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1、21.1 一元二次方程一元二次方程一元二次方程的相关概念一元二次方程的相关概念R九年级上册九年级上册 情景：要设计一座高情景：要设计一座高2m的人体雕像的人体雕像, ,使使 它的上部它的上部( (腰以上腰以上) )与下部与下部( (腰以腰以 下下) )的高度比等于下部与全身的的高度比等于下部与全身的 高度比高度比, ,则雕像的下部应设计多则雕像的下部应设计多 少米高少米高? ? 问题问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？列方程解应用题的一般步骤是什么？问题问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？你能画出示意图表示这个问题吗？问题问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？能反映问题的等量关系的是
2、哪一句话？问题问题4：设雕像下部设雕像下部高高BC = xm ,请说出你所列的方请说出你所列的方 程，并化简程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？这个方程是一元一次方程吗？ 它有什么特点？它有什么特点？审、审、 设、设、 列、列、 解、解、 验、验、 答答x2+2x-4=0ACBCBCAB2mx2-x22-xxx （1）会设未知数，列一元二次方程）会设未知数，列一元二次方程.（2）了解一元二次方程及其根的概念了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地 指出各项系数指出各项系数. 知识点1 问题问题1 有一块矩形
3、铁皮，长有一块矩形铁皮，长100cm，宽，宽50cm，在它，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作无盖方盒的底如果要制作无盖方盒的底面积为面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则，则盒底的宽为盒底的宽为 cm，盒底的长为，盒底的长为 cm，根据矩形的面积
4、公式及方盒的底面积根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程可列方程为为 .(50-2x)x(100-2x)(100-2x)(50-2x)=3600你能把它整理你能把它整理成形如成形如x2+bx+c=0的形式吗？的形式吗？ (100-2x)(50-2x)=36005000100 x200 x+4x2=3600 4x2300 x+1400=0 x275x+350=0先去括号先去括号移项、合并同类项移项、合并同类项系数化为系数化为1 问题问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为中，本次排球比赛的总比赛场数为 场场.设邀请设邀请 支队参赛，则每支队与其余支队参赛，则每支队与其余 支队支队
5、都要赛一场都要赛一场.根据题意，根据题意，你列出的方程是你列出的方程是 .整理为整理为 . 28x(x-1)x(x-1)=28x2-x=56 问题问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？12 一个圆的面积是一个圆的面积是2m2，求半径，求半径r. 一个直角三角形的两条直角边相差一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积，面积9cm2，求，求 较长的直角
6、边较长的直角边x的长的长.把长为把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等 于较长一段的长的平方，求较短一段的长于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.r2=2x=(1-x)2 知识点2下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？x2+2x-4=0 x275x+350=0 x2-x=56 只含有一个未知数只含有一个未知数(一元一元)，并且未知数的最高次数是，并且未知数的最高次数是2. 结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含
7、有一个未知数等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元一元)，并且未知，并且未知数的最高次数是数的最高次数是2(二次二次)的方程，叫做一元二次方程的方程，叫做一元二次方程.若方程（若方程（m-1）x2+ x=1是关于是关于 x 的一元二次方程，的一元二次方程，则则m的取值范围是的取值范围是 .m0且且m1m 一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0)，为什，为什么要规定么要规定a0？ 因为因为a=0时，未知数的最高次数小于时，未知数的最高次数小于2.知识点3 a是是二次项系数，二次项系数，b是是一次项系数，一次项系数，c是是常数项常数项. 一元二次方程的每一项一
8、元二次方程的每一项（系数）都应包括它前（系数）都应包括它前面的符号。面的符号。 例例 将方程将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的化成一元二次方程的一般形式，一般形式，并写出其中的二次项系数并写出其中的二次项系数、一次项系数一次项系数和和常数项常数项.解：去括号，得解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 二次项系数为二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为-8，常数项为，常数项为-10. 知识点4 使方程使方程左右两边相等左右两边相等的未知数的值就的未知数的值就是
9、这个一元二次方程的是这个一元二次方程的解解，一元二次方程，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的的解也叫做一元二次方程的根根. . 下面哪些数是方程下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？的根？-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5. 分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数作为未知数x的值分别代入方程的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验可知，当且仅当可知，当且仅当x=-5或或2时，方程时，方程x2+3x-10=0左
10、右两边左右两边相等相等. 1. 一元二次方程一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别的二次项系数和一次项系数分别 是（是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，02. 下列哪些数是方程下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？的根？ 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4.C解：解：4， 3. 3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项该方程的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）3x2+1=6x； （2）4x2=815x；解：一般形式：解：一般形式：3x2-
11、6x+1=0 二次项系数：二次项系数：3 一次项系数：一次项系数：-6 常数项：常数项：1解：一般形式：解：一般形式：4x2+5x-81=0 二次项系数：二次项系数：4 一次项系数：一次项系数：5 常数项：常数项：-81 4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）有一根）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平的平 方的长方形方的长方形? 解：设长方形的长为解：设长方形的长为xm，则宽为，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，
12、得整理，得50 x2-25x+3=0.（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10 次次.有多少人参加这次聚会？有多少人参加这次聚会？ 解：设有解：设有x人参加了这次聚会人参加了这次聚会, 根据题意，得根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得整理，得x2-x-20=0.12 5. 在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一的矩形风景画的四周镶一 条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂 图的面积是图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，
13、则，则x 满足的方程是（满足的方程是（ ） A. x2+130 x+1400=0 B. x2+65x-350=0 C. x2-130 x-1400=0 D. x2-65x-350=0B 6. 如果如果2是方程是方程x2-c=0的一个根，求常数的一个根，求常数c及方程的另及方程的另 一个根一个根. 解：将解：将2代入原方程中，代入原方程中，22-c=0，得，得c=4. 将将c=4代入原方程，得代入原方程，得x2-4=0. 解得解得x=2. 即方程的另一个根为即方程的另一个根为-2. 一般形式一般形式： ax2 + bx + c =0(a0)a+ b + c二次项系数二次项系数一一次项系数次项系数
14、常数项常数项一一元元二二次次方方程程 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 21.2.2 公式法公式法根的判别式及求根公式根的判别式及求根公式R九年级上册九年级上册 （1）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？（2）你能用配方法解一般形式的一元二次方程）你能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)吗？吗？ 我们继续学习另一种解一元二次方程的方法我们继续学习另一种解一元二次方程的方法公式法公式法. （1）知道一元二次方程根的判别式，能运用根的判别式）知道一元二次方程根的判别式，能运用
15、根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况直接判断一元二次方程的根的情况.（2）会用公式法解一元二次方程）会用公式法解一元二次方程. 知识点1 任何一个任何一个一元二次方程一元二次方程都可以写成一般形式都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0(a0) 那么我们能否也用配方法得出它的解呢？那么我们能否也用配方法得出它的解呢？ ax2+bx+c=0(a0)二次项系数化为二次项系数化为1，得，得2bcxxaa 配方，得配方，得bbcbxxaaaa 22222即即bbacxaa 222424 因为因为a0，所以，所以4a20. 式子式子ax2+bx+c=0的根有以下的根有以下三种三种情况：情况：当当b
16、24ac0时，时， 0，方程有两个，方程有两个不等不等的的 实数根实数根2244baca bbacbbacxxaa 221244,.22 当当b24ac=0时，时， =0，方程有两个，方程有两个相相等等的的 实数根实数根2244baca bxxa 12.2当当b24ac0时，时， 0时，方程时，方程ax2+bx+c=0(a0)有有两个不等两个不等的实数根；的实数根；当当b24ac=0时，方程时，方程ax2+bx+c=0(a0)有有两个相等两个相等的实数根；的实数根；当当b24ac0方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根=b2-4ac =122-494 =0方程有两个方程有两个相相等的实数
17、根等的实数根 2x2+4x3=2x4； x(x+4)=8x+12.化简得化简得 2x2+2x+1=0 =b2-4ac =22-421 =-40方程有两个不等的实数根方程有两个不等的实数根 知识点2当当0时，一元二次方程时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实数根可的实数根可写为写为 的形式，这个式子叫做一元的形式，这个式子叫做一元二次方程二次方程ax2+bx+c=0(a0)的的.242bbacxa 例例2 用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：解：解：a=1，b=-4，c=-7 = b24ac=(-4)2-41(-7) =44021242( 4)442112 1211,211bbac
18、xaxx bxxa 1222 222 22abcbac 2222 214( 2 2)4 2 10解解：， (3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x.解：方程化为解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 = b24ac=(-4)2-45(-1) =36021242( 4)36462 51011,5bbacxaxx 解：方程化为解：方程化为x2-8x+17=0 a=1，b=-8，c=17 = b24ac =(-8)2-4117 =-40方程无实数根方程无实数根 思考：思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？事项？步骤步
19、骤：先将方程化为一般形式，确定先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；的值； 计算判别式计算判别式=b2-4ac的值，判断方程是否有解；的值，判断方程是否有解； 若若0，利用求根公式计算方程的根，利用求根公式计算方程的根， 若若0212421492 14,3bbacxaxx 解：化简，得解：化简，得 x2+2x-3=0 a=1，b=2，c=-3 = b24ac=22-41(-3) =160212421622 13,1bbacxaxx 6.无论无论p取何值，方程取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两个不等总有两个不等 的实数根吗？给出你的答案并说明理由的实数根吗？给出你的答案并说明理
20、由.解：方程化简为解：方程化简为x2-5x+6-p2=0 b2-4ac=(-5)2-41(6-p2)=4p2+11, 0 无论无论p取何值，方程取何值，方程(x-3)(x-2)-p2=0总有两总有两个不等的实数根个不等的实数根. 公公式式法法用求根公式用求根公式解一元二次解一元二次方程的方法方程的方法一元二次方程根的一元二次方程根的判别式判别式= b24ac求根公式求根公式(b24ac0)242bbacxa 当当b24ac0时，方程有时，方程有两个不等两个不等的实数根；的实数根；当当b24ac=0时，方程有时，方程有两个相等两个相等的实数根；的实数根；当当b24ac0, 方程有两个不相等的实数
21、根方程有两个不相等的实数根. x= , x1= , x2=1 因式分解法：方程左边提公因式，得因式分解法：方程左边提公因式，得 (5x+4)(x-1)=0 ，则则x1= ，x2=1. 45 45bbaca 2418122 5 因式分解法因式分解法通过因式分解通过因式分解实现降次来解实现降次来解一元二次方程一元二次方程提公因式法提公因式法公式法公式法十字相乘法十字相乘法完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根与系数的关系R九年级上册九年级
22、上册 如果一个方程的如果一个方程的两根之和两根之和为为1，两根之积两根之积为为-2，你能说出这个方程吗？，你能说出这个方程吗？ 今天我们进一步学习一元二次方程今天我们进一步学习一元二次方程根与根与系数的关系系数的关系. 知识点1 思考：从因式分解法可知，方程思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0 (x1, x2为已知数为已知数) 的两根为的两根为x1和和x2, 将方程化为将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出的形式，你能看出x1，x2与与p，q之间之间的关系吗？的关系吗？ 把方程把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般的左边展开，化成一般形式，得方程形式，
23、得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 这个方程的二这个方程的二次项系数为次项系数为1，一次项系数，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项，常数项q=x1x2. 于是于是x1+x2=-p, x1x2=q. 思考：一般的一元二次方程思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，中，二次项系数二次项系数a未必是未必是1，它的两根的和、积与，它的两根的和、积与系数又有怎样的关系呢？系数又有怎样的关系呢？ 已知方程已知方程ax2+bx+c=0(a0)，当，当b2-4ac0时，两根分时，两根分别为别为x1= ，x2= 。x1+x2= ，x1x2= .242bbaca 242bbaca 22442
24、222bbacbbacbbaaaa 222224422()(4)4bbacbbacaabbaccaa 因此，方程的两个根因此，方程的两个根x1，x2和系数和系数a，b，c有如下关系：有如下关系：bcxxx xaa 1212,. 例例 根据一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，求下列求下列方程两根方程两根x1，x2的和与积的和与积. (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 解：解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15121279(2),333xxx x xxxxx x 21212(3)4510551,.444方方
25、程程化化为为， 不解方程，求下列方程两根的和与积不解方程，求下列方程两根的和与积. .x2-3x=15； 5x2-1=4x2+x解：解：x1+x2=3 x1x2=-15解：化简得解：化简得 x2-x-1=0 x1+x2=1 x1x2=-1 设一元二次方程设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别的两个根分别为为x1，x2，则有，则有0且且x1x200且且x1x20 x1+x20 x1+x20 x1+x20 x1+x20两根同为正数两根同为正数两根同为负数两根同为负数两根异号且正根的绝对值大两根异号且正根的绝对值大两根异号且负根的绝对值大两根异号且负根的绝对值大 1. 关于关于x的方
26、程的方程x2+px+q=0的根为的根为x1=1+ ，x2=1- ，则则p= ，q= .2. 已知方程已知方程5x2+kx6=0的一根是的一根是2，则另一根，则另一根是是 ， k .2-2-1-735 2 3. 求下列方程的两根求下列方程的两根x1，x2的和与积：的和与积： （1）x23x+2=0； （2）x2+x=5x+6解：解：x1+x2=3 x1x2=2解：化简得解：化简得 x2-4x-6=0 x1+x2=4 x1x2=-6 4. 已知两个数的和为已知两个数的和为8，积为，积为9.75，求这两个数，求这两个数.解：设其中一个数为解：设其中一个数为x，则另一个数为则另一个数为(8-x). 根
27、据题意，得根据题意，得x(8-x)=9.75，整理，整理， 得得x2-8x+9.75=0. 解得解得x1=6.5, x2=1.5. 当当x=6.5时，时，8-x=1.5；当当x=1.5时，时，8-x=6.5. 这两个数是这两个数是6.5和和1.5. 5. x1，x2是方程是方程x25x7=0的两根，不解方的两根，不解方程求下列各式的值：程求下列各式的值： （1） ；（；（2） .1211xx 2212xx 解：解：x1，x2是方程是方程x2-5x-7=0的两根的两根. 则则x1+x2=5，x1x2=-7.1212121155(1)77xxxxx x 221222112212212122(2)2
28、2()252 ( 7)39xxxx xxx xxxx x 6. 已知关于已知关于x的方程的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等于的两根之和等于 两根之积，求两根之积，求m的值的值.解：设方程解：设方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根为的两根为x1，x2. x1+x2=2m+3，x1x2=m2. 根据题意得根据题意得m2=2m+3，解得，解得m1=3，m2=-1. 当当m=3时，原方程为时，原方程为x2-9x+9=0，b2-4ac=450.方程有实数根方程有实数根. 当当m=-1时，原方程为时，原方程为x2-x+1=0，b2-4ac=-30时，方程时，方程x2=p有两个有两个不等不
29、等的实数根的实数根 .当当p=0时，方程时，方程x2=p有两个有两个相等相等的实数根的实数根 x1=x2=0.当当p0时，方程时，方程x2=p无实数根无实数根.12x- p,xp 知识点2你认为应怎样解方程你认为应怎样解方程(x+3)2=5?由方程由方程x2=25得得x=5.以此类推：以此类推：由方程由方程(x+3)2=5，可得，可得35x 353 - 5,xx 或或123535，xx 解方程解方程 (x+3)2=5 ，实质上是把一个一元二次方程实质上是把一个一元二次方程降次降次，转化为转化为两个一元一次方程两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得，再解两个一元一次方程即得原方程的解原方程的
30、解.当当p0时，方程时，方程(mx+n)2=p的解是的解是 ,当当p0时，此时方程两边直接开方时，此时方程两边直接开方.得得 x+m= ，方程的两根为，方程的两根为x1= -m, x2=- -m. 当当n=0时，此时时，此时(x+m)2=0,直接开方得直接开方得 x+m=0，方程的两根为方程的两根为x1=x2=-m. 当当n0时，方程时，方程x2=p有两个有两个不等不等的实数根的实数根 .当当p=0时，方程时，方程x2=p有两个有两个相等相等的实数根的实数根 x1=x2=0.当当p0时，方程时，方程x2=p无实数根无实数根.当当p0时，方程时，方程(mx+n)2=p的解是的解是 ,当当p0时，
31、则时，则 ，方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0，x+n=0,开平方得方程的两个根为开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.当当p700.答：答：每轮感染中平均一台电脑会感染每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三台电脑；三轮感染后，被感染的电脑台数会超过轮感染后，被感染的电脑台数会超过700台台. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是的总数是91，每个支干长出多少个小分支每个支干长出多少个小分支?解：解：设每个支干长出设每个
32、支干长出x个小分支个小分支. 根据题意，得根据题意，得1+x+x2=91， 即即(x-9)(x+10)=0 解得解得x1=9，x2=-10(舍去舍去).答：每个支干长出答：每个支干长出9个小分支个小分支. 1. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向 本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182 件，如果全组有件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出名同学，那么根据题意列出 的方程是的方程是( ) A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(1-x)=1822B 2. 有
33、一人患了流感，经过两轮传染后共有有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感人患了流感. （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了设每轮传染中平均一个人传染了x个人个人. 依题意依题意1+x+(1+x)x=64,即即(x+1)2=64, 解得解得x1=7，x2=-9(舍舍). 答：每轮传染中平均一个人传染了答：每轮传染中平均一个人传染了7个人个人. (2)第三轮被传染的人数为第三轮被传染的人数为 (1+x)2x=(1
34、+7)27=448(人人). 答：第三轮将有答：第三轮将有448人被传染人被传染. 3. 参加足球联赛的每两队之间都进行了两次参加足球联赛的每两队之间都进行了两次 比赛（双循环比赛），共要比赛比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共场，共 有多少个队参加了比赛？有多少个队参加了比赛？解：设共有解：设共有x个队参加了比赛个队参加了比赛. 依题意依题意x(x-1)=90. 解得解得x1=10, x2=-9(舍去舍去).答：共有答：共有10个队参加了比赛个队参加了比赛. 4. 有一人利用手机发送短信，获得信息的人有一人利用手机发送短信，获得信息的人 也按他的发送人数发送了该条短信息，经也按他的发送人数
35、发送了该条短信息，经 过两轮短信发送，共有过两轮短信发送，共有90人的手机上获得人的手机上获得 同一信息，则每轮平均一个人向多少人发同一信息，则每轮平均一个人向多少人发 送短信？送短信？解：设每轮平均一个人向解：设每轮平均一个人向x人发送短信人发送短信.由题意，得由题意，得x+x2=90.解得：解得：x1=9，x2=-10(舍去舍去).答：每轮平均一个人向答：每轮平均一个人向9个人发送短信个人发送短信. 5. 一个数字和为一个数字和为10的两位数的两位数,把个位与十位数字对把个位与十位数字对 调后得到一个两位数调后得到一个两位数,这两个两位数之积是这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多
36、少？则这个两位数是多少？解：设这个数十位上数字为解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为则个位数字为(10-x), 原数为原数为10 x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得解得 x1=8, x2=2. 当当x=8时，这个两位数是时，这个两位数是82；当；当x=2时，这个两位数是时，这个两位数是28.答：这个两位数是答：这个两位数是82或或28. 传传播播问问题题两个要点：两个要点：传染源和传播速度传染源和传播速度传染轮数传染轮数与传染总与传染总人数之间人数之间的关系：的关
