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1、思致超越知行合一Page 1 of 17 让每一个学生超越老师！一元二次方程应用题经典题型汇总同学们知道，学习了一元二次方程的解法以后，就会经常遇到解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二次方程解应用题，不少同学遇到这类问题总是左右为难，难以下笔，事实上，同学们只要能认真地阅读题目，分析题意，并能学会分解题目，各个击破，从而找到已知的条件和未知问题，必要时可以通过画图、列表等方法来帮助我们理顺已知与未知之间的关系，找到一个或几个相等的式子，从而列出方程求解，同时还要及时地检验答案的正确性并作答.现就列一元二次方程解应用题中遇到的常见的十大典型题目，举例说明. 一、增长率问题例 1恒
2、利商厦九月份的销售额为200 万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营， 使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6 万元，求这两个月的平均增长率. 解设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200(1 20%)(1+ x)2193.6 ，即(1+ x)21.21，解这个方程，得x10.1，x2 2.1（舍去） . 答这两个月的平均增长率是10%. 说明这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个数据的意义，即可利用公式m(1+ x)2n 求解，其中mn.对于负的增长率问题，若经过两次相等下降后，则有公式m(1x)2n 即可
3、求解，其中mn. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 2 of 17 让每一个学生超越老师！二、商品定价例 2益群精品店以每件21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a 元，则可卖出（350 10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20% ，商店计划要盈利400 元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？解根据题意，得(a21)(350 10a)400 ，整理，得a256 a+7
4、75 0，解这个方程，得a125，a231. 因为 21(1+20%) 25.2，所以 a2=31 不合题意，舍去. 所以 350 10a350 1025100 （件） . 答需要进货100 件，每件商品应定价25 元. 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题，也是各种考试的热点. 三、储蓄问题例 3王红梅同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90% ，这样到期后，可得本金和利息共 530 元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）
5、解设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意，得1000(1+ x)500(1+0.9 x)530.整理，得90 x2+145 x30. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 3 of 17 让每一个学生超越老师！解这个方程，得x10.0204 2.04% ，x2 1.63.由于存款利率不能为负数，所以将x2 1.63 舍去 . 答第一次存款的年利率约是2.04%. 说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税
6、. 四、趣味问题例 4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4 米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2 米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为(x+0.1)m ，上口宽为 (x+0.1+1.4)m. 则根据题意，得12(x+0.1+x+1.4+0.1)x1.8，整理，得x2+0.8x1.80. 解这个方程，得x11.8（舍去）， x21. 所以 x+1.4+0.1 1+1.4+0.1 2.5. 答渠道的上口宽2.5m ，
7、渠深 1m. 说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 4 of 17 让每一个学生超越老师！五、古诗问题例 5读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解设周瑜逝世时的年龄的个位
8、数字为x，则十位数字为x3. 则根据题意，得x210( x3)+ x，即 x2-11x+30 0，解这个方程，得x5 或 x6. 当 x5 时，周瑜的年龄25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；当 x6 时，周瑜年龄为36 岁，完全符合题意. 答周瑜去世的年龄为36 岁. 说明本题虽然是一道古诗问题，但它涉及到数字和年龄问题，通过求解同学们应从中认真口味 . 六、象棋比赛例 6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2 分，输者记0 分.如果平局，两个选手各记1 分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -
9、 - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 5 of 17 让每一个学生超越老师！别是 1979 ，1980 ，1984 ，1985. 经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加 . 解设共有 n 个选手参加比赛，每个选手都要与(n1)个选手比赛一局，共计n(n1)局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为12n(n1)局.由于每局共计2 分， 所以全部选手得分总共为n(n1)分.显然 (n1)与 n 为相邻的自然数，容易验证，相邻两
10、自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，故总分不可能是1979 ，1984 ，1985 ，因此总分只能是1980 ，于是由 n(n1)1980 ，得 n2n1980 0，解得 n145，n2 44（舍去） . 答参加比赛的选手共有45 人. 说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题，都可以仿照些方法求解 . 七、情景对话例 7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1 对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000 元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游.因为 100
11、02525000 27000 ，所以员工人数一定超过25 人. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 6 of 17 让每一个学生超越老师！则根据题意，得1000 20( x25) x27000. 整理，得 x275 x+1350 0，解这个方程，得x145，x230. 当 x45 时， 1000 20( x25) 600 700，故舍去x1；当 x230 时， 1000 20( x25) 900 700 ，
12、符合题意 . 答：该单位这次共有30 名员工去天水湾风景区旅游. 说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中找出符合题意的结论. 八、等积变形图 1 如果人数超过25 人，每增加1人，人均旅游费用降低20 元，但人均旅游费用不得低于700如果人数不超过25 人，人均旅游费用为1000 元. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 7 of 17 让每一个学生超越老师！例 8将一块长
13、18 米，宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图 2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. （2）设计方案2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图2 中的小路的宽和图3 中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由. 解都能 .（1）设小路宽为x，则 18x+16xx223 18 15，即 x234 x+180 0，解这个方程，得x344362，即 x6.6. （2）设扇形半径为r，则 3.14r223 18 15，即 r257.32 ，所以 r7.6. 说明等积
14、变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式； 其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等. 图 2 QPCBA图 4 图 3 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 8 of 17 让每一个学生超越老师！九、动态几何问题例 9如图 4 所示，在 ABC中， C90 ，AC6cm，BC8cm，点 P 从点 A 出发沿边 AC向点 C以 1cm/s 的速度移动，点Q从 C 点出发沿CB边向点 B 以 2c
15、m/s 的速度移动. （1）如果 P、Q 同时出发，几秒钟后，可使PCQ的面积为8 平方厘米？（2）点 P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得PCQ的面积等于ABC的面积的一半 .若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由. 解因为 C90 ，所以 AB22ACBC226810 （cm）. （1）设 xs 后，可使 PCQ的面积为8cm2，所以APxcm，PC(6x)cm ，CQ 2xcm. 则根据题意，得12 (6x) 2x8.整理，得x26x+80，解这个方程，得x12，x24. 所以 P、Q同时出发， 2s 或 4s 后可使 PCQ的面积为8cm2. （2）设点 P 出发 x 秒后，
16、 PCQ的面积等于 ABC面积的一半 . 则根据题意，得12(6x) 2x1212 6 8.整理，得x26x+120. 由于此方程没有实数根，所以不存在使PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 9 of 17 让每一个学生超越老师！说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据路程速度时间. 十、梯子问题例 10一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，
17、梯子的底端距墙角6m. （1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？解依题意，梯子的顶端距墙角221068（m）. （1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2102，整理，得x2+12x150，解这个方程，得x11.14，x2 13.14 （舍去），所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m. （2）当梯子底端水平向外滑动1m 时，设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理，列方程
18、(8 x)2+(6+1)2100.整理，得 x216 x+130. 解这个方程，得x10.86，x215.14 （舍去） . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 10 of 17 让每一个学生超越老师！所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动xm 时，底端向外也滑动xm. 则根据勾股定理，列方程(8x)2+(6+ x)2102，整理，得2x24x0，解这个方程，得x
19、10（舍去）， x22. 所以梯子顶端向下滑动2m 时，底端向外也滑动2m. 说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三角形 . 十一、航海问题例 11如图 5 所示，我海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F 位于BC上且恰好处于小岛D 的正南方向， 一艘军舰从A 出发，经 B 到 C匀速巡航 一艘补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰. （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2
20、 倍，军舰在由 B 到 C的途中与补给船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1 海里）FEDCBA图 5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 11 of 17 让每一个学生超越老师！解 （1） F 位于 D 的正南方向， 则 DFBC.因为 ABBC， D 为 AC的中点，所以 DF12AB100 海里，所以，小岛D 与小岛 F 相距 100 海里 . （2） 设相遇时补给船航行了x
21、 海里，那么DEx 海里， AB+BE2x 海里， EFAB+BC(AB+BE)CF(300 2x)海里 . 在 RtDEF中，根据勾股定理可得方程x21002+(300 2x)2，整理，得3x21200 x+100000 0. 解这个方程，得x1200 10063118.4 ，x2200+10063（不合题意，舍去）. 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 海里 . 说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程. 十二、图表信息例 12如图 6 所示，正方形ABCD 的边长为12，划分成1212 个小正方形
22、格，将边长为 n（n 为整数，且 2n11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张 n n 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的n n 个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n1)( n1)个小正方形 .如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止 .请你认真观察思考后回答下列问题：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 12 of 17 让每一个学生超越老师！（1）
23、由于正方形纸片边长n 的取值不同，?完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：纸片的边长n2 3 4 5 6 使用的纸片张数（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为 S2. 当 n2 时，求 S1S2的值；是否存在使得S1S2的 n 值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由. 解（1）依题意可依次填表为：11、10 、9、8、7. （2）S1n2+(12 n) n2(n1)2 n2+25n12. 当 n2 时， S1 22+252 1234，S212 12 34 110. 所以 S1S234110 1755. 若 S1S2，则有 n2+25
24、n1212 122，即 n225 n+840，解这个方程，得n14，n221 （舍去） . 所以当 n4 时， S1S2.所以这样的n 值是存在的 . 图 6 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 13 of 17 让每一个学生超越老师！说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对于求解第（ 3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次方程是否有实数根来
25、加以判断. 十三、探索在在问题例 13将一条长为20cm 的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 . （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少 ? （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由. 解（ 1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20 x）cm. 则根据题意，得24x+2204x17，解得 x116 ，x24，当 x16 时， 20 x4，当 x4 时，20 x16，答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm 和 16cm. 精品资料 - - - 欢迎下载 - -
26、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 14 of 17 让每一个学生超越老师！（2）不能 .理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20y）cm.则由题意得24y+2204y12，整理，得y220y+104 0，移项并配方，得(y10)240，所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2. 说明本题的第（ 2）小问也可以运用求根公式中的b24ac 来判定 .若 b24ac0，方程有两个实数根，若b24ac0，方程没有实数根，
27、本题中的b24ac 160 即无解. 十四、平分几何图形的周长与面积问题例 14如图 7，在等腰梯形ABCD中， ABDC5，AD4，BC10.点 E?在下底边BC上，点 F 在腰 AB 上. （1）若 EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为 x，试用含x 的代数式表示BEF的面积；（2）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF 将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成12 的两部分？若存在，求此时BE 的长；若不存在，请说明理由. 解（1）由已知条件得，梯形周长为12 ，高 4，面积为28. 过点 F
28、 作 FGBC于 G，过点 A 作 AKBC于 K. FEDCBA图 7 K G 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 15 of 17 让每一个学生超越老师！则可得， FG125x4 ，所以 SBEF12BE FG25x2+245x（7x10 ）. （2）存在 .由（ 1）得25x2+245x14，解这个方程，得x17，x25（不合题意，舍去），所以存在线段EF 将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此
29、时BE7. （3）不存在 .假设存在，显然有S BEFS多边形AFECD12，即(BE+BF)(AF+AD+DC)12.则有25x2+165x283，整理，得 3x224x+700，此时的求根公式中的b24ac576840 0，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成12 的两部分 . 说明求解本题时应注意：一是要能正确确定x 的取值范围；二是在求得x25 时，并不属于7x10 ，应及时地舍去；三是处理第（3）个问题时的实质是利用一元二次方程来探索问题的存在性. 十五、利用图形探索规律例 15在如图 8 中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：精品资料
30、 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 16 of 17 让每一个学生超越老师！（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长1 3 5 7 n（奇数）黑色小正方形个数正方形边长2 4 6 8 n（偶数）黑色小正方形个数（2）在边长为n（n1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数 n，使 P25P1？若存在，请写出n 的值；若不存在，请说明理由 . 图 8 精品资料 - - -
31、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - - 思致超越知行合一Page 17 of 17 让每一个学生超越老师！解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、 n 时，黑色正方形的个数为 1、5、9、13、2n1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、 n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16 、2n（偶数） . （2）由（ 1）可知 n 为偶数时P12n，所以 P2n22n.根据题意，得n22n52n，即 n212n0，解得 n112，n20（不
32、合题意，舍去）.所以存在偶数n12 ，使得P25P1. 说明本题的第（ 2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从中找到数量关系，使问题获解. 综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - - -