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1、第三章 直线与方程v1、自学课件；v2、可脱离课本，达到最好的教学效果；v3、祝各位同学练就融会贯通的能力！3.1.13.1.1直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率3.1直线的倾斜角与斜率开场白论数形结合论数形结合: : 数与形数与形, ,本是相倚依本是相倚依, , 焉能分作两边飞焉能分作两边飞; ; 数缺形时少直觉数缺形时少直觉, , 形少数时难入微形少数时难入微; ; 数形结合百般好数形结合百般好, , 隔离分家万事休隔离分家万事休; ;切莫忘切莫忘, , 几何代数统一体几何代数统一体, ,永远联系永远联系, , 切莫分离切莫分离. .华罗庚华罗庚小游戏：黄金矿工小游戏：黄金矿工 游戏成功
2、过关的秘诀是什么？玩玩看玩玩看想想看想想看yoxl提问提问1：在平面直角坐标系内，如何确定一条在平面直角坐标系内，如何确定一条直线呢？直线呢？提问提问2：那么过一点可以画多少条直线？那么过一点可以画多少条直线？ PQ提问提问3：这些直线有何异同点？这些直线有何异同点？ 提问提问4：过一点再加什么条件就可以确定直线？过一点再加什么条件就可以确定直线？ 直线倾斜角的定义：yoxPl 当直线当直线 与与 轴相交时轴相交时，我们取我们取 轴作为轴作为基准基准， 轴正向与直线轴正向与直线 向上方向之间所成的向上方向之间所成的角角 叫做直线的叫做直线的倾斜角倾斜角.xxxll 当直线当直线 与与 轴相交时
3、轴相交时，我们取我们取 轴作为轴作为基准基准， 轴正向的单位向量与直线轴正向的单位向量与直线 向上方向向上方向的单位向量之间所成的角的单位向量之间所成的角 叫做直线的叫做直线的倾斜角倾斜角.xxxll倾斜角的向量法定义倾斜角的向量法定义poyxlypoxlpoyxlpoyxl规定：当直线和规定：当直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为轴平行或重合时，它的倾斜角为0.标出下列直线的倾斜角标出下列直线的倾斜角看图说话看图说话:直线倾斜角的范围直线倾斜角的范围), 0辨一辨辨一辨: :你认为下列说法对吗？你认为下列说法对吗？1、在平面直角坐标系内，每一条直线都有、在平面直角坐标系内，每一条直线都有一个
4、确定的倾斜角与它对应。一个确定的倾斜角与它对应。对错2、在平面直角坐标系内，每一个倾斜角都对、在平面直角坐标系内，每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。应于唯一的一条直线。倾斜角倾斜程度 一点一点+ +倾斜角倾斜角 确定一条直线确定一条直线 结论结论: :在平面直角坐标系内，在平面直角坐标系内，(形形)生活中有关倾斜程度的问题生活中有关倾斜程度的问题飞机起飞飞机起飞斜拉桥斜拉桥炮弹射击炮弹射击楼梯楼梯仁仁皇皇阁阁效效果果图图坡度度 在生活中，我们经常用在生活中，我们经常用“升高量与前进量的比升高量与前进量的比”表示倾斜面的表示倾斜面的“坡度坡度”（倾斜程度），即（倾斜程度），即升高量前进量A B
5、 C D ABBCACkABBDADktantan坡度坡度=升高量升高量前进量前进量设直线的倾斜程度为设直线的倾斜程度为k直线的斜率直线的斜率我们把一条直线的倾斜角我们把一条直线的倾斜角的的正切值正切值叫做叫做这条直线的这条直线的斜率斜率.常用小写字母常用小写字母表示表示,即即aktank思考思考：（：（1）是否所有的直线都有倾斜角？是否所有的直线都有倾斜角？（2）是否所有的直线都有斜率？）是否所有的直线都有斜率？ako倾斜角为倾斜角为的直线的直线,斜率不存在斜率不存在.2探究一探究一 倾斜角与斜率的关系倾斜角与斜率的关系完成下表，并描点完成下表，并描点.64324365k0330133133
6、不存不存在在ak0232tank,22, 0/2ak0倾斜角与斜率的关系倾斜角与斜率的关系k =0k不存在不存在k0递增递增tank,22, 02=0022),(111yxP),(222yxPxyo锐角锐角 ),(121221yyxxPP),(121221yyxxPPOPPxxyy1212tan根据正切函数的定义：根据正切函数的定义： 已知直线上两点：已知直线上两点：P P1 1（x x1 1，y y1 1），）， P P2 2（x x2 2，y y2 2），），如何求斜率如何求斜率 ？)( ,tan21xxk其中探究二探究二斜率公式斜率公式xyo),(111yxP),(222yxP钝角钝角
7、P),(121221yyxxPPOP1212tanxxyyk根据正切函数的定义：根据正切函数的定义：思考：思考：当当 的位置对调时，的位置对调时， 值又如何值又如何呢？呢？ xyo(3),(111yxP),(222yxPyox(4),(111yxP),(222yxP21ppk2121tanxxyyk1212xxyy想一想想一想?1、当直线平行于、当直线平行于x轴，上述公式还适用吗？轴，上述公式还适用吗？xyo),(111yxP),(222yxP1x2x1212xxyyk答：成立，因为分子为答：成立，因为分子为0，分母不为，分母不为0，所，所以以K=0 .xyo),(111yxP),(222yx
8、P1y2y1212xxyyk答：不成立，因为分母为答：不成立，因为分母为0.想一想想一想?2、当直线垂直于、当直线垂直于x轴，上述公式还适用吗？轴，上述公式还适用吗？直线的斜率公式直线的斜率公式综上所述，我们得到经过两点),(111yxP)(21xx ),(222yxP的直线的斜率公式：)(21211212xxyykxxyyk或2P2P1P1P和谐和谐(数数)倾斜角倾斜角斜率斜率(形形)联姻联姻学以致用，举一反三学以致用，举一反三 、如图，已知、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求，求直线直线AB、BC、CA的斜率，并判断这的斜率，并判断这 些直线些直线的倾斜角是什么角？
9、的倾斜角是什么角？ 直线直线AB的斜率的斜率71)4(312ABk2104) 1(1BCk13021CAk直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率直线直线CA的倾斜角为锐角。的倾斜角为锐角。直线直线BC的倾斜角为钝角，的倾斜角为钝角，解解： 0CAk直线直线AB的倾斜角为锐角，的倾斜角为锐角， 0BCk例10ABk数数形形变式变式1：点：点B的坐标改为（的坐标改为（-4，2），此时直线），此时直线AB的的斜率和倾斜角分别是多少？斜率和倾斜角分别是多少？变式变式2：点：点B的坐标改为（的坐标改为（3，1），此时直线），此时直线AB的的斜率和倾斜角分别是多少？斜率和倾斜角分别是多少？ 例例
10、1 、如图，已知如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直，求直线线AB、BC、CA的斜率，并判断这的斜率，并判断这 些直线的倾斜角些直线的倾斜角是什么角？是什么角？斜率为斜率为0倾斜角为倾斜角为0.斜率不存在斜率不存在倾斜角为倾斜角为.2已知 都是正实数，并且 ，求证：.bambmamba、ba 学以致用学以致用yx0 xyA(-m,-m)A(-m,-m)B(b,a)B(b,a) 证明证明 : 如图，在平面直角坐标系内，如图，在平面直角坐标系内， 设点设点 , 点点 ，由由m0和和0ab知点知点A在在 y=x在第三象限的图像上，在第三象限的图像上，点点B在在 y=x在第一象
11、限的在第一象限的图像的下方，于是可得斜率图像的下方，于是可得斜率mmA,abB ,OBABkk.bambma即证即证例例2 2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为斜率分别为1 1，-1-1，2 2和和-3-3的直线的直线 。4321,llll及Oxy3l1l2l4lA3A1A2A4解：解：（待定系数法（待定系数法）设直线上另一点设直线上另一点A1(1,(1,y y) )1010yk1y则：则：所以过原点和所以过原点和A1 ( (1,11,1) )画直线即可画直线即可说明：也可设其它特殊说明：也可设其它特殊点点反思小结，画龙点睛反思小结，画龙点睛 同学
12、们这节课有何收获？同学们这节课有何收获？形与数的联姻倾斜角与斜率联联姻姻关关系系 结束语：结束语：华罗庚论数形结合华罗庚论数形结合: 数与形数与形,本是相倚依本是相倚依,焉能分作两边飞焉能分作两边飞;数缺形时少直觉数缺形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;数形结合百般好数形结合百般好,隔离分家万事休隔离分家万事休;切莫忘切莫忘,几何代数统一体几何代数统一体,永远联系永远联系,切莫分离切莫分离.数缺形时少直觉数缺形时少直觉,形少数时难入微形少数时难入微;我们可以选择有困难绕过去，有障碍我们可以选择有困难绕过去，有障碍绕过去，也许这样做事情更加顺利绕过去，也许这样做事情更加顺利!思考题：思考题
13、：若直线的斜率k满足： ,则直线的倾斜角的范围是 333k/2xy03333(,)( 3,)3 ),32)6, 0变式：变式：若若 ，则，则K K的取值范围的取值范围_ )65,3(思考题：思考题：为什么利用正切函数来刻画直线为什么利用正切函数来刻画直线的倾斜程度？的倾斜程度？ 3.1.2 3.1.2 两条直线平行两条直线平行 与垂直的判定与垂直的判定复习复习1：直线的倾斜角 斜率 斜率公式定义范围180,0三要素)90(tank,k ,k )(211212xxxxyykoxy有平行,相交两种复习复习2：平面上两条直线位置关系平面上两条直线位置关系我们设想如何通过直线的斜率来判定这两种位置关系
14、我们设想如何通过直线的斜率来判定这两种位置关系.O Oy yx xl1 1l2 21 12 2思考思考1:1:若两条不同直线的倾斜角相等，这两条直线的位置关系如何？若两条不同直线的倾斜角相等，这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？反之成立吗？探究（一）：两条直线平行的判定探究（一）：两条直线平行的判定思考思考2:2:若两条不同直线的斜率相等，这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？若两条不同直线的斜率相等，这两条直线的位置关系如何？反之成立吗？ L1/ L2 前提前提:两条直线不重合两条直线不重合直线倾斜角相等直线倾斜角相等k1=k2或或k1，k2都不存在都不存在L1/ L2 两条直线平行，它们
15、的斜率相等吗？结论结论1:当当L1/ L2时，有时，有k1=k2，或或k1，k2都不存都不存在，那么在，那么L1 L2时时，k1与与k2满足什么满足什么关系？关系？yx12探究（二）两条直线垂直的判定探究（二）两条直线垂直的判定L1 L2 k1k2=1或直线或直线L1 与与 L2中有中有一条斜率为零一条斜率为零,另一条另一条斜率不存在斜率不存在两条直线垂直，一定是它们的斜率两条直线垂直，一定是它们的斜率乘积为乘积为1这种情况吗？这种情况吗？结论结论2:例题讲解例题讲解 例例1 1 已知已知A A、B B、C C、D D四点的坐标，四点的坐标， 试判断直线试判断直线ABAB与与CDCD的位置关系
16、的位置关系. .（1 1）A A（2 2，3 3），）， B B（4 4，0 0），）， C C（3 3，l l）, D, D（l l，2 2）；）；（2 2）A A（3 3，2 2），），B B（3 3，1010），）， C C（5 5，2）, D, D（5 5，5 5）. .（3）A（6，0），），B（3，6），），C（0，3），），D（6，6）（4）A（3，4），），B（3，100），），C（10，40）,D（10，40）.例例2.已知已知A（2，3），），B（-4，0），），P（-3，1），），Q（-1，2），试判断直线），试判断直线BA与与PQ的位置关系，的位置关系，并证明你的结论。
17、并证明你的结论。AXYBPQ 例例3 3 已知四边形已知四边形ABCDABCD的四个顶点的四个顶点 分别为分别为A A（0 0，0 0），），B B（2 2，1 1），）， C C（4 4，2 2），），D D（2 2，3 3），试判断四），试判断四 边形边形ABCDABCD的形状，并给出证明的形状，并给出证明. .例例4、已知、已知A（-6，0），），B（3，6），），P（0，3）Q（6，6），判断直线），判断直线AB与与PQ的位置关系。的位置关系。例例5、已知、已知A（5，-1），），B（1，1），），C（2，3）三点，试判断）三点，试判断ABC的形的形状。状。￥例例6 6 已知点已知点A
18、 A（m m，1),B(-31),B(-3，4),4),C C（1 1，m),Dm),D（1 1，m m1),1),分别分别在下列条件下求实数在下列条件下求实数m m的值的值: :（1 1）直线）直线ABAB与与CDCD平行；平行；（2 2）直线）直线ABAB与与CDCD垂直垂直. .学完一节课或一个内容，应当及时小结小结，梳理知识一、知识内容上一、知识内容上L1/ L2 k1=k2（前提（前提:两条直线不重合,斜率都存在）L1 L2 k1k2= -1（前提：（前提：两条直线都有斜率，并且都不等于零.）二、思想方法上二、思想方法上（1）运用代数方法研究几何性质及其相互位置关系（2）数形结合的思
19、想作业作业: :P89P89练习：练习：1 1，2.2.P90P90习题习题3.1 A3.1 A组：组：8.8. B B组：组：3 3，4.4.3.2直线的方程v3.2.1直线的点斜式方程2022-4-1646兴山一中高一数学组兴山一中高一数学组472022-4-16教学目的教学目的 v使学生掌握点斜式方程及其应用，掌握斜截式方程及其应用，知道什么是直线在y轴上的截距。 v教学重点教学重点：点斜式方程、斜截式方程及其应用。 v教学难点教学难点：斜截式方程的几何意义。 482022-4-16平行平行：对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线l l1 1、l l2 2，其，其斜率分别为斜率分别为k
20、 k1 1、k k2 2，有，有l l1 1ll2 2 k k1 1k k2.2.垂直垂直：如果两条直线如果两条直线l l1 1、l l2 2都有斜率都有斜率，且，且分别为分别为k k1 1、k k2 2，则有，则有l l1 1ll2 2 k k1 1k k2 2=-1=-1. .条件条件：不重合不重合、都有斜率都有斜率条件条件：都有斜率都有斜率492022-4-16 如果以一个方程的解为坐标的如果以一个方程的解为坐标的点都上某条直线上的点，反过来，点都上某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫方程的解，那么，这个方程就叫做这
21、条做这条直线的方程直线的方程，这条直线就，这条直线就叫做这个叫做这个方程的直线方程的直线. .直线方程的概念直线方程的概念502022-4-16已知直线已知直线l经过已知点经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率），并且它的斜率是是k，求直线，求直线l的方程。的方程。lOxy.P1根据经过两点的直线斜率根据经过两点的直线斜率公式，得公式，得11xxkyy可化为11xxyykP .1、直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：设点设点P（x，y）是直线）是直线l上上不同于不同于P1的任意一点。的任意一点。512022-4-161、直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：(1)、当直线、当直线l的倾斜角是
22、的倾斜角是00时，时，tan00=0,即即k=0，这时直线，这时直线l与与x轴平行或重合轴平行或重合l的方程：的方程：y-y1=0或或y=y1(2)、当直线、当直线l的倾斜角是的倾斜角是900时，时，直线直线l没有斜率，这时直线没有斜率，这时直线l与与y轴平行或重合轴平行或重合l的方程：的方程：x-x1=0或或x=x1Oxyx1lOxyy1l522022-4-16点斜式方程的应用：点斜式方程的应用：例例1：一条直线经过点：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角），倾斜角=450，求这条直线的方程，并画出图形。，求这条直线的方程，并画出图形。解：这条直线经过点解：这条直线经过点P1（-2，3）,
23、斜率是斜率是k=tan450=1代入点斜式得代入点斜式得y3=x+2Oxy-55P1532022-4-161 1、写出下列直线的点斜式方程：、写出下列直线的点斜式方程：练习练习2),1, 3() 1 (斜率是经过A030),2 ,2()2(倾斜角是经过B2 2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角：率和倾斜角：(1)y-2 = x-1(1)y-2 = x-1332)2(xy00),5 , 0()3(倾斜角是经过C542022-4-16Oxy.(0,b) 2、直线的斜截式方程：、直线的斜截式方程：已知直线已知直线l的斜率是的斜率是k，与，与y轴的交点是轴的
24、交点是P（0，b），求直线方程。），求直线方程。代入点斜式方程，得代入点斜式方程，得l的直线方程：的直线方程：y-b=k（x-0）即即y=kx+b。(2)直线直线l与与y轴交点轴交点(0,b)的纵坐标的纵坐标b叫做直线叫做直线l在在y轴轴上的上的截距截距。方程方程(2)是由直线的斜率是由直线的斜率k与它在与它在y轴上的截距轴上的截距b确定，所以方程确定，所以方程(2)叫做直线的叫做直线的斜截式方程斜截式方程，简，简称称斜截式斜截式。552022-4-16斜截式方程的应用：斜截式方程的应用：例例2：斜率是斜率是5，在，在y轴上的截距是轴上的截距是4的的直线方程直线方程。解：由已知得解：由已知得k
25、=5，b=4，代，代入斜截式方程入斜截式方程y=5x+4斜截式方程斜截式方程:y=kx+b几何意义几何意义：k是直线的斜率，是直线的斜率，b是直线是直线在在y轴上的截距轴上的截距562022-4-16练习练习3 3、写出下列直线的斜截式方程：、写出下列直线的斜截式方程：2,23) 1 (轴上的截距是在斜率是y4, 2)2(轴上的截距是在斜率是y572022-4-16练习练习4、已知直线、已知直线l过过A（3，-5）和）和B（-2，5），），求直线求直线l的方程的方程解：解：直线直线l过点过点A（3，-5）和）和B（-2，5）23255lk将将A（3，-5），），k=-2代入点斜式，得代入点斜式
26、，得y(5)=2(x3)即即2x+y1=0582022-4-16例题分析：例题分析：?l(2) ?l ) 1 ( :,: 32121222111的条件是什么的条件是什么试讨论已知直线例llbxkylbxkyl1l ,l 2121212121kklbbkkl且222111:,:bxkylbxkyl592022-4-16练习练习判断下列各直线是否平行或垂直判断下列各直线是否平行或垂直(1)(2)11:32lyx21:22lyx15:3lyx 23:5lyx 602022-4-16直线的点斜式，斜截式方程在直线的点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时直线斜率存在时才可以应用。才可以应用。直线方程的最后形
27、式应表示成二元一次方程的一般形式。直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。斜截式方程斜截式方程:y=kx+b几何意义几何意义：k是直线的斜率，是直线的斜率，b是直线在是直线在y轴上的轴上的截距截距点斜式方程：点斜式方程：y-y1=k(x-x1)1l ,l / 2121212121kklbbkkl且直线直线L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b2612022-4-16练习练习5、求过点（、求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。直角三角形的直线方程。解：解：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形直线与坐标轴组成一等腰直角三角形k=1直线过点（
28、直线过点（1，2）代入点斜式方程得）代入点斜式方程得y-2=x-1或或y（）（）即即0或或0622022-4-16练习练习巩固：巩固：经过点（经过点（-，2）倾斜角是）倾斜角是300的直线的方程是的直线的方程是（A）y=（x2）（B）y+2=（x）（C）y2=（x）（）（D）y2=（x）已知直线方程已知直线方程y3=（x4），则这条直线经过的已知），则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是点，倾斜角分别是（A）（）（4，3）；）；/3（B）（）（3，4）；）；/6（C）（）（4，3）；）；/6（D）（）（4，3）；）；/3直线方程可表示成点斜式方程的条件是直线方程可表示成点斜式方程的条件是（A）直
29、线的斜率存在）直线的斜率存在（B）直线的斜率不存在）直线的斜率不存在（C）直线不过原点）直线不过原点（D）不同于上述答案）不同于上述答案222223333333632022-4-16 已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）。.ACBOxyDD642022-4-16注意：注意：直线上任意一点直线上任意一点P与这条直线上与这条直线上一个定点一个定点P1所确定的斜率都相等。所确定的斜率都相等。当当P点与点与P1重合时，有重合时，有x=x1，y=y1，此时，此时满足满足y-y1=k（x-x1），所以直线），所以直线l上
30、所有点的坐上所有点的坐标都满足标都满足y-y1=k（x-x1），而不在直线），而不在直线l上的点，上的点，显然不满足（显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足即不满足y-y1=k（x-x1），因此），因此y-y1=k（x-x1）是直线）是直线l的的方程。方程。如直线如直线l过过P1且平行于且平行于x轴，则它的斜率轴，则它的斜率k=0，由点斜式由点斜式知方程为知方程为y=y0;如果直线如果直线l过过P1且平行且平行于于Y轴，此时它的倾斜角是轴，此时它的倾斜角是900，而它的斜率不，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线上任一点的横坐
31、标线上任一点的横坐标x都等于都等于P1的横坐标所以的横坐标所以方程为方程为x=x1P为直线上的任意一点，它的为直线上的任意一点，它的位置与方程无关位置与方程无关OxyP1P3.2.2直线的两点式方程直线的两点式方程y=kx+by-y0=k(x-x0)1).直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：2).直线的斜截式方程：直线的斜截式方程：k为斜率，为斜率，P0(x0,y0)为直线经过的点为直线经过的点k为斜率，为斜率，b为截距为截距一、复习、引入一、复习、引入解：设直线方程为：解：设直线方程为：y=kx+b.例例1.已知直线经过已知直线经过P1(1,3)和和P2(2,4)两点，求直线的方程两点，求直
32、线的方程一般做法：一般做法：bkbk324由已知得：由已知得：12kb解方程组得：解方程组得：所以，直线方程为所以，直线方程为:y=x+2Oxyp.Q.123413xy简单的做法：简单的做法：化简得：化简得：x-y+2=0还有其他做法吗？为什么可以这样做，这样做为什么可以这样做，这样做的根据是什么？的根据是什么？Oxyp.Q.k kPPPP1 1= k= kP P1 1P P2 2123413xy即：即： 得得:y=x+2:y=x+2设设P(x,y)P(x,y)为直线上不同于为直线上不同于P P1 1 ， P P2 2的动点，与的动点，与P P1 1(1,3)P(1,3)P2 2(2,4)(2
33、,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：在同一直线上，根据斜率相等可得：二、直线两点式方程的推导二、直线两点式方程的推导Oxyp.Q.已知两点已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这，求通过这两点的直线方程两点的直线方程解：设点解：设点P(x,y)是直线上不同于是直线上不同于P1 ， P2的的点点121121xxxxyyyy可得直线的两点式方程：可得直线的两点式方程：121121yyyyxxxxkPPPP1 1= kP P1 1P P2 2记忆特点：记忆特点：推广推广左边全为左边全为y，右边全为，右边全为x两边的分母全为常数两边的分母全为常数分子，分母中的减数相同分
34、子，分母中的减数相同不是不是! ! 121121xxxxyyyy是不是已知任一直线中的两点就是不是已知任一直线中的两点就能用两点式能用两点式写出直线方程呢？写出直线方程呢？两点式不能表示平行于坐标轴或两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线与坐标轴重合的直线注意：注意：当当x x1 1 x x2 2或或y y1 1= = y y2 2时，直线时，直线P1 P2没没有两点式方程有两点式方程. .( 因为因为x x1 1 x x2 2或或y y1 1= = y y2 2时，时，两点式的分母为零，没有意义两点式的分母为零，没有意义) 那么两点式不能用来表示哪些直那么两点式不能用来表示哪些直线的
35、方程呢？线的方程呢？三、两点式方程的适应范围三、两点式方程的适应范围若点若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有中有x1 x2 , ,或或y1= y2, ,此时过这两点此时过这两点的直线方程是什么？的直线方程是什么？当当x1x2时时方程为：方程为：xx当当y1=y2时时方程为：方程为：y=yOxyOxy例例2 2：如图，已知直线：如图，已知直线 l l 与与x x轴的交点为轴的交点为A(a,0),A(a,0),与与y y轴的交点为轴的交点为B(0,b),B(0,b),其中其中a0,b0,a0,b0,求直线求直线l l 的方程的方程解：将两点解：将两点A(a,0), B(0
36、,b)的坐标代入两点式的坐标代入两点式,得得：0,00yxaba1.xyab即即所以直线所以直线l l 的方程为：的方程为：1 .xyab四、直线的截距式方程四、直线的截距式方程Oxyab截距可是正数截距可是正数, ,负数和零负数和零注意注意：不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 直线与直线与x x轴的交点轴的交点(o,a)(o,a)的横坐标的横坐标a a叫做直线在叫做直线在x x轴上的截距轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？1.xyab截距式直线方程截距式直线方程: 直线与直线与y y轴的交点轴的交
37、点(b,0)(b,0)的纵坐标的纵坐标b b叫做直叫做直线在线在y y轴上的截距轴上的截距 过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条等的直线有几条? ?解解:两条两条例例3:3:那还有一条呢？那还有一条呢？y=2x (与与x轴和轴和y轴的截距都为轴的截距都为0)所以直线方程为：所以直线方程为：x+y-3=0a=3121aa把把(1,2)代入得：代入得：1xyaa设设直线的方程为直线的方程为:解：解：三条三条 过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条距的绝对值相等的直线有几条? ?解得：解得
38、：a=b=3或或a=-b=-1直线方程为：直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或或y=2x1xyabab设设 例例4:4:已知三角形的三个顶点是已知三角形的三个顶点是A(A(5 5，0)0)，B(3B(3，3)3)，C(0C(0，2)2)，求，求BCBC边所在的直线边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。方程，以及该边上中线的直线方程。解：过解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：两点式方程为：203230yx 整理得：整理得：5x+3y-6=0这就是这就是BC边所在直线的方程。边所在直线的方程。五、直线方程的应用五、直线方程的应用3032,22 BC边上的中线是顶点边上的中
39、线是顶点A与与BC边中点边中点M所连所连线段，由中点坐标公式可得点线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：的坐标为：31,22即即整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程。05130522yx 过过A(-5,0),M 的直线方程的直线方程31,22M中点坐标公式：中点坐标公式：则则121222xxxyyyB(3,-3),C(0,2)M3032,22 M思考题：思考题：已知直线已知直线l l 2x+y+3=0,2x+y+3=0,求关于点求关于点A(1,2)A(1,2)对称的对称的直线直线l l 1 1的方程。的方程。 解：当解：当x=0 x=0时，y=-3y=-3. (0,-3
40、) (0,-3)在直线在直线l l上，关于上，关于(1,2)(1,2)的对称点为的对称点为(2,7)(2,7). OxyA.当当x=-2x=-2时，时，y=1y=1. (-2,1) (-2,1)在直线在直线l l上，关于上，关于(1,2)(1,2)的对称点为的对称点为(4,3)(4,3). 那么，点那么，点 (2,7) (2,7) ，(4,3)(4,3)在在l l 1 1上上因此，直线因此，直线l l 1 1的方程为：的方程为：723742yx化简得化简得:2x+y-11=0还有其它的方法吗？还有其它的方法吗？ l l l l 1 1，所以所以l l 与与l l 1 1的斜率相同，的斜率相同，
41、 k kl l1 1=-2=-2经计算，经计算，l l 1 1过点过点(4,3)(4,3)所以直线的点斜式方程为：所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)y-3=-2(x-4)化简得：化简得： 2x+y-11=03)3)中点坐标：中点坐标：121222xxxyyy小结：小结：121121yyyyxxxx1)1)直线的两点式方程直线的两点式方程2)2)两点式直线方程的适应范围两点式直线方程的适应范围3.2.32022-4-162022-4-16 (一)填空名称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x,y轴的直线不垂直于x,y轴的直线
42、不过原点的直线(x0,y0) , kk,y轴上截距b(x1,y1)(x2,y2)x轴上截距ay轴上截距by-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1过点 与x轴垂直的直线可表示成 ， 过点 与y轴垂直的直线可表示成 。）（00, yx）（00, yx0 xx0yy 2022-4-16（二）填空1过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是_ 2过点(2,1)，斜率为0的直线方程是_ 3过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是_ y-1=2(x-2)y=1x=2思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程? 所有的直线方程是否都是二元一次方程？所有的直线方程是否
43、都是二元一次方程？2022-4-16思考2：对于任意一个二元一次方程 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？0CByAxB 时,方程变为 y=-ABx-CB 表示过点(0,-CB),斜率为-AB的直线B=0 时,方程变为 x=-CA 表示垂直于x轴的一条直线)0A（2022-4-16总结:由上面讨论可知由上面讨论可知, ,(1)(1)平面上任一条直线都可以用一个关于平面上任一条直线都可以用一个关于x,yx,y的的二元一次方程表示二元一次方程表示, ,(2)(2)任一关于任一关于x,yx,y的二元一次方程都表示一条的二元一次方程都表示一条直线直线. . 2022-4-16 我们把关于我们把关于
44、x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,BAx+By+C=0 (A,B不同时为零不同时为零) ) 叫做叫做直线的一般式方程直线的一般式方程, ,简称简称一般式一般式1.1.直线的一般式方程直线的一般式方程2022-4-16例例1：已知直线经过点：已知直线经过点A（6，-4），斜率），斜率为为4/3，求直线的点斜式、一般式和截距，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。式方程。解：经过点解：经过点A（6，-4）并且斜率等于）并且斜率等于-4/3的直线方程的点斜式是的直线方程的点斜式是y+4=-4/3（x6）143yx化成一般式，得化成一般式，得4x+3y12=02022-4
45、-16例例2根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：式：2.在x轴,y轴上的截距分别是32,-3;1.经过点P(3,-2),Q(5,-4);y+2-4+2=x-35-3x+y-1=02x-y-3=01332xy2022-4-162 2.二元一次方程的系数和常数项对直二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响线的位置的影响2022-4-16探究：在方程探究：在方程中，中，1.当当时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴轴；2.当当时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴垂轴垂直；直；3.当当时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴
46、轴_；4.当当时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与y轴重合轴重合；5.当当时，方程表示的直线过原点时，方程表示的直线过原点.平行重合0AxBy C000ABC，00ABC， 为任意实数000ABC，000ABC，0, ,0CA B不同时为2022-4-163.3.一般式方程与其他形式方程的转化一般式方程与其他形式方程的转化 （一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转化为一般式，把握直线方程一般式的特点转化为一般式，把握直线方程一般式的特点2022-4-16注：对于直线方程的一般式，一般作如下注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含约定：一般
47、按含x x项项、含、含y y项项、常数项常数项顺序顺序排列；排列；x x项的系数为项的系数为正正；x x，y y的系数和常数的系数和常数项一般项一般不出现分数不出现分数；无特别说明时，最好；无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。将所求直线方程的结果写成一般式。 2022-4-16（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法2022-4-16例例3把直线把直线化成斜截式，化成斜截式，求出直线的斜率以及它在求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。轴上的截距。:35150l
48、xy35解：将直线的一般式方程化为斜截式：解：将直线的一般式方程化为斜截式：，它的斜率为：它的斜率为：，它在，它在y轴上的截距是轴上的截距是3335yx 思考：若已知直线思考：若已知直线，求它在，求它在x轴上轴上的截距的截距:35150lxy2022-4-16求直线的一般式方程求直线的一般式方程的斜率和截距的方法：的斜率和截距的方法：（1）直线的斜率）直线的斜率（2）直线在）直线在y轴上的截距轴上的截距b令令x=0，解出，解出值，则值，则(3)直线与直线与x轴的截距轴的截距a令令y=0，解出，解出值，则值，则0(,AxByCA B在都不为零时)BAkBCyBCbACxACa2022-4-16例
49、例4：利用直线方程的一般式，求过点（：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围并且与坐标轴围成三角形面积是成三角形面积是6的直线方程。的直线方程。解：设直线为解：设直线为Ax+By+C=0，直线过点（直线过点（0，3）代入直线方程）代入直线方程得得3B=-C，B=C/3A=C/4又直线与又直线与x，y轴的截距分别为轴的截距分别为x=-C/A ,y= -C/B由三角形面积为由三角形面积为6得得122ABC方程方程为034 CyCxC所求直线方程为所求直线方程为3x-4y+12=0或或3x+4y-12=0 xOy32022-4-16小结小结点斜式点斜式00()yyk xx斜率斜率和和一
50、点坐标一点坐标斜截式斜截式ykx b斜率斜率k和和截距截距b两点坐标两点坐标两点式两点式点斜式点斜式两个截距两个截距截距式截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yyk xx化成一般式化成一般式0AxByC3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1 3.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标ks5u精品课件?,0 : 0: 22221111的坐标如何求这两条直线交点相交已知两条直线CyBxAlCyBxAl平行相交无解唯一解解方程组直线212121,llllll问题问题1 1：方程组解的情况与方程组所表示的两条：方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？直线的