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1、精选优质文档-倾情为你奉上一次函数的图象与性质（提高）责编：赵炜【学习目标】1. 理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数的图象掌握一次函数的性质利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题【要点梳理】要点一、一次函数的定义一般地，形如（，是常数，0）的函数，叫做一次函数. （为常数，且0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.要点诠释：当0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中
2、对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.要点二、一次函数的图象与性质1.函数（、为常数，且0）的图象是一条直线：当0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的；当0时，直线是由直线向下平移|个单位长度得到的.2.一次函数（、为常数，且0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线； 一次函数图象和性质如下：3. 、对一次函数的图象和性质的影响：决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定：（1）与相交； （2），且与平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，0）中有两个待定
3、系数，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和
4、图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为_（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1个单位长度，则直线解析式为_【思路点拨】（1）一次函数的图象与正比例函数的图象平行，则比例系数相同，再找一个条件求即可，而题中给了图象过（0，）点，可用待定系数法求.（2）题同样比例系数相同，注意同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差一个单位长度有两种情况，都要考虑到.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）因为所求直线与平行，所以，将（0，2）代入，解得2，所以. （2）
5、由题意得3，假设点（1，4）在上面，那么点（1，5）或（1，3）在直线上，解得2或0.所求直线为或.【总结升华】互相平行的直线值相同.举一反三：【高清课堂： 一次函数的图象和性质，例2】【变式1】一次函数交轴于点A（0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.【答案】解：设一次函数的解析式为.当过时，；当过时，；所以，一次函数的解析式为或.【高清课堂： 一次函数的图象和性质，例3】【变式2】在平面直角坐标系中，已知两点，在轴上求作一点P，使APBP最短，并求出点P的坐标. 【答案】解：作点A关于轴的对称点为，连接，与轴交于点P，点P即为所求.设直线的解析式为，直线过，的解析式为：
6、，它与轴交于P（0，1）.类型二、一次函数图象的应用2、（2015长春）甲、乙两台机器共同加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率从工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作6小时甲、乙两台机器各自加工的零件个数y（个）与加工时间x（时）之间的函数图象分别为折线OAAB与折线OCCD如图所示（1）求甲机器改变工作效率前每小时加工零件的个数（2）求乙机器改变工作效率后y与x之间的函数关系式（3）求这批零件的总个数【思路点拨】（1）甲改变工作效率前的工作效率为改变前加工的总件数，除以加工的总时间即可；（2）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（3）利用函数解析式求出甲、乙两机器6小
7、时加工的总件数，求其和即可【答案与解析】解：（1）804=20（件）；（2）图象过C（2，80），D（5，110），设解析式为y=kx+b（k0），解得：，y乙=10x+60（2x6）；（3）AB过（4，80），（5，110），设AB的解析式为y甲=mx+n（m0），解得：，y甲=30x40（4x6），当x=6时，y甲=30640=140，y乙=106+60=120，这批零件的总个数是140+120=260【总结升华】主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键类型三、一次函数的性质【高清课堂： 一次函数的图象和性质，例4】3、已知自变量为的一次函数的图象经过第
8、二、三、四象限，则（ ） A0，0 B0，0 C0，0 D0，0【答案】C；【解析】原函数为，因为图象经过二、三、四象限，则0，0，解得0，0.【总结升华】一次函数的图象有四种情况：当0，0，函数的图象经过第一、二、三象限，的值随的值增大而增大；当0，0，函数的图象经过第一、三、四象限，的值随的值增大而增大；当0，0时，函数的图象经过第一、二、四象限，的值随的值增大而减小；当0，0时，函数的图象经过第二、三、四象限，的值随的值增大而减小举一反三：【高清课堂： 一次函数的图象和性质，例5】【变式1】直线：与直线：在同一坐标系中的大致位置是（ ）A B C D【答案】C；提示：对于A，从看 0，0
9、，从看0，0，所以，的取值自相矛盾，排除掉A.对于B，从看0，0，从看0，0，所以，的取值自相矛盾，排除掉B. D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求.【变式2】直线和直线在同一直角坐标系中的位置如图所示点在直线上，点在直线上，点为直线、的交点其中，则（ ）A B C D【答案】A；提示：由于题设没有具体给出两个一次函数的解析式，因此解答本题只能借助于图象观察直线知，随的增大而减小，因为，则有；观察直线知，随的增大而增大，因为，则有故【变式3】（2015春广元）已知正比例函数的图象上一点（，），且0，0，那么的取值范围是（ ）A. B C或 D不确定【答案】A；提示：因为0，0，所以该点的横
10、、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则210，类型四、一次函数综合【高清课堂： 一次函数的图象和性质，例7】4、已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，求点的坐标【答案与解析】解：由题意得，则.一次函数的图象过点，.当时，； 当时，.综上所述，点A的坐标为或.【总结升华】我们可以把点A、B的坐标用、表示出来，根据OA3OB可以建立一个关于、的方程，再根据它的图象过P，可以再找到一个关于、的方程，两个方程联立，即可求出、的值，就可以求出点A的坐标.1、（1）已知直线，与直线平行，且与轴的交点是（0，），则直线解析式为_（2）若直线与平行，且同一横坐标在两条直线上对应的点的纵坐标相差1
11、个单位长度，则直线解析式为_举一反三：【变式1】一次函数交轴于点A（0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.【变式2】在平面直角坐标系中，已知两点，在轴上求作一点P，使APBP最短，并求出点P的坐标. 类型二、一次函数图象的应用2、（2015长春）甲、乙两台机器共同加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率从工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作6小时甲、乙两台机器各自加工的零件个数y（个）与加工时间x（时）之间的函数图象分别为折线OAAB与折线OCCD如图所示（1）求甲机器改变工作效率前每小时加工零件的个数（2）求乙机器改变工作效率后y与x之间的函数关系式（3）求这批零件的总个数【变式1】直线：与直线：在同一坐标系中的大致位置是（ ）A B C D【变式2】直线和直线在同一直角坐标系中的位置如图所示点在直线上，点在直线上，点为直线、的交点其中，则（ ）A B C D【变式3】（2015春广元）已知正比例函数的图象上一点（，），且0，0，那么的取值范围是（ ）A. B C或 D不确定4、已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，求点的坐标专心-专注-专业