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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例 1 设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点若3|1PF，则|2PF（）A1或5 B6 C7 D 9 分析： 根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出2|PF的值解：双曲线19222yax渐近线方程为y=xa3，由已知渐近线为023yx，122, |4aPFPF，|4|12PFPF. 12| 3,| 0PFPF，7|2PF. 故选 C归纳小结 ：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法（二）基本
2、量求解例 2(2009山东理 ) 设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线21yx只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A45 B5 C25 D5解析： 双曲线12222byax的一条渐近线为xaby，由方程组21byxayx，消去y，得210bxxa有唯一解，所以=2()40ba，所以2ba，2221()5cabbeaaa，故选 D归纳小结 ：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - -
3、- - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能例 3 （2009 全国理） 设双曲线22221xyab（a0，b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6解析：设切点00(,)P xy，则切线的斜率为00|2x xyx由题意有0002yxx又有2001yx，联立两式解得:2201,2,1()5bbxeaa因此选 C例 4（ 2009 江西）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab) 的两个焦点，若12FF，(0,2
4、)Pb是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A32 B2 C52 D3 解析： 由3tan623cb有2222344()cbca，则2cea，故选 B归纳小结 ：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3tan623cb，体现数形结合思想的应用（三）求曲线的方程例 5（2009，北京） 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站
5、删除word 可编辑为33x（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆225xy上，求m的值分析：（1）由已知条件列出, ,a b c的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值解： （1）由题意，得2333acca，解得1,3ac. 2222bca，所求双曲线C的方程为2212yx（2）设A、B两点的坐标分别为1122,x yxy，线段AB的中点为00,Mxy，由22120yxxym得22220 xmxm（判别式0） ，12000,22xxxm yxmm，点00,Mxy在圆225xy上
6、，2225mm，1m另解： 设A、B两点的坐标分别为1122,x yxy，线段AB的中点为00,Mxy，由221122221212yxyx，两式相减得121212121()()()()02xxxxyyyy. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑由直线的斜率为1，121200,22xxyyxy代入上式，得002yx. 又00(,)Myx在圆上，得22005yx，又00(,)Myx在
7、直线上，可求得m的值 . 归纳小结 ：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力例 6 过(1,1)M的直线交双曲线22142xy于,A B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程分析：求过定点M的直线方程， 只需要求出它的斜率 为此可设其斜率是k， 利用M为弦AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线AB的方程也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解解法一： 显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是k，则方程为1(1)yk x由221421(1)xyyk x消去y得222(12)4 (1)2460kxkk xkk设),()
8、,(221, 1yxByxA，由于M为弦AB的中点，所以1222 (1)1212xxkkk，所以12k显然，当12k时方程的判别式大于零. 所以直线AB的方程为11(1)2yx，即210 xy解法二： 设),(),(221,1yxByxA，则22112222142142xyxy得12121212()()2()()0 xxxxyyyy. 又因为12122,2xxyy，所以12122()xxyy若12,xx则12yy，由12122,2xxyy得121xx，121yy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -
9、第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑则点AB、都不在双曲线上，与题设矛盾，所以12xx所以121212yykxx所以直线AB的方程为11(1)2yx，即210 xy经检验直线210 xy符合题意，故所求直线为210 xy解法三： 设A（xy，） ，由于AB、关于点M（1，1）对称， 所以B的坐标为 （22xy，） ，则2221,42(2)1.2xyy2(2-x)4消去平方项，得210 xy即点A的坐标满足方程，同理点B的坐标也满足方程故直线AB的方程为210 xy归纳总结： 由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲
10、线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在（四）轨迹问题例 7 已知点100(,)P xy为双曲线222218xybb（b为正常数）上任一点，2F为双曲线的右焦点，过1P作右准线的垂线，垂足为A，连接2F A并延长交y轴于2P求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程分析： 求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P是线段1P2P的中点，可利用相关点法解： 由已知得208(3 ,0),(,)3FbAb y，则直线2F A的方程为：03(3 )yyxbb令0 x得09yy，即20(0,9)Py精品资料 - - - 欢迎下载 - - -
11、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑设P xy（ ， ），则00002952xxyyyy，即0025xxyy代入22002218xybb得：222241825xybb，即P的轨迹E的方程为22221225xybb()xR归纳小结 ：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法（五）突出几何性质的考查例 8 （2006 江西）P是双曲线221916xy的右支上一点，M，N分别是圆22(5)4xy和22(5)1xy上的点，则|P
12、MPN的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9 解析： 双曲线的两个焦点1( 5,0)F与2(5,0)F恰好是两圆的圆心，欲使|PMPN的值最大，当且仅当|PM最大且|PN最小，由平面几何性质知，点M在线段1PF的延长线上，点N是线段2PF与圆的交点时所求的值最大. 此时12| (2)(1)PMPNPFPF9321PFPF因此选D精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑例 9 （
13、2009 重庆）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为55x， 离心率5e（1）求该双曲线的方程；（ 2）如图，点A的坐标为(5,0)，B是圆22(5)1xy上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标 . 分析： （1） 比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（ 2） 利用双曲线的定义将MAMB、转化为其它线段，再利用不等式的性质求解解 ：（ 1 ） 由 题 意 可 知 ， 双 曲 线 的 焦 点 在x轴 上 ， 故 可 设 双 曲 线 的 方 程 为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x得255ac，由5e得5ca解得1,5ac.
14、从而2b，该双曲线的方程为2214yx. （ 2）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑则| 22MAMDa.所以|2 |2|MAMBMBMDBD因为B是圆22(5)1xy上的点，其圆心为(0,5)C，半径为1，故| | 1101BDCD，从而|2|101MAMBBD当,M B在线段CD上时取等号，此时|MAMB的最小值为101直
15、线 CD的方程为5yx，因点 M在双曲线右支上，故0 x由方程组22445xyyx解得54 24 54 2,33xy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑所以M点的坐标为54 24 542(,)33归纳小结 ：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -