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1、1 1第一章第一章 振动理论基础振动理论基础1.2.2 强迫振动强迫振动2系统在外部激励下所做的振动。系统在外部激励下所做的振动。谐波激励谐波激励周期激励周期激励任意激励任意激励31.简谐激励下的强迫振动指简谐激励下的强迫振动指激励是时间的简谐函数激励是时间的简谐函数，它，它在工程结构的振动中经常发生，通常由旋转机械失衡造在工程结构的振动中经常发生，通常由旋转机械失衡造成。成。2.简谐激励下的强迫振动理论是分析周期激励以及非周简谐激励下的强迫振动理论是分析周期激励以及非周期激励下系统响应的基础。期激励下系统响应的基础。3.通过分析系统所受的简谐激励与系统响应的关系，可通过分析系统所受的简谐激励
2、与系统响应的关系，可以估计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。以估计测定系统的振动参数，从而确定系统的振动特性。1 简谐激励的强迫振动简谐激励的强迫振动1 简谐激励的强迫振动简谐激励的强迫振动4质量质量-弹簧系统，激励为：弹簧系统，激励为：则振动微分方程与初始条件：则振动微分方程与初始条件：tjemFxxxtFkxxcxm 2002sin2002mkmcx是复数，其特解为：是复数，其特解为：tjeBx为复振幅为复振幅B02202002021)2(jmFBemFeBjBBtjtjmk20其中其中:其中；其中；令 0定义频率比定义频率比1 简谐激励的强迫振动简谐激励的强迫振动jjBeekF
3、jkFB222020)2(112112122012211tgKFB tBtxBetxtjsin只要虚部：只要虚部：这是响应的通常形式。这是响应的通常形式。为振幅，为振幅， 为相位差。为相位差。B复数解为：复数解为：1 简谐激励的强迫振动简谐激励的强迫振动tjeBx71 简谐力激励的强迫振动简谐力激励的强迫振动 特点特点 1 . 系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞系统对简谐激励的稳态响应是等同于激振频率而相位滞 后于激振力的简谐振动。后于激振力的简谐振动。 2 . 稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理参数 （质量，刚度，阻尼）
4、和激振力频率及力幅，而与系统进入（质量，刚度，阻尼）和激振力频率及力幅，而与系统进入 运动的方式（初始条件）无关。运动的方式（初始条件）无关。令：令：KFB幅值放大因子：幅值放大因子：21222012)2()1 (1tgBB220211KFB静位移静位移动态响动态响应振幅应振幅频响函数及特性曲线频响函数及特性曲线81.频响函数是指系统输出的频响函数是指系统输出的Fourier变换与输入的变换与输入的Fourier变换之变换之比比2.频响函数在振动系统中是响应与激励的频响函数在振动系统中是响应与激励的Fourier变换之比，表变换之比，表示响应与激励之间的幅值、相位关系随激振频率变化的规律示响应
5、与激励之间的幅值、相位关系随激振频率变化的规律 fPfXfHPXH93.频响函数的特性曲线主要有：频响函数的特性曲线主要有：幅频特性、相频特性，实频图、虚频图幅频特性、相频特性，实频图、虚频图Nyquist图：实部图：实部-虚部关系曲线虚部关系曲线系统幅频和相频曲线系统幅频和相频曲线10和 随 的变化曲线11 振幅类似静位移振幅类似静位移0, 1) 3, 1)21, 1) 1000很小，很小，0，同向，同向 900dd212max12121121212max当时，共振峰变平坦了。时，共振峰变平坦了。共振时，共振时，n 相位有相位有180度的突变，且度的突变，且 90此时放大因子此时放大因子 也
6、称为品质因子也称为品质因子21Q122220012,1(1)(2)BtgB2 强迫振动的过渡过程强迫振动的过渡过程12响应与稳态响应的叠加。可表示为下列两个方程的解的和响应与稳态响应的叠加。可表示为下列两个方程的解的和： 000,00 xxxxkxxm 解为解为： txtxtx000001sincos为系统对初始条件的响应为系统对初始条件的响应方程方程1 00, 00sin0 xxtpkxxm 方程方程2解为：解为： tkptkptxsin11sin1200202其中其中：第一项为伴随激励产生的自由振动第一项为伴随激励产生的自由振动 第二项为稳态强迫振动。第二项为稳态强迫振动。1 . 无阻尼情
