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1、解题方法及提分突破训练:换元法专题一真题链接1. (2011?恩施州) 解方程(x-1)2-5 (x-1)+4=0时,我们可以将x-1 看成一个整体, 设 x-1=y,则原方程可化为y2-5y+4=0,解得 y1=1,y2=4当 y=1 时,即 x-1=1,解得 x=2;当 y=4 时,即 x-1=4,解得 x=5,所以原方程的解为:x1=2,x2=5则利用这种方法求得方程(2x+5)2-4(2x+5)+3=0 的解为()Ax1=1,x2=3 Bx1=-2,x2=3Cx1=-3,x2=-1 Dx1=-1,x2=-2 2 (2005?温州)用换元法解方程(x2+x)2+(x2+x)=6 时,如果
2、设x2+x=y,那么原方程可变形为()Ay2+y-6=0 By2-y-6=0 Cy2-y+6=0 Dy2+y+6=0 3.(2005?兰州)已知实数x 满足的值是()A1 或-2 B-1 或 2 C1 D-2 4已知( x2+y2)2-(x2+y2)-12=0,则( x2+y2)的值是()二名词释义概念: 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元,所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。经验: 换元法,可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法,对
3、于一些较繁较难的数学问题,若能根据问题的特点,进行巧妙的换元,则可以收到事半功倍的效果,现举例说明. 详解: 换元法主要有双换元、整体换元、均值换元,倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。三典题事例1.整体换元例 1 分解因式:.16)4a3a)(2a3a(22解:设m2a3a2,则原式)4a3a)(6a3a()2m)(8m(16m6m16)6m(m222).1a)(4a)(6a3a(2评注:此题还可以设ma3a2,或m4a3a2,或m1a3a2。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换, 从而使原多项式的结构简化, 进而便于分解因式. 2双换元例 2 分解因式:).
4、ba)(ac(4)cb(2解:设qba,pac,两式相加,则).qp(cb原式.)a2cb()ba()ac()qp(pq4)qp(2222例 3 解方程组. 1106, 3106yxyxyxyx解:设myx6,nyx10. 原方程组可化为. 1, 3nmnm解得.2, 1nm精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - - . 210, 16yxyx即.20,6yxyx解得.7,13yx原方程组的解为.7,13yx而所谓双换元法,就是根据多项式的特
5、征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式,3.均值换元例 4 解方程组)2.(97177)1 ( ,1232yxyx解:由可设tx662,ty663,即tx33,ty22,代入,得.97)22(17)33(7tt2t. ,9233x.2222y原方程组的解为.2, 9yx说明:本题若按常规设法,可设tx62,ty63,此时23tx,32ty由于出现了分数,给运算带来麻烦,因此设tx662,ty663,此时tx33,ty22,没有出现分类,使运算变得简捷. 换元的作用:降次、化分式方程为整式方程、化繁为简。4. 系数对称方程换元例 5 解方程:分析:方程的系数相等,上面方程的系数是对称的,可
6、以通过变形后,换元:变形: ,设,得,可解出方程。5. 倒数换元例 6 分解因式.1a7a14a7a234解:原式222a1a714a7aama1a14m7)2m(a14a1a7a1aa22222设)12m7m(a22精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - - ).1a4a)(1a3a(4a1a3a1aa)4m)(3m(a2222四巩固强化:1.分解因式:.15)7a)(5a)(3a)(1a(2. 分解因式 :1)1(2)(2nmnm. 3.
7、 解方程:02772222xxxx;4.解方程:01742)2(322xxx. 5. 解方程 :3)4)(3)(2)(1(xxxx. 6. 解方程组 :.323,18yxyx7. 计算 : )2005131211)(200613121()200513121)(2006131211(8.解方程组)2.(1213343)1( , 04231yxyx9.解方程组.1106, 3106yxyxyxyx10.解方程组11.解方程组)2.(97177) 1( ,1232yxyx12. 解方程。 13 解方程。代入,求方程的解,并检验。五参考答案152223510523234yxyxyxyx精品资料 - -
8、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - - 真题链接答案:1.解: (2x+5)2-4(2x+5)+3=0,设 y=2x+5,方程可以变为y2-4y+3=0,y1=1,y2=3,当 y=1 时,即 2x+5=1,解得 x=-2;当 y=3 时,即 2x+5=3,解得 x=-1,所以原方程的解为:x1=-2, x2=-1故选 D2.解:把 x2+x 整体代换为y,y2+y=6,即 y2+y-6=0故选 A3. 4.解:设 x2+y2=t则由原方程,得t2-t-
9、12=0 ,( t+3) (t-4)=0,t+3=0 或 t-4=0,解得, t=-3 或 t=4;又 t0,t=4故选 B巩固强化答案:1.解:原式.15)15a8a)(7a8a(15)5a)(3a)(7a)(1a(22取“均值”,设.11a8a)15a8a()7a8a(21m222原式)1m)(1m(1m1516m15)4m)(4m(22).10a8a)(6a)(2a()10a8a)(12a8a(2222. 解:设ynm, 则原式 =1)1(22yy =1222yy =322yy =)1)(3(yy =)1)(3(nmnm. 3. 解: 原方程可化为 : 精品资料 - - - 欢迎下载 -
10、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - - 02)1(72)1(22xxxx . 设yxx1, 则方程化为 : 06722yy . 解方程 , 得23,221yy. 当21y时,21xx. 解得 ,21x. 当232y时, 231xx. 解得 ,21x或2x. 经检验 ,知211x,212x,213x,24x都是原方程的解. 所以 , 原方程的解为211x,212x,213x,24x. 4. 解:原方程可化为: 08742)74(322xxxx . 设yxx742, 则方程化
11、为 : 08232yy. 解方程 , 得34,221yy. 当21y时, 2742xx. 解得 ,3, 121xx. 当342y时, 34742xx. 此方程无解 . 经检验 ,知3, 121xx都是原方程的解. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - - 所以 , 原方程的解为3,121xx. 5. 解:原方程可化为 : 3)3)(2()4)(1(xxxx. 即3)65)(45(22xxxx. 设yxx552, 则方程化为 : 3) 1)(
12、1(yy. 解得 ,2y. 当2y时, 2552xx. 解方程 , 得2135x. 当2y时, 2552xx. 0, 方程无实数根. 因此, 原方程的根为2135,213521xx. 6. 解:设vyux2,3, 则原方程组可化为: .3,1722vuvu)2()1 (由(2) 得,vu3. (3) 将(3) 代入 (1), 得17)3(22vv. 解得,4, 121vv(2y不能为负 , 舍去 ). 4u. 得.12,43yx解得,.1,19yx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共
13、 8 页 - - - - - - - - - - 经检验 , 知119yx是原方程组的解. 所以, 原方程组的解为119yx. 7. 解:设x2006131211, 则原式 =)200611()20061)(1(xxxx =200620061200622xxxxxx =20061. 8. 解:由,得4231yx.设kyx4231,则13kx,24ky,代入,得12133244313kk.1k. 213x,224y. 原方程组的解是. 2, 2yx9. 解:设myx6,nyx10.原方程组可化为.1, 3nmnm解得.2, 1nm. 210, 16yxyx即.20, 6yxyx解得. 7,13y
14、x原方程组的解为.7,13yx10. 解:设原方程组可化为解得,解得11. 解:由可设tx662,ty663,即tx33,ty22,代入,得yxa231yxb5212152123yxyx.221,114yx1251034baba21ba精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - - .97)22(17)33(7tt2t. ,9233x.2222y原方程组的解为.2, 9yx12. 解:方程的分母都含有故可设,然后整理可得,解得中,求出方程的解,并检验。 13.解:方程变形为,即,方程可通过互为倒数关系换元:设,然后整理得,可解得,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -