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1、二次函数中考压轴题精选1.（2012 浙江湖州3 分）如图，已知点A（4，0） ，O 为坐标原点， P 是线段 OA 上任意一点（不含端点O，A） ，过 P、O 两点的二次函数y1和过 P、A 两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线 OB 与 AC 相交于点D当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于【】A5B453C3 D4 2 （2012 浙江义乌 3 分） 如图，已知抛物线y1=2x2+2，直线 y2=2x+2，当 x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y1、 y2 若 y1y2， 取 y1、 y2中的较小值记为M； 若 y1=y2， 记 M=y1=
2、y2 例如：当 x=1 时， y1=0，y2=4，y1y2，此时 M=0 下列判断：当 x0时， y1y2；当 x 0 时， x 值越大， M 值越小；使得 M 大于 2 的 x 值不存在；使得 M=1 的 x 值是或其中正确的是【】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - ABCD【答案】 D。【考点】 二次函数的图象和性质。【分析】 当 x0 时，利用函数图象可以得出y2y1。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线 y2=2x+2，
3、当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为y1、y2，若 y1y2，取 y1、y2中的较小值记为M。当 x0 时，根据函数图象可以得出x 值越大， M 值越大。此判断错误。抛物线y1=2x2+2，直线 y2=2x+2 ，与 y 轴交点坐标为： （0，2） ，当 x=0 时，M=2 ，抛物线 y1=2x2+2，最大值为2，故 M 大于 2 的 x 值不存在；此判断正确。 使得 M=1 时，若 y1=2x2+2=1，解得： x1=22，x2=22；若 y2=2x+2=1 ，解得： x=12。由图象可得出：当x=220，此时对应y1=M 。抛物线y1=2x2+2 与 x 轴交点坐标为： （1，0）
4、 ， （ 1，0） ，当 1x0，此时对应y2=M ，M=1 时，x=22或 x=12。此判断正确。因此正确的有：。故选D。3. （2012 浙江衢州12 分） 如图，把两个全等的RtAOB 和 RtCOD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上已知点A（1，2） ，过 A、C 两点的直线分别交x轴、 y 轴于点 E、F抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - -
5、- - - - - - （2）点 P为线段 OC 上一个动点， 过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若 AOB 沿 AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合） ， AOB 在平移过程中与 COD 重叠部分面积记为S试探究 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【答案】 解： （1）抛物线y=ax2+bx+c 经过点 O， c=0。又抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、C，a+b=24a+2b=1，解得3a=2
6、7b=2。抛物线解析式为237y=x +x22。（2）设点 P 的横坐标为t，PNCD， OPN OCD，可得 PN=t2。P（t，t2） 。点 M 在抛物线上，M（t，237t +t22） 。如图 1，过 M 点作 MGAB 于 G，过 P 点作 PHAB 于 H，AG=yAyM=2223737t +t =tt+22222，BH=PN=t2。当 AG=BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 237
7、ttt+2=222，化简得 3t28t+4=0 。解得 t1=2（不合题意，舍去） ， t2=23，点 P 的坐标为（2133，） 。存在点 P（2133，） ，使得四边形ABPM 为等腰梯形。（3）如图 2，AOB 沿 AC 方向平移至 AO B，AB交 x 轴于 T，交 OC 于 Q，AO 交 x 轴于 K，交 OC 于 R。由 A、C 的坐标可求得过A、C 的直线为yAC=x+3 设点 A 的横坐标为a，则点 A （a， a+3） ，易知 OQT OCD，可得 QT=a2。点 Q 的坐标为（ a，23） 。设 AB 与 OC 相交于点 J，ARQ AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，
8、HTA Q=OBAJ。13aaA Q2HT=OB=1=2a1AJ22。KT=12AT=12（3a） ，AQ=yAyQ=（ a+3）a2=332a。S四边形RKTQ=SAKTSARQ=12KT?AT12A Q?HT221 3a131331333a3aa+2 =a +a=a+2222224228。120，在线段 AC 上存在点 A （3322，） ，能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为38。【考点】 二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系， 二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。精品资料 - - -
9、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 【分析】（1）抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t 的值，从而可解。结论：存在点P（2133，） ，使得四边形ABPM 为等腰梯形。（3）求出得重叠部分面积S 的表达式，然后利用二次函数的极值求得S 的最大值。4. （2012 浙江绍兴 12 分）把一边长为40cm 的正方形硬纸板，进
10、行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。【答案】 解： （1）设剪掉的正方形
11、的边长为xcm。则（402x）2=484，解得1x31（不合题意，舍去） ，29x。剪掉的正方形的边长为9cm。侧面积有最大值。设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则 y 与 x 的函数关系为：22y4(402x)x8x160 x8(x10)800，x=10 时， y最大=800。即当剪掉的正方形的边长为10cm 时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - （2）在如图的一种剪裁图
12、中，设剪掉的正方形的边长为xcm。则2(402 )(20)2 (20)2 (402 )550 xxxxxx，解得：135x（不合题意，舍去） ，215x。剪掉的正方形的边长为15cm。此时长方体盒子的长为15cm，宽为 10cm，高为 5cm。【考点】 二次函数的应用，一元二次方程的应用。【分析】（1）假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（402x）2=484，求出即可假设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则 y 与 x 的函数关系为：y=4（40-2x）x，利用二次函数最值求出即可。（2）假设剪掉的正方形的边长为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2
13、，得出等式方程求出即可。5 （2012 浙江绍兴 14 分） 如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，连接AC ，抛物线2yx4x2经过 A，B 两点。（1）求 A 点坐标及线段AB 的长；（2）若点 P由点 A 出发以每秒1 个单位的速度沿AB 边向点 B 移动， 1 秒后点 Q 也由点 A出发以每秒7 个单位的速度沿AO ，OC，CB 边向点 B 移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P 的移动时间为t 秒。当 PQAC 时，求 t 的值；当 PQAC 时，对于抛物线对称轴上一点H， HOQ POQ，求点 H 的纵坐标的取值范围。【答案】 解： （1）由抛物线2yx4x2知：当
14、x=0 时， y= 2， A（ 0， 2） 。四边形 OABC 是矩形， ABx 轴，即 A、B 的纵坐标相同。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 当 y=2 时，22x4x2，解得12x0 x4，。 B（4， 2） 。AB=4 。（2）由题意知： A 点移动路程为AP=t ，Q 点移动路程为7（t1）=7 t 7。当 Q 点在 OA 上时，即07t72，91t7时，如图 1，若 PQAC，则有 RtQAPRtABC 。QAAP=A
15、BBC，即7t7t42，解得7t5。7957，此时 t 值不合题意。当 Q 点在 OC 上时，即27t76，913t77时，如图 2，过 Q 点作 QDAB。 AD=OQ=7 （t1） 2=7t9。DP=t（7t9）=96t。若 PQAC，则有 RtQDPRtABC ，QADP=ABBC，即296t44，解得4t3。9413737，4t3符合题意。当 Q 点在 BC 上时，即67t78，1315t77时，如图 3，若 PQAC，过 Q 点作 QG AC，则 QGPG，即 GQP=90 。QPB90 ，这与 QPB 的内角和为180 矛盾，此时 PQ 不与 AC 垂直。综上所述，当4t3时，有
16、PQAC。当 PQAC 时，如图 4， BPQ BAC ，BPBQ=BABC，4t87(t1)42，解得 t=2。即当 t=2 时， PQAC。此时 AP=2，BQ=CQ=1 。P（2，2） ， Q（4，1） 。抛物线对称轴的解析式为x=2，当 H1为对称轴与OP 的交点时，有H1OQ=POQ，当 yH 2 时， HOQ POQ。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 作 P 点关于 OQ 的对称点 P ，连接 PP 交 OQ 于点 M
17、，过 P 作 PN 垂直于对称轴，垂足为N，连接 OP ，在 RtOCQ 中， OC=4，CQ=1。 OQ=17，SOPQ=S四边形ABCDSAOPSCOQSQBP=3=12OQ PM，PM=6 1717。 PP =2PM=12 1717。NPP =COQ。RtCOQ Rt NPP 。CQOQOC=NPPPPN，即1174=P NPN12 1717，解得12PN17，48PN17。P （46 1417 17，） 。直线OP 的解析式为7yx23。OP 与 NP 的交点 H2（2，1423） 。当H14y23时， HOPPOQ。综上所述，当Hy2或H14y23时， HOQ POQ。【考点】 二次
18、函数综合题，曲线图上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，对称的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，将x=0 代入即可得A 点坐标；由于四边形OABC 是矩形，那么 A、B 纵坐标相同，代入该纵坐标可求出B 点坐标，则AB 长可求。（2）Q 点的位置可分：在OA 上、在 OC 上、在 CB 上 三段来分析，若PQAC时，很显然前两种情况符合要求，首先确定这三段上t 的取值范围， 然后通过相似三角形（或构建相似三角形） ，利用比例线段来求出t 的值，然后由t 的取值范围将不合题意的值舍去。当 PQAC 时， BPQ BAC ，通过比例线段求出t 的值以及P
19、、Q 点的坐标，可判定P 点在抛物线的对称轴上，若P、H1重合，此时有H1OQ=POQ。若作P点关于 OQ 的对称点 P ，OP 与 NP 的交点 H2，亦可得到 H2OQ=POQ，而题目要求的是HOQ POQ，那么 H1点以下、 H2点以上的 H 点都是符合要求的。6. （2012 浙江台州12 分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 时间 t（
20、秒）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 行驶距离 s（米）0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 （1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s 与 t 之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当 t 分别为 t1，t2（t1t2）时，对应s 的值分别为s1，s2，请比较11st与22st的大小，并解释比较结果的实际意义【答案】解： （1）描点图所示：（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2 bt c，抛物线经过点（0，0） ，c=0。又由点（ 0.2， 2.8） ， （1，10
21、）可得：0.04a+0.2b=2.8a+b=10，解得：a=5b=15。经检验，其余各点均在s=5t2+15t 上。二次函数的解析式为：2s5t15t。（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。22345s5t15t=5 t24，当 t=32时，滑行距离最大，为454。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 因此，刹车后汽车行驶了454米才停止。2s5t15t，22111222s5t15ts5t15t，。22111222121
22、122s5t15ts5t15t=5t15=5t15tttt，。t1t2，12122112ss=5t155t15 =5 tt0tt。1212sstt。其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】（1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法， 由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（4）求出11st与22st，用差值法比较大小。7. （2012 浙江温州 14 分）如图，经过原点的抛物
23、线2yx2mx(m0)与 x 轴的另一个交点为A.过点P(1,m)作直线PMx轴于点 M ，交抛物线于点B.记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C 不重合） .连结 CB,CP。（1）当m3时，求点 A 的坐标及 BC 的长；（2）当m1时，连结 CA，问m为何值时 CACP？（3）过点 P作 PEPC 且 PE=PC，问是否存在m，使得点 E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并写出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，
24、共 16 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解： （1）当 m=3 时， y=x26x。令 y=0 得x26x=0 ，解得， x1=0，x2=6。 A（6，0） 。当 x=1 时，y=5。B（1，5） 。抛物线 y=x26x 的对称轴为直线x=3，且 B，C 关于对称轴对称，BC=4 。（2）过点 C 作 CHx 轴于点 H（如图 1）由已知得， ACP= BCH=90 ， ACH= PCB。又 AHC= PBC=90 ， AGH PCB。AHPBCHBC。抛物线 y=x22mx 的对称轴为直线x=m，其中 m1，且 B，C 关于对称轴对称，BC=2 （m1） 。B（1，2
25、m1） ， P（1，m） ， BP=m1。又A（2m，0） ，C（2m1，2m1） ， H（2m1，0） 。AH=1 ，CH=2m 1，1m12m12 m1，解得 m=32。（3）存在。 B，C 不重合， m 1。（I）当 m1 时， BC=2 （m1） ，PM=m ，BP=m1，（i）若点 E 在 x 轴上（如图1） ，CPE=90 ， MPE+BPC=MPE+ MEP=90 ，PC=EP。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - B
26、PC MEP， BC=PM ，即 2（m-1）=m，解得 m=2。此时点 E 的坐标是（ 2，0） 。（ii）若点 E 在 y 轴上（如图2） ，过点 P 作 PNy 轴于点 N，易证 BPC NPE，BP=NP=OM=1 ，即 m1=1，解得， m=2。此时点 E 的坐标是（ 0，4） 。（II）当 0m1 时， BC=2 （1m） ，PM=m ，BP=1m，（i）若点 E 在 x 轴上（如图3） ，易证 BPC MEP，BC=PM ，即 2（1m）=m，解得， m=23。此时点 E 的坐标是（43，0） 。（ii）若点 E 在 y 轴上（如图4） ，过点 P 作 PNy 轴于点 N，易证
27、BPC NPE，BP=NP=OM=1 ，即 1m=1， m=0（舍去）。综上所述，当m=2 时，点 E 的坐标是（ 0， 2）或（ 0，4） ，当 m=23时，点 E 的坐标是（43，0） 。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）把 m=3，代入抛物线的解析式，令y=0 解方程，得到的非0 解即为和x 轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC 的长。（2）过点 C 作 CHx 轴于点 H（如图 1）由已知得 ACP= BCH=90 ，利用已知条件证明AGH PCB，根据相似的性质得到：A
28、HPBCHBC，再用含有m 的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m 的值。（3）存在。本题要分当m1 时， BC=2（ m-1） ，PM=m ，BP=m 1 和当 0m1时， BC=2（1m） ，PM=m ，BP=1m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m 值和相对应的点 E 坐标。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 8. （2012 浙江义乌 12 分）如图 1，已知直线 y=kx 与抛物线2422y=x +x27
29、3交于点 A（3，6） （1）求直线 y=kx 的解析式和线段OA 的长度；（2）点 P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合） ，交直线 OA 于点 Q，再过点Q 作直线 PM 的垂线，交y 轴于点 N试探究：线段QM与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合），点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE= BED= AOD 继续探究： m 在什么范围时，符合条件的E 点的个数分别是1 个、2 个？【答
30、案】 解： （1）把点 A（3，6）代入 y=kx 得；6=3k ，即 k=2。y=2x 。22OA3 +6 =3 5。（2）线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值，理由如下：如图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G，QHx 轴于点 H当 QH 与 QM 重合时，显然QG 与 QN 重合，此时QMQHQHtanAOM=2QNQGOH。当 QH 与 QM 不重合时，QNQM，QGQH 不妨设点 H， G 分别在 x、y轴的正半轴上， MQH= GQN。又 QHM= QGN=90 ， QHM QGN。QMQHQHtanAOM=2QNQGOH。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -
31、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 当点 P、Q 在抛物线和直线上不同位置时，同理可得QM=2QN。线段 QM 与线段 QN 的长度之比是一个定值。（3）如图 2，延长 AB 交 x 轴于点 F，过点 F 作FCOA 于点 C，过点 A 作 ARx 轴于点 R。AOD= BAE， AF=OF 。OC=AC=15OA=522。ARO= FCO=90 ， AOR= FOC，AOR FOC。OFAO3 55OCOR3。 OF=5155522。点 F（152， 0） 。设点 B （x
32、，2422x +x273） ， 过点 B 作 BK AR 于点 K， 则 AKB ARF 。BKAKFRAR，即24226x +xx32737.536。解得 x1=6，x2=3（舍去）。点 B（6，2） 。BK=6 3=3， AK=6 2=4。 AB=5。在ABE 与 OED 中， BAE= BED， ABE+ AEB= DEO+ AEB 。ABE= DEO。BAE= EOD， ABE OED。设 OE=x ，则 AE=3 5x （0 x3 5） ，由ABE OED 得AEODABOE，即3 5xm5x。22113 5139m=x 3 5x =x +x=x5+0 x3 5555524。顶点为3
33、9x524，。如图 3，当9m=4时，OE=x=352，此时 E 点有 1 个；当90m4时，任取一个m 的值都对应着两个x 值，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 此时 E 点有 2 个当9m=4时， E 点只有 1 个，当90m4时， E 点有 2 个。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质。【分析】（1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式，根据A
34、点坐标用勾股定理求出线段OA 的长度。（2） 如图 1，过点 Q 作 QGy 轴于点 G， QH x 轴于点 H， 构造相似三角形QHM与 QGN，将线段 QM 与线段 QN 的长度之比转化为相似三角形的相似比，即QMQHQHtanAOM=2QNQGOH为定值需要注意讨论点的位置不同时，这个结论依然成立。（3）由已知条件角的相等关系BAE= BED= AOD ，可以得到 ABE OED。在相似三角形ABE 与 OED 中，运用线段比例关系之前需要首先求出AB 的长度，如图2，可以通过构造相似三角形，或者利用一次函数 （直线） 的性质求得AB 的长度。 设 OE=x ，则由相似边的比例关系可以得
35、到m 关于 x 的表达式2139m=x5+524，这是一个二次函数借助此二次函数图象（如图3） ，可见 m 在不同取值范围时，x 的取值（即OE 的长度，或 E 点的位置）有1 个或 2 个。这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -