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1、4.4 解直角三角形的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（XJ） 教学课件第1课时 仰角、俯角问题第4章 锐角三角函数1.巩固解直角三角形相关知识；2.能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角的问题(重点)学习目标导入新课导入新课 某探险者某天到达如图所示的点A 处时，他准备估算出离他的目的地海拔为3 500 m的山峰顶点B处的水平距离.他能想出一个可行的办法吗？ 通过这节课的学习，相信你也行.AB观察与思考讲授新课讲授新课仰角、俯角问题一 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.如图，如果测得点A的海拔AE为160
2、0m，仰角BAC=40，求出A，B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）.做一做 如右图所示，BD表示点B的海拔，AE 表示点A的海拔，ACBD，垂足为点C. 先测量出海拔AE，再测出仰角BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC如图， BD=3500m,AE=1600m,ACBD,BAC=40 在RtABC中，因此，A，B两点之间的水平距离AC约为2264m.40tantanACAEBDACBCBAC3500-16000.83912264(m)ACAC例1 如图所示，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角BAC为25(在视线与水平线所成的角中，视线
3、在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高BD.（结果精确到1m.）如图，在RtABC中，BAC =25，AC =1000m，因此答：上海东方明珠塔的高度BD为468 m.从而 BC=1000tan25466.3（m）因此，上海东方明珠塔的高度 BD=466.3+1.7=468（m） tan251000BCBCAC例2 如图所示，为了测量山的高度AC，在水平面B处测得山顶A的仰角为30，ACBC，自B沿着BC方向向前走1000m，到达D处，又测得山顶A的仰角为45，求山高(结果保留根号)分析：要求AC，无论是在RtACD中，还是在RtABC中
4、，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.解：在RtABC中，3= tan= tan30 =,3ACBBC=3.BCAC 在RtACD中，= tan= tan45 = 1,ACADCDC=.DCACBDBCDC=3-ACAC()=3 -1= 1000AC()()1000= 5003 +1m .3 -1AC例3 如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30，则地面目标B，C之间的距离是_解析：由题意可知，在RtABC中，B90，CCAD30，AB1
5、000m，()1000=1000 3 m .tantan30ABBCC【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形 在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解方法总结例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，a=30,=60.RtABD中，a =3
6、0，AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BCABCD仰角水平线俯角仰角和俯角相关综合的测量与计算二解：如图，a = 30,= 60， AD120tan,tanBDCDaADADtan120 tan30BDADa312040 33tan120 tan60CDAD1203120 340 3120 3BCBDCD160 3277.1答：这栋楼高约为277.1m.ABCD建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABCD40m5445ABCD40m5445解：在等腰三角形BC
7、D中ACD=90，BC=DC=40m.在RtACD中，AB=ACBC=55.240=15.2答：旗杆的高度为15.2m.练一练tanACADCDCtanACADC DCtan54 40 1.38 40 55.21.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米.2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米.100当堂练习当堂练习20 3图1图2BCBC3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45和30，已知CD=200米，点C在
8、BD上，则树高AB等于 （根号保留）4.如图4，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使CAB=45，则折叠后重叠部分的面积为 （根号保留） 100 13米图3图4222cm5.如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?DABBDCC解：如图，由题意可知， ADB=30，ACB=60， DC=50m.所以 DAB=60，CAB=30，DC=50m .设AB=xm30tanBC,60tanBDxx5030tan60tanxx5025 343.3(m)
9、tan 60tan 30 x 43.31.544.845(m)xxBCABCxBDABDtan,tanDABBDCC6.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39（tan390.81）（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；（2）求大楼的高度CD（精确到1米）BEDE解：（1）由题意，ACAB610（米）；（2）DEAC610（米），在RtBDE中，tanBDE故BEDEtan39 因为CDAE，所以CDABDEtan39610610tan39116（米）解直角三角形的应用仰角、俯角
10、的概念课堂小结课堂小结运用解直角三角形解决仰角、俯角问题见本课时练习课后作业课后作业4.4 解直角三角形的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（XJ） 教学课件第2课时 坡度问题第4章 锐角三角函数1.理解并掌握坡度的定义；2.学会用坡度解决实际问题(重点、难点)学习目标导入新课导入新课观察与思考如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？右边的路BD陡些如何用数量来刻画哪条路陡呢？讲授新课讲授新课坡度问题一如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点B时，升高的高度h（即线段BC的长度）与水平前进的距离l（即线段AC 的长度）的比叫作坡度，用字母i表示，即（坡度通常写成1:
11、m的形式）lhi 坡度越大，山坡越陡在上图中，BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的夹角），记作，显然，坡度等于坡角的正切，即 1.斜坡的坡度是 ，则坡角=_度.2.斜坡的坡角是45 ，则坡比是 _.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_.3:1lh301：11: 3练一练典例精析例1 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01，长度精确到0.1m）i=1:2如图，在RtABC中，B=90，A=26.57，AC=240m，因此解:用表示坡角的大小，由题意可得因此26.57.答：这座山坡的坡角约
12、为26.57，小刚上升了约107.3 m从而 BC=240sin26.57107.3（m） 你还可以用其他方法求出BC吗？例1：如图，铁路路基的横断面为四边形ABCD，ADBC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m,斜坡AB与斜坡CD的坡度如图所示，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m）与斜坡的坡角和的值（精确到1）.ABCEDi=1:2.5i=1:1.6解：过点作CFAD于点F,得典例精析FCF=BE,EF=BC,A=,D=. BE=5.8 m 1,1.6BEAE1,2.5CFDF AE=9.28 m ，DF=14.5 m. AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.533
13、.6 m.ABCEFDi=1:2.5i=1:1.6F1tan,1.6i 1tan,2.5i3222 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？hhll探究归纳 我们设法“化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1.hl 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再“积零为整”，把h1,h2,hn相加，于是得到
14、山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容 方法归纳 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l.化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略引例 如图，一船以40km/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60方向上，继
15、续航行 1 h 到达B处，再测得灯塔C在北偏东30方向上.已知灯塔C四周30km 内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？ACB60与方向角有关的实际问题二D【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于 30km .北东解：由点C作CDAB,设CD= x km, 则在RtACD中，在RtBCD中，解得20 334.6430,x 所以，这船继续向东航行是安全的.ACBD3060北东tantan30CDxADCADtantan60CDxBDCBD由AB=AD-BD,得40,tan30tan60 xxAB 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它
16、沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？6534PBCA试一试解：如图 ，在RtAPC中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在RtBPC中，B34sinPCBPB，72.872.8130.23.sinsin340.559PCPBB当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130.23海里6534PBCA利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等
17、去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案方法归纳例2 一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30km，B，C间的距离是60km，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离(结果保留根号)分析：此题针对点P的位置分两种情况讨论，即点P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上典例精析解：分两种情况：(1)如图，在RtBDC中，CD30km，BC60km，B30.PBPC，BCPB30.在RtCDP中，CPDBBCP60.()30=10 3 k
18、m .tantan60CDDPADC在RtADC中，A45，ADDC30km.()=+= 30 +10 3 km.APADDP(2)如图，同理可求得 km，AD30km.()=-= 30-10 3 km.APADDP=10 3DP 求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线方法总结当堂练习当堂练习1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度是1： ，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（ ）A3A.100m C.150m B.100 m D.50 m 332.如图，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A，B两岛的视角AC
19、B等于 90 3.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）. 45304米12米ABCD414. 12,732. 13解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米）， CDEF12（米） 在RtADE中， 在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF4126.9322.93（米）答： 路基下底的宽约为22.93米4tan45DEiAEAE，44()tan45AE米 ，46.93()tan30BF 米 ，45304米12米ABCEFD4.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AHBC，坡
20、角ABC74，坝顶到坝脚的距离AB6 m为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m) 分析： 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长5. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海，径直向B处游去甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去若CD40米，B在C的北偏东35方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数据：sin550.82，cos550.57，tan551.43). 分析： 在RtCDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可解直角三角形的应用坡度问题课堂小结课堂小结方向角问题见本课时练习课后作业课后作业