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1、第一单元 图形的变换图形变换的基本方式是平移、对称和旋转。1、轴对称:（1）学过的轴对称平面图形：长（正）方形、圆形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。（圆有无数条对称轴。）（2）轴对称图形的特征和性质：沿对称轴对折，对应点到对称轴的距离都相等；对应点的连线与对称轴垂直； 对称轴两边的图形大小、形状完全相同。（3）轴对称图形的画法：找关键点 在对称轴的另一侧找出关键点的对应点 连接对应点2、旋转：旋转的画法：旋转要明确绕点，角度和方向（顺时针、逆时针）。二、因数和倍数1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。整数与自然数的关系：整数包括自然数。 2、
2、因数、倍数：（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。例：126=2 12是6和2的倍数，6和2是12的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。（4）2、3、5的倍数特征1） 个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。3）个位上是0或5的数，是5的倍数。4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位
3、数是90，最小的三位数是120。同时满足2、3、5的倍数，实际是求235=30的倍数。5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。奇数：不能被2整除的数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。最小的奇数是1，最小的偶数是0. 关系： 奇数+、- 偶数=奇数 奇数+、- 奇数=偶数 偶数+、-偶数=偶数。5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类. 质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身
4、、别的因数）。1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。关系： 奇数奇数=奇数 质数质数=合数6、最大、最小一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数
5、是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的。 最小的奇数是：1； 最小的偶数是：0； 最小的质数是：2；最小的自然数是：0； 最小的合数是：4；7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法分解质因数 （一个合数写成几个质数相乘的形式）。比如：30分解质因数是：（30=235）8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5和7 两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和8两数互质的特殊情况：1和任何自然数互质；相邻两个自然数互质； 两个质数一定互质；2和所有奇数互质； （5）相邻两个奇数互质。9、公因数、最
6、大公因数 几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止）10、公倍数、最小公倍数 几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。用短除法求两个数或三个数的最小公倍数（除到互质为止）11、求最大公因数和最小公倍数方法两数关系最大公因数最小公倍数互质1乘积倍数较小的数较大的数一般短除法，乘半边短除法，乘半圈 一般关系的两个数还可以用以下方法用12和16来举例1、 求法一：（列举求同法）最大公因数的求法：12的因数有：1、12、2、6、3、416的因数有：1、16、2、8、4最大公因数是4最小公倍数
7、的求法：12的倍数有：12、24、36、48、16的倍数有：16、32、48、最小公倍数是482、求法二：（分解质因数法）12=22316=2222最大公因数是：22=4 （相同乘）最小公倍数是：22 322= 48 （相同乘 不同乘）三 长方体和正方体一、长方体1、定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。2、长方体特点：（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱长相等。（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多
8、有2个面是正方形。二、正方体1、定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫立方体）。2、正方体特点：（1）有6个面，8个顶点，12条棱，每个面的面积都相等，所有棱长相等。（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。相同点不同点面棱长方体都有6个面，12条棱，8个顶点。6个面都是长方形。（有可能有两个相对的面是正方形）。相对的棱的长度都相等正方体6个面都是正方形。12条棱都相等。3、长方体、正方体有关棱长计算公式：长方体的棱长总和=（长+宽+高）4长4+宽4+高4 L=（abh）4 长=棱长总和4宽 高 a=L4bh宽=棱长总和4长 高 b=L4ah高=棱
9、长总和4长 宽 h=L4ab正方体的棱长总和=棱长12 L=a12 正方体的棱长=棱长总和12 a=L124、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。长方体的表面积=（长宽长高宽高）2 S=2（abahbh）无底（或无盖）长方体表面积= 长宽（长高宽高）2 S=2（ahbh）ab 或 S=2（abahbh）ab 无底又无盖长方体表面积=（长高宽高）2 S=2（ahbh） 正方体的表面积=棱长棱长6 S= 6a2生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面 游泳池、鱼缸等都只有5个面水管、烟囱等都只有4个面注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加） 两物体拼成一个物体时，减少两个面
10、。（表面积相应减少）注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体的体积=长宽高 V=abh 长=体积宽高 a=Vbh 宽=体积长高 b=Vah 高=体积长宽 h= Vab正方体的体积=棱长棱长棱长 V=aaa = a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即aaa） 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。长方体（或正方体）的体积=底面积高 用字母表示：V=S h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。6、箱子、油
11、桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。（1）、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等常用的容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 （1 L = 1 dm3 1 ml = 1 cm3）（2）长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。 *形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法
12、的公式：V物体 =V现在V原来也可以 V物体 =S(h现在- h原来) V物体 =Sh升高进率进率7、【体积单位换算】大单位 小单位小单位 大单位进率：1立方米1000立方分米1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000） 1立方分米1000立方厘米1升1000毫升 1立方厘米1毫升1平方米=100平方分米=10000平方厘米1平方千米=100公顷=1000000平方米注意：长方体与正方体关系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。进率重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率【单位换算】 大单位 小单位进率小单位 大单位长度单位：1千米 =1000 米 1
13、 分米=10 厘米 1厘米=10毫米 1分米=100毫米 1米=10分米=100厘米=1000毫米（相邻单位进率10）面积单位：1平方千米=100公顷 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1公顷=10000平方米 （平方相邻单位进率100）质量单位：1吨=1000千克 1千克=1000克人 民 币：1元=10角 1角=10分 1元=100分 四 分数的意义和性质1、分数的意义：一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单
14、位“1”。）3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如的分数单位是。4、分数与除法AB=（B0，除数不能为0，分母也不能够为0） 例如： 45=5、真分数和假分数、带分数(1)、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。(2)、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数1(3)、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数1.(4)、真分数1假分数 真分数1带分数6、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子分母，商作为整数，余数作为分子。（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 （3）带分数化为假分数，用整数乘以分母
15、加分子，得数就是假分数的分子，分母不变。（4）1等于任何分子和分母相同的分数。7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。11、分数和小数的互化（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100 （2）分数化为小数： 方法一：先把分
16、数化为分母是10、100、1000，然后再化成小数。方法二：用分子分母 如：=34=0.75（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数 如：2=2+0.3=2.312、比较分数的大小： 分母相同，分子大，分数就大；分子相同，分母小，分数才大。分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。五 分数的加法和减法（1）同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）1、分数的加法和减法 （2）异分母分数加、减法 （通分后再加减）（3） 分数加减混合运算：同整数。（4） 结果要是最简分数2、带分数加减法: 带分
17、数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。六 统计与数学广角众数:一组数据中出现次数最多的数叫众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。复式折线统计图；综合应用：打电话的最优方案统计1、众数： 一组数据中出现次数最多的一个数或几个数，就是这组数据的众数。众数能够反映一组数据的集中情况。在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。2、中位数：（1）按大小排列；（2）如果数据的个数是单数，那么最中间的那个数就是中位数；（3）如果数据的个数是双数，那么最中间的那两个数的平均数就是中位数。3、平均数的求法：总数总份数=平均数4、一组
18、数据的一般水平： （1）当一组数据中没有偏大偏小的数，也没有个别数据多次出现，用平均数表示一般水平。 （2）当一组数据中有偏大或偏小的数时，用中位数来表示一般水平。 （3）当一组数据中有个别数据多次出现，就用众数来表示一般水平。4、平均数、中位数和众数的联系与区别: 平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。 容易受极端数据的影响，表示一组数据的平均情况。 中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数 。 它不受极端数据的影响，表示一组数据的一般情况。 众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。它不受极端数据的影响，表示一组
19、数据的集中情况。 5、统计图：我们学过条形统计图、复式折线统计图。条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化情况。注： 画图时注意：一“点”（描点）、 二“连”（连线） 三“标”（标数据）。要用不同的线段分别连接两组数据中的数。6、 打电话：规律人人不闲着，每人都在传。（技巧：已知人数依次 2）（1）逐个法：所需时间最多。（2）分组法：相对节约时间。（3）同时进行法：最节约时间。七 数学广角用天平找次品规律：1、把所有物品尽可能平均地分成3份，（如余1则放入到最后一份中；如余2则分别放入到前两份中），保证找出次品而且称的次数一定最少。2、数目与测试的次数的关系：23个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次 49个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次 1027个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次 2881个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次 82243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次244729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次3、找次品规律 1 2 3 4 5 次数3 33 333 3333 33333 3 9 27 81 243 次品个数