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1、1阶段综合测评阶段综合测评(五五) 立体几何初步立体几何初步(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若 a，b 是异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是( )A相交 B异面C平行 D异面或相交D 根据空间两条直线的位置关系和基本性质 4 可知 c 与 b 异面或相交，但不可能平行2下列说法不正确的是( )A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有
2、且只有一个平面与已知平面垂直D A、B、C 显然正确易知当直线与平面垂直时，过这条直线有无数个平面与已知平面垂直选 D.3如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )A B C DC 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，即为梯形，且梯形一腰与底垂直4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)，高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是 ( )A16 B20C24 D322C 正四棱柱的底面积为 4，正四棱柱的底面的边长为 2，正四棱柱的底面的对角线为 2，正四棱柱的体对角线为 2.而球的直径等于正四棱柱的体对角26线，即 2R2，R，S球4
3、R224.665设 a、b 为两条直线，、 为两个平面，则正确的命题是( )A若 a，b，则 abB若 a，b，则 abC若 a，b，ab，则 D若 a，b，则 abD A 中，a、b 可以平行或异面；B 中，a、b 可以平行、相交或异面；C 中，、 可以平行或相交6已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m，n 满足 m，n，则( )Aml BmnCnl DmnC 利用线面垂直的性质进行分析l，l.n，nl.7如图所示，ADB 和ADC 都是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，且BAC60，下列说法中错误的是( )AAD平面 BDCBBD平面 ADCCDC平面 ABDDBC平面 ABD
4、D 由题可知，ADBD，ADDC，所以 AD平面 BDC，又ABD 与ADC 均为以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ABAC，BDDCAB.223又BAC60，所以ABC 为等边三角形，故 BCABBD，2所以BDC90，即 BDDC.所以 BD平面 ADC，同理 DC平面 ABD.所以 A、B、C 项均正确选 D.8.如图所示，在三棱锥 V-ABC 中，VABVACABC90，下列结论不正确的是( )A平面 VAC平面 ABCB平面 VAB平面 ABCC平面 VAC平面 VBCD平面 VAB平面 VBCC AVBA，VAAC，BAACA，VA平面 ABC，易知 A、B 正确，BCAB
5、，平面 VAB平面 ABCAB，BC平面 VAB，易知 D 正确，故选 C.9正六棱柱的底面边长为 2，最长的一条对角线长为 2，则它的表面积5为 ( )A4(34) B12(2)33C12(21) D3(8)33B 如图所示，正六棱柱的底面边长为 2，最长的一条对角线长为 2，则高5为 BB12.2 522 22S1222622122434312(2)310如图所示，正方体 ABCDABCD的棱长为 4，动点 E，F 在棱AB 上，且 EF2，动点 Q 在棱 DC上，则三棱锥 AEFQ 的体积( )4A与点 E，F 的位置前关B与点 Q 的位置有关C与点 E，F，Q 的位置都有关D与点 E，
6、F，Q 的位置均无关，是定值D 因为点 Q 到平面 AEF 的距离为正方体的棱长 4，A到 EF 的距离为正方体的棱长 4，所以 V三棱锥 AEFQV三棱锥 QAEF 244，是定1312163值，因此与点 E，F，Q 的位置均无关11已知平面 与平面 相交，直线 m，则( )A 内必存在直线与 m 平行，且存在直线与 m 垂直B 内不一定存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直C 内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直D 内必存在直线与 m 平行，不一定存在直线与 m 垂直C 作两个相交平面，交线为 n，使得直线 m，假设 内一定存在直线 a与 m 平行，因为 m，而
7、 am，所以直线 a，而 a，所以 ，这与平面 与平面 相交不一定垂直矛盾，所以 内不一定存在直线 a 与 m 平行，因为直线 m，n，又 n，所以 mn，所以在 内不一定存在直线与 m 平行，但必存在直线与 m 垂直，故选 C.12正方体 ABCDA1B1C1D1中，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H.以下结论中，错误的是( )A点 H 是A1BD 的垂心BAH平面 CB1D15CAH 的延长线经过点 C1DAHBB1D 因为 AH平面 A1BD，BD平面 A1BD，所以 BDAH.又 BDAA1，且 AHAA1A.所以 BD平面 AA1H.又 A1H平面 AA1H.所以 A1
8、HBD，同理可证 BHA1D，所以点 H 是A1BD 的垂心，A 正确因为平面 A1BD平面 CB1D1，所以 AH平面 CB1D1，B 正确易证 AC1平面 A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和 AH 重合故 C 正确因为 AA1BB1，AA1与 AH 显然不垂直，AH 与 BB1也不垂直，故 D 错误二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)13设平面 平面 ，A、C，B、D，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面 ， 之间，AS8，BS6，CS12，则 SD_.9 由面面平行的性质得 ACBD，解得 S
9、D9.ASBSCSSD14如图所示，四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 是 SA 上一点，当点 E 满足条件：_时，SC平面 EBD.6E 是 SA 的中点 当 E 是 SA 的中点时，连接 EB，ED，AC.设 AC 与 BD 的交点为 O，连接 EO.四边形 ABCD 是平行四边形，点 O 是 AC 的中点又 E 是 SA 的中点，OE 是SAC 的中位线OESC.SC平面 EBD，OE平面 EBD，SC平面 EBD.15一个正四面体木块如图所示，点 P 是棱 VA 的中点，过点 P 将木块锯开，使截面平行于棱 VB 和 AC，若木块的棱长为 a，则截面面积为_在平面
10、 VAC 内作直线 PDAC，交 VC 于 D，在平面 VBA 内作直线a24PFVB，交 AB 于 F，过点 D 作直线 DEVB，交 BC 于 E，连接 EF.PFDE，P，D，E，F 四点共面，且平面 PDEF 与 VB 和 AC 都平行，7则四边形 PDEF 为边长为 的正方形，故其面积为.a2a2416已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，点E、F 分别是棱 PC、PD 的中点，则棱 AB 与 PD 所在直线垂直；平面 PBC 与平面 ABCD 垂直；PCD 的面积大于PAB 的面积；直线 AE 与直线 BF 是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确
11、结论的序号) (图略)由条件可得 AB平面 PAD，ABPD，故正确；若平面 PBC平面 ABCD，由 PBBC，得 PB平面 ABCD，从而 PAPB，这是不可能的，故错；SPCD CDPD，SPAB ABPA，1212由 ABCD，PDPA 知正确；由 E、F 分别是棱 PC、PD 的中点，可得 EFCD，又 ABCD，EFAB，故 AE 与 BF 共面，错三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)如图所示，已知ABC 中，ACB90，SA平面 ABC，ADSC，求证：AD平面 SBC.证明 ACB90，BCAC.又SA
12、平面 ABC，8SABC，SAACA，BC平面 SAC，BCAD.又SCAD，SCBCC，AD平面 SBC.18(本小题满分 12 分)将如图的矩形 ABMD 沿 CD 翻折后构成一四棱锥MABCD(如图)，若在四棱锥 MABCD 中有 MA.3 (1)求证：ACMD；(2)求四棱锥 MABCD 的体积解 (1)如图，连接 AC.在MAD 中，MA，MD1，AD2，3所以 MA2MD2AD2，所以 MDMA，又因为 MDMC，MCAMM，所以 MD平面 MAC，所以 ACMD.(2)取 CD 的中点 F，连接 MF，在ACD 中，CDAC，AD2，2所以 AC2CD2AD2，所以 ACCD，由
13、(1)可知 MD平面 MAC，所以 ACMD，所以 AC平面 MCD，所以 ACMF，在MCD 中，MCMD1，所以 MFCD，MF，22所以 MF平面 ABCD，9所以 VMABCD S四边形 ABCDMF .131312 12 1222419(本小题满分 12 分)如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO底面 ABCD，底面边长为 a，E 是 PC 的中点(1)求证：PA平面 BDE；(2)平面 PAC平面 BDE.解 (1)证明：连接 OE，如图所示O、E 分别为 AC、PC 的中点，OEPA.OE平面 BDE，PA平面 BDE，PA平面 BDE.(2)PO平面 ABCD，
14、POBD.在正方形 ABCD 中，BDAC，又POACO，BD平面 PAC.又BD平面 BDE，平面 PAC平面 BDE.20(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD；10(2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为 ，求83该四棱锥的侧面积解 (1)证明：由已知BAPCDP90，得 ABAP，CDPD.由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)如图，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E.由(1)知，AB平面 P
15、AD，故 ABPE，ABAD，可得 PE平面 ABCD.设 ABx，则由已知可得ADx，PEx.222故四棱锥 PABCD 的体积VPABCD ABADPE x3.1313由题设得 x3 ，故 x2.1383从而结合已知可得 PAPDABDC2，ADBC2，PBPC2.22可得四棱锥 PABCD 的侧面积为PAPD PAAB PDDC BC2sin 6062.12121212321.(本小题满分 12 分)如图所示，三棱锥 ABCD 中，BCD90，BCCD1，AB平面 BCD，ADB60，E，F 分别是 AC，AD 上的动点，且(01)AEACAFAD11(1)求证：不论 为何值，总有平面
16、BEF平面 ABC；(2)当 为何值时，平面 BEF平面 ACD.解 (1)证明：AB平面 BCD，ABCD.CDBC，且 ABBCB，CD平面 ABC.又(01)，AEACAFAD不论 为何值，恒有 EFCD，EF平面 ABC，EF平面 BEF，不论 为何值，恒有平面 BEF平面 ABC.(2)由(1)知，BEEF，平面 BEF平面 ACD，平面 BEF平面ACDEF，BE平面 BEF.BE平面 ACD，BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，BD，ABtan 60，226AC.AB2BC27由 AB2AEAC，得 AE，67 .AEAC67故当 时，平面 BEF平面 ACD.6722
17、(本小题满分 12 分)如图所示，三棱台 DEFABC 中，AB2DE，G，H分别为 AC，BC 的中点12(1)求证：BD平面 FGH；(2)若 CFBC，ABBC，求证：平面 BCD平面 EGH.解 (1)法一：连接 DG，CD，设 CDGFM，连接 MH.在三棱台DEFABC 中，AB2DE，G 为 AC 的中点，可得 DFGC，DFGC，所以四边形 DFCG 为平行四边形，则 M 为 CD 的中点又 H 为 BC 的中点，所以 MHBD.又 MH平面 FGH，BD平面 FGH，所以 BD平面 FGH.法二：在三棱台 DEFABC 中，由 BC2EF，H 为 BC 的中点，可得BHEF，
18、BHEF，所以四边形 BHFE 为平行四边形，可得 BEHF.在ABC 中，G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点，所以 GHAB.又 GHHFH，ABBEB，所以平面 FGH平面 ABED.因为 BD平面 ABED，所以 BD平面 FGH.(2)连接 HE.因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点，所以 GHAB.由 ABBC，得 GHBC.又 H 为 BC 的中点，所以 EFHC，EFHC，13因此四边形 EFCH 是平行四边形所以 CFHE.又 CFBC，所以 HEBC.又 HE，GH平面 EGH，HEGHH，所以 BC平面 EGH.又 BC平面 BCD，所以平面 BCD平面 EGH.