37、系：设设1个人每次可以传染个人每次可以传染x人人第一轮：第一轮： (1+x)人人第二轮：第二轮： (1+x)+x(1+x)人人第三轮：第三轮： (1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人人第第n轮：轮： (1+x)+x(1+x)+x(1+x)n=(1+x)n人人 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 21.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程第第2课时课时 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（2）R九年级上册九年级上册 两年前生产两年前生产1t甲种药品的成本是甲种药品的成本是5000元，元，生产生产1t乙种药品的成本
38、是乙种药品的成本是6000元，随着生产技元，随着生产技术的进步，现在生产术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是甲种药品的成本是3000元，生产元，生产1t乙种药品的成本是乙种药品的成本是3600元，哪种药元，哪种药品成本的年平均下降率较大品成本的年平均下降率较大?本节课我们学习增长本节课我们学习增长/ /下降下降率问题率问题. . 知识点1探究探究2 两年前生产两年前生产1t甲种药品的成本是甲种药品的成本是5000元，生产元，生产1t乙种药品的成本是乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在元，随着生产技术的进步，现在生产生产1t甲种药品的成本是甲种药品的成本是3000元，生产元，生
39、产1t乙种药品的成乙种药品的成本是本是3600元，哪种药品成本的年平均元，哪种药品成本的年平均下降率下降率较大较大?下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？ 下降率是下降率是下降额与原成本的比值；下降额与原成本的比值；下降率下降率= = 100% 原成本原成本终成本终成本原成本原成本 如果甲种药品成本平均每年的下降率为如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则，则下降一次后的成本变为下降一次后的成本变为 ，再次下降，再次下降后的成本变为后的成本变为 .（用代数式表示）（用代数式表示）设甲种药品成本平均每年的下降率为设甲种药品成本
40、平均每年的下降率为x，由等，由等量关系量关系 可得方可得方程程 ，解这个方程，得到方程的，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？为什么？5000(1-x)5000(1-x) 2终成本终成本=原成本原成本(1下降率下降率)25000(1-x)2=3000 应选择应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于成本的年平均下降率应是小于1的正数的正数.22215000 1300031515150.225,1.7()()75xxxxx 解解： 成本下降额较大的药品，它的成本下
41、降率不一定大成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大. . 设乙种药品成本平均每年的下降率为设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则则由等量关系由等量关系 可得可得方程方程 . 成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？定较大吗？终成本终成本=原成本原成本(1下降率下降率)26000(1-y)2=3600 解决下面的问题，它与探究解决下面的问题，它与探究2有什么不同？有什么不同？ 某经济开发区去年总产值某经济开发区去年总产值100亿元，计划两年亿元，计划两年后总产值达到后总产值达到121亿元，求平均年增长率亿元，求平均年增长率.解：设总产
42、值的年平均增长率为解：设总产值的年平均增长率为x. 依题意依题意100(1+x)2=121， 解得解得:x1=0.1，x2=-2.1(舍去舍去)， 年平均增长率为年平均增长率为10%.与探究与探究2相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率相比，一个是计算增长率，一个是计算下降率. 1. 某厂今年一月的总产量为某厂今年一月的总产量为500吨吨,三月的总产量为三月的总产量为720吨吨, 平均每月增长率是平均每月增长率是x,列方程为列方程为( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002. 受全球金融危机的影响，
43、受全球金融危机的影响，2015年某家电商城的销售额年某家电商城的销售额 由第二季度的由第二季度的800万元下降到第四季度的万元下降到第四季度的648万元，则万元，则 该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为( ) A.10% B.20% C.19% D.25%BA 3. 某种药品原售价为某种药品原售价为125元元/盒，连续两次降价盒，连续两次降价后售价为后售价为80元元/盒盒.假设每次降价的百分率相同，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率求这种药品每次降价的百分率.解：解：设这种药品每次降价的百分率为设这种药品每次降价的百分率为x
44、. 由题意由题意125(1-x)2=80. 解得：解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去舍去)答：答：这种药品每次降价的百分率为这种药品每次降价的百分率为20%. 4. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了在该商品每件的价格比两个月前下降了36，问平均每月降价百分之几？问平均每月降价百分之几？解：设平均每月降价的百分率为解：设平均每月降价的百分率为x. 依题意，依题意，(1-x)2=1-36% 解得解得x1=0.2，x2=1.8(舍去舍去)答：平均每月降价答：平均每月降价20%. 5. 某新华书店计划第一季度共发行图书某新华
45、书店计划第一季度共发行图书122万册，其万册，其 中一月份发行图书中一月份发行图书32万册，二、三月份平均每月的万册，二、三月份平均每月的 增长率相同增长率相同.求二、三月份各应发行图书多少万册？求二、三月份各应发行图书多少万册？解：设平均每月的增长率为解：设平均每月的增长率为x. 依题意，依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122. 解得解得x1=0.25，x2=-3.25(舍去舍去). 二月份发行图书二月份发行图书32(1+0.25)=40(万册万册) 三月份发行图书三月份发行图书32(1+0.25)2=50(万册万册)答：二月份发行图书答：二月份发行图书40万册，三月份发行图
46、书万册，三月份发行图书50万册万册. 增长增长( (下降下降) )率问题率问题增长率增长率问题问题下降率下降率问题问题基数为基数为a,平均增长平均增长/下降率下降率为为x第一次增长第一次增长第二次增长第二次增长第第n次次增长增长第一次下降第一次下降第二次下降第二次下降第第n次下降次下降a(1+x)a(1+x)2a(1+x)na(1x)a(1x)2a(1x)na(1x)n 1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。 21.3 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程 第第3课时课时 实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（3）R九年级上
47、册九年级上册 要设计一本书的封面，封面长为要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？点后一位）？ 知识点 如图，要设计一本书的封面，封面长为如图，要设计一本书的封面，封面长为27cm，宽为，宽为21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩
48、形，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 .如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？（结果保留小数点后一位）？ 根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的根据题目的已知条件，可以推出中央的矩形的长宽之比也是长宽之比也是27 21=9 7，那你知道，那你知道上、下边衬与上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少吗左、右边衬的宽度之比是多少吗？请你推一推：？请你推一推： 设中央的矩形的长和宽分别是设中
49、央的矩形的长和宽分别是9acm和和7acm.由此由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是11(279 )(217 )229(3) 7(3)9 7aaaa 设上、下边衬的宽均为设上、下边衬的宽均为9xcm，而不是设为，而不是设为x cm，这样做有什么好处？，这样做有什么好处？列出的方程为整数式，方便计算列出的方程为整数式，方便计算 解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，解方程时课本上先把方程整理成了一般形式，然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？然后再用公式法求解，你有更简便解法吗？原方程可化为原方程可化为xxxx 239(32 ) 7(32 )272142
50、763 3(32 ),44 方程的哪个根符合实际意义？为什么？方程的哪个根符合实际意义？为什么？ 符合实际意义，因为符合实际意义，因为 时时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况实际情况.63 34x 63 34x 如果设中央矩形的长为如果设中央矩形的长为9x，根据课本上的等量，根据课本上的等量关系，请你列方程求解，你的解法是：关系，请你列方程求解，你的解法是：设中央矩形的长为设中央矩形的长为9xcm.则宽为则宽为7xcm.列方程得列方程得 .即即x2= ,解得解得 (舍去舍去).上下边衬的宽为上下边衬的宽为 (cm)左右边衬的宽为左