7、况：无阻尼情况：13两个方程叠加的方程为：两个方程叠加的方程为： 0000,0sinxxxxtpkxxm txtxtx21全解为：全解为：2 .有阻尼情况：有阻尼情况： 0,00sin0 xxxxtpkxxcxm 利用分解得到：利用分解得到： tBttBetxxtxetxdddtdddtsin sincossincossin sincos0000002 强迫振动的过渡过程强迫振动的过渡过程14式中右边的三项分别为系统在无激励时的自由振动，自由伴随式中右边的三项分别为系统在无激励时的自由振动，自由伴随振动及稳态强迫振动。振动及稳态强迫振动。其中：其中：2122200200012,21,1,2,t
8、gkpBmcmkd2 强迫振动的过渡过程强迫振动的过渡过程153.周期激励周期激励16线性迭加原理线性迭加原理 对周期激励的分析，是先对其进行谐波分对周期激励的分析，是先对其进行谐波分析，将它分解为一系列不同频率的周期析，将它分解为一系列不同频率的周期 激励，激励，然后得出系统对各个频率的简谐激励的响应，然后得出系统对各个频率的简谐激励的响应，再根据线性系统的叠加原理，将各个响应进行再根据线性系统的叠加原理，将各个响应进行叠加，既得到系统对周期激励响应。叠加，既得到系统对周期激励响应。 171819动量定理动量定理:速度发生突变位移来不及改变。速度发生突变位移来不及改变。系统的脉冲响应即初始位
9、移为零，而初速度为系统的脉冲响应即初始位移为零，而初速度为 的自由振动。的自由振动。m14. 任意激励任意激励单位脉冲响应单位脉冲响应: 000000,0010010mxcxkxtxxt dtmdxt dtmxdtmxmxxm4. 任意激励任意激励20 temthdtdsin10如果单位脉冲不是作用在如果单位脉冲不是作用在t=0,而是而是t= ， 响应也应滞后响应也应滞后 。ttemthdtd,sin10单位脉冲响应单位脉冲响应:211.3 多自由度振动多自由度振动多自由度系统模型多自由度系统模型质量阵和刚度阵质量阵和刚度阵模态分析模态分析1.3.1 多自由度振动模型多自由度振动模型例：轿车行
10、使在路面上，会产生上下振动。要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。分析：人与车、车与轮胎、轮胎与路面存在运动耦合建模方法一：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑 阻尼、弹簧优点：模型简单缺点：没有考虑人与车、车与轮胎、轮胎与路面间的影响。建模方法二建模方法二：将车、人的质量分别考虑，并考虑各自的：将车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 阻尼、阻尼、弹簧弹簧优点：模型较为精确，考虑了人与车的耦合运动。优点：模型较为精确，考虑了人与车的耦合运动。缺点：没有考虑车与轮胎、轮胎与路面间的影响。缺点：没有考虑车与轮胎、轮胎与路面间的影响。建模方法三：将车、轮胎、人的质量分别考虑，并考虑各自的阻尼、弹簧建
11、模方法三：将车、轮胎、人的质量分别考虑，并考虑各自的阻尼、弹簧优点：模型较为精确，考虑了人与车、车与轮胎、轮胎与路面间的相互耦合。优点：模型较为精确，考虑了人与车、车与轮胎、轮胎与路面间的相互耦合。问题：问题：如何描述各个质量间的相互耦合效应？如何描述各个质量间的相互耦合效应？例例1：双质量弹簧系统受激振力，并不考虑各自的阻尼。双质量弹簧系统受激振力，并不考虑各自的阻尼。建立系统运动方程。建立系统运动方程。解解：建立如图所示坐标系，原点取在各自静平衡位置。受：建立如图所示坐标系，原点取在各自静平衡位置。受力分析：力分析：1.3.2 质量阵、刚度阵质量阵、刚度阵建立运动微分方程：矩阵形式：耦合写
12、成如下形式：写成如下形式：质量阵刚度阵位移向量加速度向量激励力向量如果系统有如果系统有n个自由度，则各项为个自由度，则各项为n维。维。4 模态分析模态分析运动微分方程：运动微分方程：自由（固有）振动方程：自由（固有）振动方程：假设：假设：代入上式，并左乘代入上式，并左乘 ：常数常数a,b, 均为常数由于M正定，K半正定 ：（1）正定系统：（2）半正定系统：1）正定系统主振动 ：有非零解的充要条件就是系数行列式为零。振动方程：主振动：频率方程，特征值，基频例例 ：求固有频率和主振型：求固有频率和主振型解解 ：动力学方程：动力学方程：令主振动：令主振动：或：或：得：得第1、2、3阶主振动第一阶：第一阶：第二阶：第二阶：第三阶：第三阶：无节点：无节点：一个节点：一个节点：两个节点：两个节点：认识模态图：认识模态图：认识模态图：认识模态图：