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1、 最短距离系列之最短距离系列之 将军饮马问题问题 唐代诗人李欣的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中蕴含着一个有趣的数学问题：如图，诗中的将军在观望烽火之后，从山脚下的A点出发，走到河边给马饮水后，再到B点宿营，请问怎样走才能使走的总路程最短？AB河流一、解题策略（两定一动）在直线的异侧图解：已知直线l和在直线l的异侧有两点A和点B，在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小ABPl具体步骤：连接AB与直线l的交点P即为所求，此时PA+PB的值最小。依据：两点之间，线段最短。一、解题策略（两定一动）在直线的同侧具体步骤：1、找动点所在的直线；依据：两点之间，线段最短。图解：
2、已知直线，在直线的同侧有两点A和点B，在直线上找一点P，使PA+PB的值最小。如果点A在河流的对岸，那么直走就是最短的，所以河同岸的问题转化成河两岸的问题ABllABAP 2、作两个定点中其中一个定点关于动点所在直线的对称点； 3、连接对称点与另一个定点，与直线的交点即为动点所处在此位置时距离 和最短。 此时对称点与另一个定点的连线就是最短距离。知识应用：知识应用：例题1例题2学学以以致致用用一、二、三、四、五、中考链接二、解题策略（一定两动一）二、解题策略（一定两动一）依据：（1）垂线段最短（斜边大于直角边）图解：已知直线l和k,一定点A,在直线l和k分别找一点P和点B，使得AP+PB的值最
3、小。具体步骤：1、作定点A关于l的对称点A；2、过点A作AB直线k，交直线k于点B，交直线l与点P,此时AP+PB的最小值就是AB的长度。二、解题策略（一定两动二）二、解题策略（一定两动二）图解：已知直线l和k,一定点A,在直线l和k分别找一点P和点B，使得PAB的周长最小。具体步骤：1、分别作点A关于直线l和k的对称点A和A；2、连接AA，交直线l于点P，交直线k于点B，此时PAB的周长最小。依据：（1）两点之间，线段最短。知识拓展：知识拓展：( (两定两动一两定两动一) )图解：已知直线l和k,两定点A和B,在直线l和k分别找一点M和点N，使得四边形ABNM的周长最小。具体步骤：1、分别作
4、点A关于直线l的对称点A，点B关于直线k的对称点B；2、连接AB，交直线l于点M，交直线k于点N，此时四边形ABNM的周长最小。依据：（1）两点之间，线段最短。知识应用例1例二、如图：BD平分ABC，E,F分别为线段BC,BD上的动点，AB=5,ABC的面积是20，求EF+CF的最小值。第一问要求两个常数a和c，只需代入A点和C点的坐标。即可求出。第二问要求AM+AN（一定两动）的值，AM,AN在AMN中，第三边MN也不确定，所以不能求出最小值。所以需要把AM、AN等量代换到另一个三角形中，并且第三边是一个确定的值。思路分析：由已知条件可知，CM=BN,AC=BC，利用全等，所以连接DN，证明
5、ACM和BDN全等，得到AM=DN，此时问题转化成求AN+DN的最小值，只要点A，D，N三点在一条直线上即可。2018南宁市中考数学压轴题三、解题策略（两定两动二）ABdl三、解题策略（两定两动二）ABldAANM具体步骤： 作定点A关于直线l的对称点A，将点A向右平移长度d得到点A，连接AB，交直线l于点N,将点N向左平移长度d，得到点M.依据：两点之间线段最短。平行四边形的对边相等。 以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定两动”、“一定两动”、“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化成直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法求解。 当然，有时候，我们也需要学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称。课堂演练：一、二、