙相对的一面开2m 宽的门 (不用篱笆 )，问养鸡场的边长为多少m 时，养鸡场占地面积最大?最大面积是多少? 2正方形 ABCD 边长 5cm，等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点 B、C、Q、R 在同一直线l 上，当 C、Q 两点重合时，等腰 PQR以 1cm/s 的速度沿直线l 向左方向开始匀速运动，ts 后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：(1)当 t=3s 时，求 S 的值；(2)当 t=3s 时

26、，求 S 的值；(3)当 5st8s 时，求 S 与 t 的函数关系式，并求S 的最大值。第 13 课时专题复习 二次函数与几何一、学习准备1写出二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的对称轴，顶点坐标。2谈一谈二次函数y=ax2+bx+c(a 0)与 x 轴的交点个数的情况：。3二次函数y=ax2+bx+c(a 0)与 y 轴的交点是。二、专题讲练例 1 如图，等腰直角三角形ABC 以 2 米/秒的速度沿直线m 向正方向移动，直到AB 和 CD 重合，设 x 秒时三角形与正方形重叠部分的面积为 y 平方米，其中正方形的边长等于AB 且为 10 米。(1)写出 y 与 x 的关系表达式。(2)

27、当 x=2，3，4 时， y 分别是多少？(3)当重叠部分面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多少时间？分析： 在运动变化过程中，两个变量的关系可用函数表达式来描述，最终用函数知识来解决。例 2抛物线y=x2+bx 与 x 轴交于 A、B 两点，顶点坐标为P。(1)证明 ABP 一定是等腰三角形。(2)当 b 取何值时 , ABP 是直角三角形？(3)当 b 取何值时 , ABP 是等边三角形？例 3如图，已知二次函数y-mx2+4m 的顶点坐标为 (0，2)，矩形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴上， A、D 两点在抛物线上，矩形ABCD 在抛物线与 x 轴所围成的图形内。(1)求二次

28、函数的解析式。(2)设 A 坐标为 (x，y)，试求矩形ABCD 的周长 P 关于自变量 x 的函数解析式，并求出自变量x 的取值范围。40m30mDNOABCMM A P B y A D B C m D A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 【达标测评】1如图所示，二次函数y=x2-4x+3 的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，则 ABC 面积为：（）A 、6 B、4 C、3 D、1 2如图所示，抛物线yx2

29、+bx+c 与 x 轴只有一个公共点P，与 y 轴的交点为Q，过点 Q 的直线 y2x+m 与 x 轴交于点 A，与这条抛物线交于另一点 B，若 SBPQ3SAPQ，求这个二次函数解析式。3已知在 ABC 中， BC=20，高 AD=16 ，内接矩形EFGH 的顶点 E、F 在 BC 上， G、H 分别在 AC、AB 上，求内接矩形EFGH 的最大面积。4某学校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组面，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的路径A 、B 间，按相同的间距0.2m用 5 根立柱加固 ,拱高 OC 为 0.6m， 以为原点 , OC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,根据以上

30、的数据， 则一段栅栏所需立柱的总长度(精确到 0.1m) 。5如图，二次函数yax2+bx+c 的图象与 x 轴交与点 A 和 B，与 y 轴交于点 C，若 AC=20 ，BC=15 ，ACB=90 o，求这个二次函数的解析式。6已知二次函数图象的顶点坐标C（1，0） ，直线 yx+m 与该二次函数的图象交于A，B 两点，其中 A 点的坐标为（ 3，4） ，B 点在 y 轴上。（1）求 m 的值及这个二次函数的关系式。（2）P 为线段 AB 上的一个动点（点P与 A，B 不重合），过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为 h，点 P 的横坐标为 x，求 h 与

31、 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。（3）D 为直线 AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时 P 点的坐标，若不存在，请说明理由。B A x O C y B A C D P x E y O H A G C F D E B x O A B y C x A B C O 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -