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1、专题03 运用建系研究向量问题一、题型选讲题型一 向量中与四边形有关的建系四边形中最常见的建系图形是矩形、正方形以及菱形等含有直角的特殊图形，选择相互垂直的一组边分别作为x轴，y轴。对于普通的四边形要合理的建议，主要目的就是为了更好地表示点坐标。例1、如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是_【答案】【解析】 建立如图的直角坐标系，则、，设，因为，所以，解得，从而例2、(2019通州、海门、启东期末） 如图，在平行四边形ABCD中，AB4，AD，BAD45，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上一点P满足2，则_【答案】 16【解析】解析(坐标法)：以A点为坐标原点，以的方向为x
2、轴的正方向，建立直角坐标系，则根据题设条件可得A(0，0)，B(4，0)，D(1，1)，C(5，1)，E(，)，F(3，1)，又因为2，所以设点P(x，y)，从而(x3，y1)2(92x，12y)，故，解得，故，从而2816. 向量的运算问题，通常有两种基本方式，一是基底法、二是坐标法一般地，基底法更具有一般性，基底法的难点在于将所研究的向量表示为基底的形式，坐标法一般用于一些特殊的图形，即便于建立坐标系的问题本题中的两种解法的难易程度相当题型二 向量中与三角形有关的建系若三角形为直角三角形则以两个直角边为x轴，y轴。若为等腰三角形或者等边三角形则以底边和底边上的高分别为为x轴，y轴。若为一般
3、的三角形则要合理的建系，目的是为了更好地表示点坐标。例3、(2019苏锡常镇调研） 在ABC中，已知AB2，AC1，BAC90，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则的最大值为_【答案】 【解析】解法1(坐标法)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，1)，D，E，设P(p，0)，Q(0，q)，则p0，q0，且直线PQ：1，因为点E在直线PQ上，所以1，(2，q)(p，1)2pq(2pq)2，当且仅当，即pq时取“”，所以的最大值是.例4、已知ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的
4、中点，连结DE并延长到点F，使得DE3EF，则的值为_【答案】.【解析】解法：建立如图所示平面直角坐标系，A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，D，E(0，0)，设点F(x0，y0)由DE3EF得3，故3(x0，y0)，故x0，y0，所以，故(2，0).例5、(2019苏北三市期末）在ABC中，AB2，AC3，BAC60，P为ABC所在平面内一点，满足2，则的值为_【答案】1 【解析】解法(坐标法) 以A为原点， AC为x轴正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，)，C(3，0)，设P(x，y)由2得(x3，y)(1x，y)2(x，y)，得x1，y，所以P，(1，)211.题型三、
5、向量中与圆或半圆有关的建系圆或者半圆一般以相互的直径分布为x轴，y轴。例6、 (2018苏锡常镇调研）如图，扇形的圆心角为90，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为 【答案】 【解析】 思路分析：首先可以考虑解决平面向量数量积问题的两大类方法：坐标法和基底法进行求解.解法1 （坐标法） 以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则，则直线，由于点在单位圆在第一象限的圆弧上，可设，设点关于直线的对称点，则，可得，即所以令，则且故，所以的取值范围为题型四 向量中与多边形中问题有关的建系对于多边体或者不规则的几何体的建系，要在几何体中寻找相互垂直的一对边为x轴，y轴。例7、(201
6、8南京、盐城一模）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为_【答案】 24【解析】 本题所给是确定的，所以根据数量积定义的最大值即在上的投影最大，可以选取几个特殊位置逐一检验，也可以用图形作出投影的最大值解法1 如图1建立平面直角坐标系，A，B(0，0)，那么很容易得到C(0，5)，此时D的位置可以有三个点可以选择，分别是D1，D2(，0)，D3，分别求出的值为21，24，22.5，所以的最大值为24.二、达标训练1、(2019南京、盐城二模） 已知AD是直角三角形ABC的斜边
7、BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足()4.若AD，则的值为_【答案】 2【解析】解法建立如图所示的平面直角坐标系，设B(b，0)，C(c，0)，P(0，p)，A(0，)，则(b，p)，(c，p)，(0，)，由()(bc，2p)(0.)2p4，解得p2因为ABAC，所以(b，)(c，)bc20，解得bc2，所以(b，p)(c，p)bcp22222.2、(2019宿迁期末） 如图所示，矩形ABCD的边AB4，AD2，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧(含端点B，E)上的一点，则的取值范围是_【答案】 88，0【解析】解法(坐标法) 以C为原点，建立如图所示平面直角坐标系
8、A(4，2)，B(0，2)，点P在圆x2y24上设点P(2cos，2sin)，所以(42cos，22sin)，(2cos，22sin)，8cos8sin88sin8，当，即时，取到最小值88，当或，即或时，取到最大值0，所以的取值范围是88，03、(2018南京学情调研）在ABC中，AB3，AC2，BAC120，.若，则实数的值为_【答案】【解析】解法(坐标运算法) 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意有，A(0，0)，B(3，0)，C(1，)，设点M的坐标为(x，y)，则(x3，y)(13，)，即故(34，)(4，)1912，解得.4、(2018南通、泰州一调）如图，已知矩形ABCD的边AB
9、2，AD1.点P，Q分别在边BC，CD上，且PAQ45，则的最小值为_【答案】44【解析】解法(坐标法) 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)设PAB，则(2，2tan)，0tan.因为(2，2tan)2tan2tan2tan2tan22(tan1)444，当且仅当tan1时，“”成立，所以的最小值为44.5、(2019南通、泰州、扬州一调） 在平面四边形ABCD中，AB1，DADB，3，2，则|2|的最小值为_【答案】 2【解析】(坐标法)以A点为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A(0，0)，B(1，
10、0)，由DADB，可知D在线段AB的中垂线上，设D，设C(m，n)，由3，2，可以得到，所以nt，则|2|(m，n)2(，t)|(4，n2t)|，而(n2t)2n24t24nt4nt4mt8nt4，等号当且仅当n2t取得，所以|2|的最小值为2，故答案为2.6、(2018苏锡常镇调研） 在ABC中，P是边AB的中点，已知|， |4，ACB，则_【答案】 6 【解析】解法(坐标法) 如图建立平面直角坐标系设C(0，0)，B(x，0)，A(2，2)，则P.由|，得x2.所以(0，)(2，2)6.7、(2018苏州期末） 如图，ABC为等腰三角形，BAC120，ABAC4，以A为圆心，1为半径的圆分
11、别交AB，AC于点E，F，点P是劣弧上的一动点，则的取值范围是_【答案】11，9解法(坐标法) 以A为原点，垂直于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系xAy，则B(2，2)，C(2，2)，设P(cos，sin)，其中.(2cos，sin2)(2cos，2sin)(cos2)2sin21274cos.因为cos，所以11，9 运用等式“PM2MC2”，可把“同起点的两向量的数量积”转化为“两条线段长度的平方差”这是一个常用的等式8、(2017年徐州等六市联考）如图，已知，为的中点，分别以为直径在的同侧作半圆，分别为两半圆上的动点（不含端点），且，则的最大值为 【答案】【解法1】（坐标法）以点为坐标原点，线段所在的直线为轴，建立平面坐标系。设，则,，=，当时，的最大值为.9、(2019苏北四市、苏中三市三调）如图，正六边形中，若（），则的值为 【答案】【解析】：建系（坐标法）以AB 为x轴，AE为y轴，建立坐标系。设六边形边长为2，,，,由得：， 故.