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1、第二课时图形的测量第二课时图形的测量知识要点梳理1. 平面图形的周长与面积周长：封闭图形一周的长度。面积：物体表面或封闭图形的大小是它的面积。2. 立体图形的表面积与体积3. 图形间的关系(1)面积相等的长方形(或平行四边形)和三角形，当它们等底时，三角形的高是长方形高的2倍。(2)长方体的棱长总和一定时，长、宽、高越接近，长方体的体积就越大，表面积也就越大。(3)当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；当圆柱和圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍当圆柱和圆锥等高等体积时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。答案：答案：78.5平方厘米平方厘米精析：此题考察精析：此题考察“外方内圆
2、外方内圆”中圆面中圆面积的求法积的求法,如图所示：用正方形纸剪的如图所示：用正方形纸剪的最大的圆的直径等于正方形的边长，最大的圆的直径等于正方形的边长，所 以 所 剪 的 圆 的 面 积 为所 以 所 剪 的 圆 的 面 积 为(102)2=25=78.5(平方厘米平方厘米)。典例精析及训练题型一题型一【例【例1】用一张边长为用一张边长为10厘米的正方形纸，剪一个最大厘米的正方形纸，剪一个最大的圆，所剪的圆的面积是的圆，所剪的圆的面积是()。举一反三举一反三1. 如图，在一个直径为如图，在一个直径为20厘米的圆内剪一个最大的正厘米的圆内剪一个最大的正方形，正方形的面积占圆面积的几分之几？（结果
3、方形，正方形的面积占圆面积的几分之几？（结果保留保留3位有效数字）位有效数字）20210(厘米厘米)2010 2200(平方厘米平方厘米)10103.14314(平方厘米平方厘米)20031463.7%答：正方形的面积约占圆面积的答：正方形的面积约占圆面积的63.7%。122. 如图，圆的周长是如图，圆的周长是18.84厘米。正方形的周长是多少厘米。正方形的周长是多少厘米？厘米？18.843.14424(厘米厘米)答：正方形的周长是答：正方形的周长是24厘米。厘米。3. 从一张长从一张长3厘米、宽厘米、宽2.5厘米的长方形纸片上剪下一个厘米的长方形纸片上剪下一个最大的正方形，求这个正方形的周长
4、。最大的正方形，求这个正方形的周长。正方形的边长正方形的边长2.5厘米厘米2.5410(厘米厘米)答：这个正方形的周长是答：这个正方形的周长是10厘米。厘米。题型二题型二【例【例2】如图，从一张硬纸板上剪下两个长方形和两个如图，从一张硬纸板上剪下两个长方形和两个正方形后，用剩余部分做成一个有盖的长方体盒子。正方形后，用剩余部分做成一个有盖的长方体盒子。若剪下的正方形边长为若剪下的正方形边长为3厘米，则做成长方体盒子的容厘米，则做成长方体盒子的容积为积为()立方厘米。立方厘米。精析：精析：观察图形可知，做成的这个长方体盒子的长是观察图形可知，做成的这个长方体盒子的长是20厘米，高是厘米，高是3厘
5、米，由此根据厘米，由此根据26厘米是厘米是2个高的长度个高的长度与两个宽的长度之和，可以求出这个长方体盒子的宽与两个宽的长度之和，可以求出这个长方体盒子的宽是：是：262310(厘米厘米)，所以可得做成的长方体盒子，所以可得做成的长方体盒子的容积为的容积为20310600(立方厘米立方厘米)。 答案：答案：600600举一反三举一反三4. 做一个长做一个长8厘米、宽厘米、宽6厘米、高厘米、高5厘米的长方体框架，厘米的长方体框架，至少要用至少要用()厘米的铁丝；如果用彩纸把这个框架厘米的铁丝；如果用彩纸把这个框架包起来，至少要包起来，至少要( )平方厘米的彩纸。平方厘米的彩纸。762365. 如
6、图是一个正方体的展开图，求这个正方体的表面积和体积。表面积：556=150(平方厘米)体积：555=125(平方厘米)答：这个正方体的表面积是150平方厘米，体积是125平方厘米。题型三题型三【例例3】一个高为一个高为20厘米的圆柱体，如果它的高增加厘米的圆柱体，如果它的高增加2厘厘米，那么它的表面积增加米，那么它的表面积增加62.8平方厘米，求这个圆柱的平方厘米，求这个圆柱的体积。体积。答案：底面半径：答案：底面半径：62.823.1425(厘米厘米)圆柱体积：圆柱体积：3.1452201570(立方厘米立方厘米)精析：精析：圆柱的高增加圆柱的高增加2厘米时，增加的表面积就等于底厘米时，增加
7、的表面积就等于底面积不变、高为面积不变、高为2厘米的圆柱的侧面积，用侧面积厘米的圆柱的侧面积，用侧面积2算算出周长，然后算出底面积，就可以求出圆柱的体积了。出周长，然后算出底面积，就可以求出圆柱的体积了。举一反三举一反三6. 将一根长将一根长5米的圆柱形木料锯成米的圆柱形木料锯成4段，表面积增加段，表面积增加360平方分米。这根木料的体积是平方分米。这根木料的体积是( )立方分米。立方分米。8. 如图是一个圆柱体，如果把它的高截短如图是一个圆柱体，如果把它的高截短3厘米，它的厘米，它的表面积就减少表面积就减少94.2平方厘米平方厘米,这个圆柱体的体积减少这个圆柱体的体积减少了多少立方厘米？了多
8、少立方厘米？300094.233.142=5(厘米厘米)3.14523=235.5(立方厘米立方厘米)答：这个圆柱体的体积减少了答：这个圆柱体的体积减少了235.5立方厘米。立方厘米。7. 把一个棱长为20厘米的正方体削成一个最大的圆柱，圆柱的体积是（ ）立方厘米。6280题型四题型四【例例4】在一个棱长为在一个棱长为10厘米的正方体容器中放入一个圆厘米的正方体容器中放入一个圆锥形铁块，铁块完全浸没后发现水面由原来的锥形铁块，铁块完全浸没后发现水面由原来的6厘米上升厘米上升到到8厘米，求这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？厘米，求这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？答案：答案：1010（8-6
9、）=200（立方厘米）（立方厘米）精析：这是等积变形的一类题，要求圆锥形铁块的精析：这是等积变形的一类题，要求圆锥形铁块的体积，就是求水面上升的高度对应水的体积。体积，就是求水面上升的高度对应水的体积。举一反三举一反三9. 把一块棱长为把一块棱长为10厘米的正方体铁块熔铸成一个底面厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是直径是20厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的高大约是（大约是（ ）厘米。（得数保留整厘米数）厘米。（得数保留整厘米数）10. 把一个底面直径是把一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块放入底面直厘米的圆锥形铁块放入底面直径是径是40厘米的圆柱体容器中，
10、容器中的水面比原来厘米的圆柱体容器中，容器中的水面比原来上升了上升了3厘米，求这个圆锥体有多高？厘米，求这个圆锥体有多高？10402=20（厘米）（厘米） 3.1420203=3768（立方厘米）（立方厘米）202=10（厘米）（厘米）37683（3.141010）=36（厘米）（厘米）答答:这个圆锥体这个圆锥体36厘米高。厘米高。11. 一个棱长为10厘米的正方体容器，水深8厘米，把一个底面积为90平方厘米，高为9厘米的圆锥形铁块放入水中，水会溢出多少立方厘米？ 9093=270（立方厘米）1010(10-8)=200（立方厘米）270-200=70（立方厘米）答:水会溢出来70立方厘米。差
11、错类型及归纳类型类型1 对“一昼夜”一词理解不正确。【例1】一座大钟分针长3分米，它的尖端在一昼夜里走过的路程是多少分米？错解：23.14312 =18.8412 =226.08(分米)答：它的尖端在一昼夜里走过的路程是226.08分米。分析：只知道利用求圆的周长的知识来解决，但对“一昼夜”这个词不理解或是没仔细审题，所以只计算出了一个白天所走过的周长，忽视了一昼夜是24小时。正解：23.14324 =18.8424 =452.16(分米)答：它的尖端在一昼夜里走过的路程是452.16分米。类型类型2 对表面积知识的综合运用掌握不熟练。【例2】一圆柱形水池，底面半径为5米，高为4米，沿这个水池
12、的四周及底部抹水泥。如果每千克水泥可涂0.5平方米，共需多少千克水泥？错解：23.1452157(平方米) 253.144125.6(平方米) 157125.6282.6(平方米) 282.60.5565.2(千克)答：共需565.2千克水泥。分析：此题主要是错在没有考虑到水池是没有上面的盖的，只要给一个底面加一个侧面抹水泥就行了，考虑问题欠周到。正解：5278.5(m) 254125.6(m) 78.5125.6204.1(m) 204.10.5408.2(千克)答：共需408.2千克水泥。类型类型3 对图形的空间想象能力较差。【例3】将一根长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半，表面积增加了0
13、.8平方米。原来这根圆木的表面积是多少平方米？错解：0.821=0.4(米) 0.43.141+3.140.422=2.2608(平方米)答：原来这根圆木的表面积是2.2608平方米。分析：由于学生空间想象能力的差异，有些学生无法想象沿着直径劈成两半或沿着横截面切成几段各自增加的表面是什么形状的，无法想象问题的具体表象而出错。正解：0.8212=0.2(米) 0.43.141+3.140.222=1.5072(平方米)答：原来这根圆木的表面积是1.5072平方米。针对性练习针对性练习一、填一填。1. 一个钟表的分针长10cm，从2时走到4时，分针尖端走过了( ) cm。2. 一个挂钟的时针长1
14、0厘米，这个挂钟的时针尖端一昼夜走( )厘米。125.6125.63. 用一根长2米的绳子将一只羊拴在一根木桩上，这只羊最多能吃到( )平方米的草。4. 把一个直径为4厘米，高为5厘米的圆柱，沿底面直径切割成两个半圆柱，表面积增加了多少平方厘米？算式是( )12.56452二、解决问题。1. 一个长方体蓄水池长米，宽米，深米，这个蓄水池占地面积是多少平方米？在池底和四周抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？水池的最大蓄水量是多少平方米？8 84 43232（平方米）（平方米）3232（）（平方米）（）（平方米）9 9（立方米）（立方米）答：这个蓄水池占地面积是平方米，抹水泥的面答：这个蓄水池占地
15、面积是平方米，抹水泥的面积是平方米，水池的最大蓄水量是立方米。积是平方米，水池的最大蓄水量是立方米。2. 一根长为2米，底面半径是4厘米的圆柱形木段，把它锯成同样长的4根圆柱形的木段。表面积比原来增加了多少平方厘米？（41）263.14446301.44（平方厘米）答：表面积比原来增加了301.44平方厘米。小考复习训练一、选择题。1. 把一个长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体截成两个长方体，表面积最多增加( )平方厘米。A.24 B.12 C.36 D. 482. 把一个底面积是10平方厘米，高是6厘米的圆锥形容器装满水，倒入与它等底等高的圆柱形容器中，水深( )厘米。A.60 B.20
16、C.18 D.2DD3. 下图中四个长方形的面积相等，其中阴影部分的面积( )。A. 有两个相等B. 有三个相等C. 全部相等D. 全部不相等4. 一个正方体棱长缩小到它的 ，那么体积缩小到原来的( )。CD二、判断题。(正确的在括号里画“”，错误的画“”)1. 如果长方形、正方形、圆它们的周长相等，那么其中圆的面积最大。( )2. 面积相等的长方形、正方形、圆形三个图形中，周长最大的长方形。( )3. 圆的周长是它直径的3.14倍。( )4. 等腰梯形只有一条对称轴。( )5. 圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的 ( )6. 圆柱的底面半径扩大2倍，高也扩大2倍，体积就扩大4倍。( )7.
17、圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。( )8. 两个圆柱侧面积相等，它们的底面周长也相等。( )三、填空题。1. 做一个三角形，有长度分别为4厘米，5厘米，9厘米，12厘米的4根铁丝，做成的三角形的周长是( )厘米或( ) 厘米。2. 右图是正方体展开图，与字母A相对的面是数字（ ）。3. 正方体的棱长扩大3倍，棱长总和扩大（ ）倍，表面积扩大（ ）倍，体积扩大（ ）倍。4. 一个半圆的周长是20.56厘米，它的面积是( )平方厘米。25265392725.125. 等底等高的圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。6. 一个长方体棱长和为96
18、厘米，它的长、宽、高的比是3 2 1，它的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。7. 如右图，在周长是80厘米的正方形内剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。279352384314868. 一个圆形水池，周长是31.4米，在水池的外面修一条宽1米的环形小路，小路的面积是( )平方米。9. 把棱长为2分米的正方体木块，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是( )立方分米。10. 自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米，一位同学去水池洗手，走时忘了关掉水龙头，4分钟浪费了( )升水。34.546.286.0288四、操作题。下图中每个小方
19、格是边长为1厘米的正方形，按要求画一画。1.请在方格空白处设计一个面积是5平方厘米的轴对称图形（每个小方格的面积为1平方厘米），并画出它的一条对称轴。2.画一个周长是48厘米的长方形，长和宽的比是5 3。略略五、解决问题。1.求右边图形的周长。(单位：厘米)2. 计算下列图形的表面积和体积。(单位：厘米)(1) (2) (3)(2073)2=60(厘米)(1)表面积：886=384(平方厘米)体积：888=512(立方厘米)(2)表面积：(2010209109)2=940(平方厘米)体积：20109=1800(立方厘米)(3)表面积：3.14( )223.141024=910.6(平方厘米)体
20、积：3.14( )224=1884(立方厘米)2102103. 如右图，一个模型的中间是边长为3厘米的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为90的扇形。（1）给这个模型的周围围上铝边，需要铝边长多少厘米？（2）这个模型的面积是多少平方厘米？（1）3.1432+34=30.84（厘米）（厘米）答：需要铝边长答：需要铝边长30.84厘米。厘米。（2）3.1433+33=37.26（平方厘米）（平方厘米）答：这个模型的面积是答：这个模型的面积是37.26平方厘米。平方厘米。4.一个人摇转长柄，就可以把水桶从井口放到水面。已知缠绕绳子的木柱的半径是10厘米，木柱旋转了20周。这口井的水面距井口
21、多少米？23.141020=1256(厘米)1256厘米=12.56米答：这口井的水面距井口是12.56米。 3.14(62)24(4003)=37.681200=0.0314（米）答：可以铺0.0314米厚。5. 一个圆锥形沙堆，底面直径是6米，高4米，如果把这堆沙子均匀地铺在长400米，宽3米的路面上，可以铺多少米厚？6. 王大爷靠一面墙用篱笆围成一个面积是72平方米的养鸡场（如图，靠墙的一面不围）。至少需要多少米长的篱笆？7. 一个用塑料膜搭建的蔬菜大棚(如图)，长20米，横截面是直径为4米的半圆。 204=80(平方米)答：这个大棚的占地面积是80平方米。7226=24（米）（米）24
22、+6=30（米）（米）答：至少需要答：至少需要30米长的篱笆。米长的篱笆。(1)这个大棚的占地面积是多少平方米？(2)搭建这个大棚需要用多少平方米的塑料膜？3.14(42)2+3.144202=12.56+125.6=138.16(平方米)答：搭建这个大棚需要用138.16平方米的塑料膜。六、求下列图形中阴影部分的面积。(单位：厘米)1. 40124012960(平方厘米)3.1466=113.04(平方厘米)3.14 =28.26(平方厘米)113.04-28.26=84.78(平方厘米) 2.3.正方形面积是7平方厘米。设圆的半径为r。因为正方形的面积为7平方厘米，所以r=7。所以阴影部分的面积为：7 r7 71.505(平方厘米)444. (410)4 42843.1415.44(平方厘米)2141底面半径底面半径:96212=4(厘米厘米)圆柱体积圆柱体积:3.144212=602.88(立方厘米立方厘米)答答:这个圆柱的体积是这个圆柱的体积是602.88立方厘米。立方厘米。 七、把一个高12厘米的圆柱切拼成一个近似的长方体后，表面积增加了96平方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？