2022年固体物理答案第三章晶格振动与晶体热学性质 .pdf

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1、第三章晶格振动与晶体热学性质习题1 原 子 质 量 为m, 间 距 为a, 恢 复 力 常 数 为的 一 维 简 单 晶 格 ， 频 率 为的 格 波)cos(qnatAun，求（1）该波的总能量，（2）每个原子的时间平均总能量。 解答 （1）格波的总能量为各原子能量的总和。其中第n 个原子的动能为,)(212tumn而该原子与第n+1 个原子之间的势能为21)(21nnuu若只为考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为,)(21)(21212nnnnnuutumE将)cos(pnatAun代入上式得,2sin) 12(21sin421)(sin22222221qaqantAqnatAmE设 T

2、为原子振动周期，利用21)(sin102dttTT可得dtqantTAdtqnatTAqaTnTn2221022210222sin12(sin14)(sin121 =241mA2N+2sin22qaNA. 式中 N为原子总数。（2）每个原子的时间平均总能量为2sinAA412222qamNE再利用色散关系2sin4)cos1(222qamqam便得到每个原子的时间平均能量2221AmNE2 一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编号，任一原子与两最近邻的间距不同, 力常数不同 , 分别为1和2，晶格常数为a, 求原子的运动方程及色散关系. 解答 图 3.2 一维双原子分子链此题实际是一双原子分

3、子链. 设相邻分子间两原子的力常数为2，间距为b; 一个分子内两原子力常数1; 晶格常数为a; 第 n-1,n,n+1,n+2个原子的位移分别为211,nnnnuuuu. 第 n-1 与第 n+1 个原子属精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 于同一原子 , 第 n 与 n+1 第个原子属于同一个原子, 于是第 n 和第 n+1 个原子受的力分别为)()(1112nnnnnuuuuf，)()(121211nnnnnuuuuf.其运动方

4、程分别为)()(111222nnnnnuuuudtudm)()(12121212nnnnnuuuudtudm设格波的解分别为tqnaitaqinAeAeun212)(tqnaitqbaqinBeAeBun212)(1.代入运动方程，得)()(122iqaBeAABAm.)()(212ABBAeBmiqa整理得0)()(,0)()(22122221BmAeBeAmiqaiqa由于A和B不可能同时为零。因此其系数行列式必定为零。即0)()()()(2211212221meemiqaiqa. 解上式可得2122212121212221212222122sin)(411)(2sin)(16422)(q

5、amqammmm由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色散关系为212221212122sin)(411)(qamA, 光学格波的色散关系为2122212121202sin)(411)(qam.3由正负离子构成的一维原子链，离子间距为a, 质量都为m,电荷交替变化，即第n 个离子的电荷neq) 1(. 原子间的互作用势是两种作用势之和，其一，近邻原子的短程作用, 力系数为，其二 , 所有离子间的库仑作用. 证明（1）库仑力对力常数的贡献为 2332) 1(apep. （2）色散关系132202)cos1() 1()21(sinpppqpaqa, 其中精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

6、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 3220,4aem.（3）475.0,qa时, 格波为软模。 解答 （1）设 离 子 链 沿 水 平 方 向 ， 第n 个 离 子 右 端 的 第n+p个离 子 与 第n 个 离 子 间 的 库 仑 力 为.)() 1() 1(22,npnnpnnpnuupaef上式右端加一负号，是我们规定坐标的正方向，指向右端，考虑到pauunpn,可将上式展成)(npnuu级数 , 取一级近似得pauupaefnpnpnpn)(21)()1(22,第

7、 n 个离子左端的第n-p个离子与第n 个离子间的库仑力为22,)() 1()1(pnnnpnnpnuupaef取一级近似得pauupaefpnnpnpn)(21)() 1(22,。第pn个离子和第pn个离子对第n个离子间的库仑作用合力为)2()1(2332,npnpnpnpnuuuapef可见库仑力对常数的贡献为333)1(2apep（2）第n个离子的运动方程为1,1_1)2(pnpnnnnnfuuudtdum设格波解,)(tqapnipnAeutqnainAeu,则由离子的运动方程得.)cos1()1(21sin4)cos1()()1(2)cos1(2)2()()1(21)2(133221

8、321322ppppiqaiqappiqaiqappqaaeqampqapaeqameepaemeem令3220,4aem，可得312202)cos1() 1(21sinpqpaqapp当qa，有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1301133333320218721)2(1121)12(121715131121mmmmmmmm记)3(113mm则有4)3(71202由此知，当475.0)3(74时，0由于格波的频率21，因此0说

9、明此振动模式对应的恢复力系数0， 相当于弹簧振子系统的弹簧丧失了弹性. 所以称0的振动模式为软模. 4. 证明一维单原子链的运动方程, 在长波近似下 , 可以化成弹性波方程22222xuvtu 解答 根据固体物理教程(3.4) 式, 第个原子的运动方程为)2(1122nnnnuuudtudm因为niqanniqanueuueu11所以第 n 个原子的运动方程化为niqaiqanueedtudm)2(22.在长波近似下 : 2)(211,0iqaiqaeqaiqa, 运动方程又化为nniqaiqanuqaueedtudm)()2(2222在长波近似下 , 当l为有限整数时 , 111010iql

10、aqnnqeimuuim上式说明 , 在长波近似下 ,邻近 ( 在半波长范围内 ) 的若干原子以相同的振幅, 相同的位相做集体运动, 因此 (1)式可统一写成lnlnuqadtudm)(2222.第二章中固体弹性理论所说的宏观的质点运动, 正是由这些原子的整体的运动所构成, 这些原子偏离子平衡位置的位移lnu,即是宏观上的质点位移u , 从宏观上看, 原子的位置可视为准连续的, 原子的分离aln)(可视为连续坐标x, 即uAeAeutqxitalnqin)()(1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

11、-第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 于是2212)(xuuqn,(2) 式化成22222xuvtu,其中mav,是用微观参数表示的弹性波的波速. 5. 设有一长度为L 的一价正负离子构成的一维晶格,正负离子间距为a,正负离子的质量分别为m和m,近邻两离子的互作用势为nrbreru2)(,式中 e 为电子电荷 ,b和n为参量常数 , 求(1)参数b与 e,n及a的关系 , (2)恢复力系数,(3)0q时的光学波的频率0,(4)长声学波的速度Av,假设光学支格波为一常数, 且0对光学支采用爱因斯坦近似, 对声学波采用德拜近似，求晶格热容。 解答 (1)若 只 计 及

12、 近 邻 离 子 的 互 作 用 , 平 衡 时 , 近 邻 两 离 子 的 互 作 用 势 以 取 极 小 值 , 即 要 求0)(ardrrdu.由此得到naebn 12.(2)恢复力系数3222)1()(anedrrudar.(3)光学波频率的一般表达式 参见固体物理教程(3.21) 式 21222121221202sin)(16)()(2)(qamMmMmmM.对于本题 ,aqa2,21,mm,mM.所以0q的光学波频率21320)1(2mmanmme.(4)由固体物理教程(3.25) 式可知 , 长声学波的频率qMmaA)(2121.对于本题qmmaA)(2。长声学波的速度)()1(

13、22mmaneqvAA。(5)按照爱因斯坦模型, 光学波的热振动能精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 1/000TkBeaLE.光学波对热容的贡献2/20) 1(TTEBVoEEeeTkaLdTdEC,其中E是爱因斯坦温度 , 其定义为BEk0按照德拜模型，声学波的模式密度AvLD)(.电学波的热振动能20/1)(TkvLedDEBATkADBATxDexdx/01.其中TkxB,BDDk,D和D分别为德拜频率和德拜温度，德拜频率D

14、可由下式DDADAvLdvLdDaL00)(求得avAD.声学波对热容的贡献TxxABTkAVADDBoedxexvTLkedDdTddTdEC/02220/) 1(1)(.TxxABDedxexvTLk/0222) 1(在高温情况下 ,xex1,上式化成TxxBVADedxexTLknemmaC/0222212) 1()1(2)(DBLknemma2212) 1(2)(.先求出高温时的AE,再求VAC更容易 . 在甚低温条件下 ,)/(TD, 解答 设原子的质量为M, 第n个原子对平衡位置的位移为nu第mn和第mn个原子对平衡位置的位移分别为mnu与mnu(m=1,2,3 )，则第mn和第m

15、n个原子对第n个原子的作用力为)2()()(,nmnmnmnmnmnmnmmnuuuuuuuf.第n个原子受力的总合为11,)2(mnmnmnmmmnnuuufF.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 因此第n个原子的运动方程为122)2(mnmnmnmnuuudtudM.将格波的试解)(tqnainAeu代入运动方程得12)2(miqmaiqmameeM11)cos(2mmqma122sin4mmqma.由此得格波的色散关系为122

16、2sin4mmqmaM.7采用德拜模型把晶体中的格波看成弹性波, 在三维晶体内任意传播方向可存在三支弹性波（两支横波，一支纵波），设波矢为q的第i支弹性波的波动方程为uqi,(r,t)=Aqi,cos(q?r-t). (1) 任一原子的位移是所有格波引起的位移的迭加，即u(r,t)=)cos(),(qi,qi,trqAtruqiqi.(2) 原子位移平方的长时间平均值),(),(),(q,i,qi,2trutrutruqiqi,qi,2,),(),(),(qqiiqiqiqitrutrutru.由于),(),(,trutruqiqi的数目非常大 , 为2N（N是原子总数）数量级，而且取正事负的

17、几率相等，因此上式对 (,qqii) 的求和项与对 (qi,) 的求和项相比是一小量，可以略去, 于是得),(2truqi,2,),(truqi由于),(,truqi为t的周期函数，其长时间平均值等于一个周期内的时间平均值，因此上式右边中的),(2tru可用),(2tru在一周期内的时间平均值代替，在绝对零度下，所有的热振动模式均未被激发，即只有零点振动 , 且一个频率为的零点振动的能量210E.弹性波),(,truqi动能的时间平均值为dtdttrdudrTTcVTqiqi02,),(211CvTqidttrqdrTA)(sin2022,22,241qicAV.式中是晶体质量密度 ,cV是其

18、体积 ,T为弹性波的振动周期. 由于动能与弹性势能的时间平均值相等，它们均为总能量的一半，所以有，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 41214102,2,EAVTqicqi.于是得到ccqiVVEA202,2.位移),(,truqi的平方的时间平均值为TqiqidttrqATtru022,2,)(cos1),(2,21qiA.由以上两式得ccqiVVEtru2),(202,.此为绝对零度下一个振动模动对原子位移均方值的贡献，将其代

19、入（3）式得qi,2,2,),(),(trutruqiqicV1qi,20EqicV,12.把上述求和化为对的积分，得DdEDVtrucqi002,)(1),(dDVDc0)(2.再将德拜模式密度32223)(pcvVD代入上式得Ddvtrupqi0322,43),(32283pDv.若晶体共有N个原子 , 则上式的德拜频率pcDvVN3126.8采用德拜模型，求出0T时原子的均方位移，并讨论高低温极限情况。 解答 在0T时，上题中的（ 3）式仍成立，即仍有duDtrutruDqiqi02qi,2,2,)()(),(),(但频率为的格波能量为1121)(/TkBeE.而其动能平均值为精品资料

20、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 112121)(21)(/TkBeET,动能)(T又可以表示为2241)(AVTc.由以上两式可得11212)(2/22TkccBeVVEA.频率为的格波所引起的原子的均方位移是1121)(21)(/222TkccBeVVEAu.由于（ 1）与上题中（ 6）式相似，可得所有格波引起的原子的均方位移，DdEvtrup0322)(23),(DBdevTkp0/32112123，再令TkxB，并利用BDDk，33

21、33361DBcpkNVv，得xdxekTVNtruTxDBcqiD)1121(9),(/03222,xdxekTMNTxDBD)1121(9/0322。式中cVM为晶体的总质量在高温情况下，xex1，xdxekTMNtruTxDBD)1121(9),(/03222322/032299DBTDBkTMNxdxxxkTMND。可见，在高温下，原子的均方位移与温度T的一次方或正比. 在甚低温条件下 ,)/(TD, 积分0/0)1121()1121(CxdxexdxexTxD是一常数，于是32229),(DBkTMCNtru,即在甚低温条件下，原子的均方位移与温度T的平方成正比 . 9求出一维简单格

22、的模式密度)(D. 解答 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 一维简单晶格的色散关系曲线如图 3 3 所示 , 由色散曲线的对称性可以看出, d区间对应两个同样大小的波矢区间dq.a2区间对应有aL个振动模式 , 单位波矢区间对应有2L个振动模式 ,d范围则包含dqLdqL22个振动模式 , 单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度, 根据这一定义可得模式密度为ddqL. 图 3.3 一维简单晶格的色散关系由色散关系得dqqamad

23、2cos21.得下式代入前式 , 得到模式密度2202212)2(sin11)(aLqamaLD.10. 设三维晶格一支光学波在q=0 附近, 色散关系为20)(Aqq,证明该长光学波的模式密度0210232,)(14)(AVDc. 解答 解答一 : 固体物理教程(3.117) 式可知 , 第支格波的模式密度, SqcdSVD3)2()(,其中S是第支格波的等频面, 因为已知光学波在q=0 附近的等频面是一球面Aqq2,所以ScdSAqVD21)2()(3223210234)(24)2(AVAqqVcc.解法二 : 考虑q空间中的无穷小间隔dq, 与此对应的频率间隔为d设)(),(qDD分别表

24、示单位频率间隔内和单位波矢间隔内的振动方式数, 由这两种间隔内所含的振动方式数相等得dqqqDdD24)()(.由固体物理教程(3.36) 式知3)2()(cVqD,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 及在q=0 附近AqdqdAq2,02.由以上诸式得21010312)2()2(4)(4)(AAAVdqdqqDDc0210232,)(14AVc.11. 设固体的熔点mT对应原子的振幅等于原子间距a的 10% 的振动 , 推证 ,

25、 对于一维简单晶体, 接近熔点时原子的振动频率21502MTkamB,其中M是原子质量 . 解答 当质量的的原子以频率及等于原子间距a的 10% 的振幅振动时, 由本章率1 题可知 , 其振动能为2222102121aMAME.在熔点mT时, 原子的能量可按能量均分定理处理, 即一个一维原子的平均能量为mBTk, 于是有mBTkaM221021,由此得21502MTkamB.12. 设 一 长 度 为L的 一 维 简 单 晶 格 , 原 子 质 量 为m间 距 为a, 原 子 间 的 互 作 用 势 可 表 示 成)cos()(aAaU.试由简谐近似求(1)色散关系 ; (2)模式密度)(D;

26、 (3)晶格热容 ( 列出积分表达式). 解答 (1)根据已知条件 , 可求得原子间的弹性恢复力系数202222aAdUddrUda.将上式代入固体物理教程一维简单晶格的(3.7) 式, 得到色散关系)2sin(0qa,其中2102mAa.(2)在本章第9 题, 我们曾求得一维简单晶格的模式密度, 在此 , 再对这一问题进行求解, 根据固体物理教程 （3.7 ）式知 , 一维简单晶格简正振动格波的色散关系为)2sin(2qam,此式表明为 q 的偶函数 , 设)(),(qDD分别表示单位频率间隔内和q空间中单位间隔的振动方式数,考虑到振动方式总数为原子总数N可得精品资料 - - - 欢迎下载

27、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - aaNdqqDdD)()(00,由)(qD为常数得aaNaqDdqqD2)()(因此2)(NaqD2)(NaqD.再由aadqqDdqdqdDdD000)(2)()(0得)(2)(qDdqdD,又212202120)(2)2sin(12)2cos(aqaaqamadqd,式中m20.由此得1212201)(2)(2)(aNadqdqDD21220)(12a.(3)频第为的格波的热振动能为1/TkBe.整个晶格的热振动能00/1

28、)(TkBedDE.则晶格的热容DBBTkTkBBVedeTkaLkdTdEC02202/212.13. 对一维简单格子,按德拜模型 , 求出晶格热容 , 并讨论高低温极限. 解答 按照德拜模型 , 格波的色散关系为vq.由图 3.4 色散曲线的对称性可以看出, d区间对应两个大小的波矢区间dq.a2区间对应有aL个振动模式 , 单位波矢区间对应有2L个振动模式 ,d范围则包含dqLdqLdz22个振动模式 , 单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度, 根据这一定义可得模式密度为vLddqLddzD)(. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

29、名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 图 3.4 一维简单格子德拜模型色散关系再利用00)(aLNdD,式中N为原子总数 ,a为晶格常数 , 得va0.根椐固体物理教程 （3.119 ）式得其热容量DBBTkTkBBVedDeTkkC02/21)(DBBTkTkBBedDeTkk02/21)(.作变量变换TkxB,得TxxBVDedxexvTLkC/0222) 1(,其中BDk0.在高温时 ,x是小量 , 上式中被积函数1)1(22xxeex因此 , 晶格的高温热容量BBVNkkaLC.在甚低温时 ,)/(TD.,V

30、C是的被积函数按二项式定理展成级数122222)1 () 1(nnxxxxxnexeexeex.则积分312) 1(212102022nnnxxxndxxneedxex,由此得到低温时晶格的热容量vTkLCBV32.14. 对二维简单格子,按德拜模型 , 求出晶格热容 , 并讨论高低温极限. 解答 德拜模型考虑的格波是弹性波, 波速为v的格波的色散关系是vq.在二维波矢空间内, 格波的等频线是一个个圆周 , 如图 3.5 所示, 在)(dqqq)(dqqq区间内波速为v的格波数目精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

31、- - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 2222)2(vdSqdqSdz,式中S是二维晶格的总面积, 由此可得波速为v的格波的模式密度22)(vSddzd. 图 3.5二维波矢空间考虑到二维介质有两支格波, 一支纵波 , 一支横波 , 所以 , 格波总的模式密度2)(pvSD,式中222112TLpvvv,其中Lv是纵波速度 ,Tv是横波速度 , 格波的振动能mBTkpevdSE0/221.晶格的热容量mBBTkTkBBpVedeTkkvSC02/221.积分上限m由下式NdvSdDmp2)(020求出 , 由此得到pmvSN214,式中N为原子个

32、数 , 作变量变换TkxB,晶格热容量TxxBpBVDedxexTkvSkC/02222)1(,其中BmDk.当温度较高时 ,xex1,TBDBpBxxBpBVDNkTTkvSkedxxeTkvSkC/02222232222)1(.可见德拜模型的高温热容与经典理论是一致的. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 当温度甚低时 ,)/(TD.积分)3(616) 1(13103023nnnxxxndxxneedxxe,则有2ATCV,式

33、中223)3(6pBvSkA.由此可见 , 在甚低温下 , 二维晶格的热容量与温度的平方成正比, 15. 试用德拜模型 , 求KT0时, 晶格的零点振动能. 解答 频率为的零点振动能为21, 因此 晶格总的零点振动能为DdDE00)(21.根据德拜模型 , 对三维晶体有 , 32223)(pcvVD,因此4320163mpcvVE.再利用DpcmvVN3126, BDDk,又可得DBmNkNE896163220.16. 对三维晶体 ,利用德拜模型 , 求(1)高温时D0范围内的声子总数, 并证明晶格热振动能与声子总数成正比. (2)甚低温时D0范围内的声子总数, 并证明晶格热容与声子总数成正比

34、. 解答 (1)频率为的格波的声子数11)(/TkBen.高温时TkeTkBTkBB1,0)(/,于是TknB)(.声子总数N为dDnND)()(0.对于德拜模型 , 模式密度32223)(pcvVD.则高温时声子总数TvVNpDc32223.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 可见 , 在高温时 , 声子总数与温度T成正比 . 高温时 , 晶格的热振动能TvkVvdTkVevdVEpDBcpBcTkpcDDB3303220/32

35、3223123.上式说明 , 在高温时 , 热振动能与温度T也成正比 , 因此在高温时晶格的热振动能与声子总数成正比. (2)声子总数DBDTkpcevdVdDnN0/3220123)()(.取变量变换TkxB,则在甚低温下303322320/322) 1(23123ATevdxxTkVevdVNxpBcTkpcDB,其中102332202332223123mmxpBcxpBcdxexvkVedxxvkVA3322133322)3(3223pBcmpBcvkVmvkV.由德拜定律可知, 在甚低温下固体比热与温度3T成正比 , 由此得到，在甚低温下固体比热与声子总数成正比. 17. 按德拜近似

36、,证明高温时的晶格热容220113TNkCDBV. 解答 由固体物理教程式(3.132) 可知TxxpBcVDedxxevTkVC/02433234)1(23.在 高 温 时 ,DT, 则 在 整 个 积 分 范 围 内x为 小 量 , 因 此 可 将 上 式 中 被 积 函 数 化 简 为121121)24()()1(2222234222424xxxxxxxeexexexxxx.将上式代入VC的表示式 ,得53332346013123TTvTkVCDDpBcV233323420113123TTvTkVDDpBc.将pcBBDDvVNkk31226精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

37、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 代入上式得220113TNkCDBv.18. 晶体的自由能可写成),()(2VTFVUF,若TTfFD2,求证TfTVVUPD)1(0,式中为格林爱森常数 解答 根据VFP,得TfVTVUVFVUPD2TfdVdTVUDDDTfnVdndVTVUDDDD11TfVTVUDDD.式中nVdndnVdndDD1111为格林爱森常数 , 再由TfTTTfDDDD1, TfTTfTDDDD1,得TfTTTfDDDD11.将此结果代入P的表示式 ,

38、便得TfTVVUPD10.19. 证明cDV,式中为格林爱森常数. 解答 由格林爱森常数的定义式nVdnd11,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 得nVdnd11.对确定的晶体 ,可视为常量 , 因此上式直接积分得CnVnc11,由此得cVC, cDVC .再利用德拜温度D的定义式BDDk,得cBDVkC .上式表明cDV.20. 证明vcVDCVdPnd1,其中P为压强 ,V为体膨胀系数 . 解答 由上题结果cBDVkC 可得

39、cDnVCn11 , KpVVdPndTccD)(11,式中TcVPVK为体积弹性模量 参见固体物理教程(2.11)再利用 (3.158)式cVVVCK,得VcVCVK.因此VcVDCVKdPnd1.21. 设某离子晶体中相邻两离子的互作用势能92)(rbrerU,b为待定常数 , 平衡间距mr10010*3, 求线膨胀系数L. 解答 根据固体物理教程 （3.148 ）式 , 线膨胀系数L可近似表示为20rkBL.式中022rdrUd,03321rdrUd.由平衡条件091002020rbredrdUr,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师

40、归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 得80291reb.于是3021103022289020rerbredrUdr, 4021204023352990621210rerbredrUdr.将以上结果及下列数据: cmr8010*3, 1010*806.4eCGSE, Bk=1.381*1016erg/K代入L的表示式 , 得21016820)10*806.4(*6410*381. 1*10*3*526452ekrBL)(10*46.115K.22. 证明晶体自由能的经典极限为iBiBTknTkVUF1)(. 解答 根据固

41、体物理教程式(3.153),晶体自由能为iTkBiBienTkVUF)1 (121)(/. iTkBiBBienTknTkVU)1(1211)(/.在经典极限时 ,iBTk,因而有021TkBi, TkeBiTkBi1/.将此两式代入F的表示式 , 便得iBiBTknTkVUF1)(.23. 按照爱因斯坦模型, 求出单原子晶体的熵, 并求出高低温极限情况下的表达式. 解答 由 固体物理教程式(3.153) 可知 , 晶体自由能为iTkBiBienTkVUF)1(121)(/.利用熵S与自由能F的关系VTFS,可得iTkTkBiBBiBieneTkkS)1(11/.设单原子晶体有N个原子 , 按

42、照爱因斯坦模型, 有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - - N3321,于是)1(11/3/TkTkBBBBeneTkNkS.再引入爱因斯坦特征温度E,即BEk,并作变量变换TTkxEB,则进一步得到)1(1/3/TTEBEEeneTNkS)1(113xxBenexNk在高温时 ,1x,11xex,xex1,可得EBEBBTnNkTnNknxNkS13113)11(3.甚低温是 ,1x,xxee1,11xe,可得TEBxBEeTNkx

43、eNkS/33.从高低温极限可以看出, 温度越低晶格系统的熵越小, 当温度趋于K0时, 晶格系统的熵趋于0. 这些结论与经典理论一致 . 其中022) 1(xxedxexC是一常数，晶格的热容VAVOVCCC. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - - -