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1、名师整理精华知识点第五章：万有引力定律人造地球卫星夯实基础知识1开普勒行星运动三定律简介（轨道、面积、比值）丹麦开文学家开普勒信奉日心说，对天文学家有极大的兴趣，并有出众的数学才华，开普勒在其导师弟谷连续20 年对行星的位置进行观测所记录的数据研究的基楚上，通过四年多的刻苦计算，最终发现了三个定律。第一定律：所有行星都在椭圆轨道 上运动，太阳则处在这些椭圆轨道的一个焦点上；第二定律：行星沿椭圆轨道运动的过程中，与太阳的连线在单位时间内扫过的面积 相等；第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等即kTr23开普勒行星运动的定律是在丹麦天文学家弟谷的大量观测数据的基础上
2、概括出的，给出了行星运动的规律。2万有引力定律及其应用(1) 内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量成积成正比，跟它们的距离平方成反比，引力方向沿两个物体的连线方向。2rMmGF（1687 年）2211/1067.6kgmNG叫做引力常量，它在数值上等于两个质量都是1kg 的物体相距 1m 时的相互作用力，1798 年由英国物理学家卡文迪许利用扭秤装置测出。万有引力常量的测定卡文迪许扭秤实验原理是力矩平衡。实验中的方法有力学放大（借助于力矩将万有引力的作用效果放大）和光学放大（借助于平面境将微小的运动效果放大）。万有引力常量的测定使卡文迪许成为“ 能称出地球质量
3、的人” ：对于地面附近的物体m，有2EERmmGmg（式中 RE为地球半径或物体到地球球心间的距离），可得到GgRmEE2。(2)定律的适用条件：严格地说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也可近似使用，但此时r 应为两物体重心间的距离对于均匀的球体， r 是两球心间的距离当两个物体间的距离无限靠近时，不能再视为质点，万有引力定律不再适用，不能依公式算出 F近为无穷大。注意：万有引力定律把地面上的运动与天体运动统一起来，是自然界中最普遍的规律之一，式中引力恒量G 的物理意义是： G 在数值上等于质量均为1kg 的两个质点相距1m 时相互作用的万有引力(
4、3) 地球自转对地表物体重力的影响。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点重力是万有引力产生的，由于地球的自转，因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力重力实际上是万有引力的一个分力另一个分力就是物体随地球自转时需要的向心力，如图所示，在纬度为的地表处，万有引力的一个分力充当物体随地球一起绕地轴自转所需的向心力F 向=mRcos 2（方向垂直于地轴指向地轴），而万有引力的另一个分力就是通常所说的重力mg，其方向与支持
5、力N 反向，应竖直向下，而不是指向地心。由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力F向不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化， 即重力加速度g 随纬度变化而变化， 从赤道到两极R逐渐减小，向心力 mRcos 2减小，重力逐渐增大，相应重力加速度g也逐渐增大。在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和 m2g 刚好在一条直线上，则有FF向m2g，所以 m2g=F一 F向G221rmmm2R自2。物体在两极时，其受力情况如图丙所示，这时物体不再做圆周运动，没有向心力，物体受到的万有引力F引和支持力 N 是一对平衡力，此时物体的重力mgNF引。综上所述重力大小：两个极点处最大，等于万有引力；赤
6、道上最小，其他地方介于两者之间，但差别很小。重力方向：在赤道上和两极点的时候指向地心，其地方都不指向地心，但与万有引力的夹角很小。由于地球自转缓慢，物体需要的向心力很小，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，在此基础上就有：地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即2RGmM mg 说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力的变化为千分之五；地面到地心的距离每增加一千米，重力减少不到万分之三，所以，在近似的计算中，认为重力和万有引力相等。万有引力定律的应用：基本方法：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动，F万=F心(类似原子模型) 方法：轨道上正常转：rTmrmrvmrMmG222224N
7、 o F引丙N F引o 乙O O N F心m F引mg 甲精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点地面附近： G2RMm= mg GM=gR2 (黄金代换式 ) （1）天体表面重力加速度问题通常的计算中因重力和万有引力相差不大，而认为两者相等， 即 m2gG221Rmm， g=GM/R2常用来计算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即 gh=GM/（R+h）2，比较得gh=（h
8、Rr）2 g 设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，由 mg=2MmGR得 g=2MGR，由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为21212212gRMgRM（2）计算中心天体的质量某星体 m 围绕中心天体m中做圆周运动的周期为T，圆周运动的轨道半径为r，则：由rTmrmmG222中得：2324GTrm中例如：利用月球可以计算地球的质量，利用地球可以计算太阳的质量。可以注意到：环绕星体本身的质量在此是无法计算的。（3）计算中心天体的密度=VM=334RM=3223RGTr由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T，就可以算出天体的质量 M若知道行星的半径则可得行星的
9、密度（4）发现未知天体用万有引力去分析已经发现的星体的运动，可以知道在此星体附近是否有其他星体，例如：历史上海王星是通过对天王星的运动轨迹分析发现的。冥王星是通过对海王星的运动轨迹分析发现的人造地球卫星。这里特指绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，实际上大多数卫星轨道是椭圆，而中学阶段对做椭圆运动的卫星一般不作定量分析。1、卫星的轨道平面：由于地球卫星做圆周运动的向心力是由万有引力提供的，所以卫星的轨道平面一定过地球球心，球球心一定在卫星的轨道平面内。2、原理：由于卫星绕地球做匀速圆周运动，所以地球对卫星的引力充当卫星所需的向心力，于是有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -
10、- - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点rTmrmrmmarGmM2222)2(实际是牛顿第二定律的具体体现3、表征卫星运动的物理量：线速度、角速度、周期等：（1）向心加速度向a与 r 的平方成反比。向a=2rGM当 r 取其最小值时，向a取得最大值。a向max=2RGM=g=9.8m/s2（2）线速度v 与 r 的平方根成反比v=rGM当 h，v当 r 取其最小值地球半径R时， v 取得最大值。vmax=RGM=Rg=7.9km/s （3）角速度与 r 的三分之三次方成百比=
11、3rGM当 h，当 r 取其最小值地球半径R时，取得最大值。max=3RGM=Rg1 .23 103rad/s （4）周期 T与 r 的二分之三次方成正比。T=2GMr3当 h，T当 r 取其最小值地球半径R时， T取得最小值。Tmin=2GMR3=2gR84 min卫星的能量： (类似原子模型 ) r 增v 减小 (EK减小 v1、v4v3，而 v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径r1v4。把以上不等式连接起来，可得到结论：v2v1v4v3。 （卫星沿椭圆轨道由PQ 运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，因此有v2
12、v3。 ）【例题】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2 相切于 Q 点。轨道2、3相切于 P 点（如图），则当卫星分别在1，2，3，轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）A卫星在轨道3上的速率大于在轨道上的速率B卫星在轨道3 上的角速度小于在轨道上的角速度C卫星在轨道1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道2 上经过 Q 点时的加速度D卫星在轨道2上经过 P 点时的加速度等于它在轨道3 上经过 P 点时的加速度解析：从动力学的角度思考，卫星受到的引力使卫星产生运动的加速度（nnmaF），所以卫星在
13、轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度，卫星在轨道上经过点时的加速度等于它在轨道上经过点时的加速度。必须注意，如果从运动学的角度思考（rrvan22），由于卫星在不同的轨道上经过相同点时，不但线速度、角速度不同，而且轨道半径（曲率半径）不同，所以不能做出判断。案：B、D 【例题】欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近（北纬 5 左右）南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为1 状态，发射到近地轨道上做匀速圆周运动时为2 状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为3 状态。将下列物理量按从小到大的顺序用不等号排列： 这三个状态下卫星的线
14、速度大小Q v2 v3P v4v1Q 1 2 3 P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点_； 向心加速度大小_； 周期大小 _。解析： 比较 2、3 状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r2r3，所以 v3v2；比较 1、3 状态，周期相同，即角速度相同，而r1r3由 v= r ，显然有 v1v3；因此 v1v3v2。 比较 2、3 状态， 都是绕地球做匀速圆周运动，因为 r2r3，而向心加速度就是卫星所在位置
15、处的重力加速度 g=GM/r21/r2，所以 a3a2；比较 1、3 状态，角速度相同， 而 r1r3，由 a=r 2r，有 a1a3；所以 a1a3a2。 比较 1、2 状态，可以认为它们轨道的周长相同，而v1 v2，所以 T2T1；又由于 3 状态卫星在同步轨道，周期也是24h，所以 T3=T1，因此有T2T1=T3 类型题：卫星的追及问题【例题】如右图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O 做圆周运动，旋转方向相同，A行星的周期为 T1， B行星的周期为 T2， 在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近） ， 则 （BD） 。A经过时间 t=T2+T1，两行星将第二次相遇B经过时间122
16、1TTTTt，两行星将第二次相遇经过时间122121TTTTt，两行星第一次相距最远D经过时间221TTt,两行星第一次相距最远【例题】 A、B 两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A 的轨道半径为 r1，B 的轨道半径为r2，已知恒星质量为m，恒星对行星的引力远大于得星间的引力，两行星的轨道半径r1r2。若在某一时刻两行星相距最近，试求：（1）再经过多少时间两行星距离又最近？（2）再经过多少时间两行星距离最远？解析：（ 1）A、B 两行星如右图所示位置时距离最近，这时A、B 与恒星在同一条圆半径上， A、B 运动方向相同，A 更靠近恒星， A 的转动角度大、周期短，如果
17、经过时间t，A、 B与恒星连线半径转过的角度相差2的整数倍，则A、B 与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近。解： （1）设 A、B 的角速度分别为1、2，经过时间t，A 转过的角度为 1t，B 转过的角度为2t。A、B 距离最近的条件是：1t-2t=)3 ,2, 1(2nn。恒星对行星的引力提供向心力，则：32,2rmGrmmGmr即，由得得出：311rmG，322rmG，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点求得
18、：)3 ,2, 1(32312ntrmGrmGn。（2）如果经过时间t，A、B转过的角度相差 的奇数倍时，则A、B相距最远，即)3, 2,1() 12(21kktt。故21)12( kt。把1、2代入得：)3, 2, 1(3231)12(ktrmGrmGk点评：太阳系有九大行星， 它们之间有相对运动， 如要知道哈雷彗星下次光顾地球是什么时间，就要分析两运动间的角速度关系，本题关键是正确写出两行星相距离最近和相距最远的条件。类型题：数学知识的运用物理是以数学为基础的。合理运用数学知识，可以使问题简化。甚至在有的问题中，数学知识起关键作用。1用比值法求解有关问题【例题】假设火星和地球都是球体，火星
19、的质量为M火和地球质量M地之比 M火M地p，火星半径 R火和地球半径R地之比 R火R地q，那么火星表面重力加速度g火和地球表面重力加速度 g地之比为（A）A2qpB2pqCqpDpq2割补法的运用【例题】如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体中心2R 处，有一质量为 m 的质点，M 对 m 的万有引力的大小为F。 现从 M 中挖出一半径为r 的球体，如图， OO =R/2。求 M 中剩下的部分对m 的万有引力的大小。解析：根据万有引力定律，2)2( RMmGF，挖去的球体原来对质点m 的引力为2)5 .1(RmMF，而33rRMM。所以剩下的部分对质点m 的引力为FRrRFF333
20、9169。m o or 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点答案：FRrR33391693代数知识的运用【例题】地球同步卫星到地心的距离r 可由22234cbar求出。已知式中a 的单位是 m，b 的单位是 s，c 的单位是 m/s2，则（）A是地球半径，b 是球自转的周期，是地球表面处的重力加速度B是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，C 是同步卫星的加速度Ca 是赤道周长， b 是地球自转周期，c 是同
21、步卫星的加速度Da 是地球半径，是同步卫星绕地心运动的周期。c 是地球表面处的重力加速度解析：同步卫星m 圆周运动的向心力由地球对它的引力提供，设地球自转周期为，rTmrMmG2224， 物 体m 在 地 球 表 面 的 重 量 约 等 于 地 球 对 它 的 万 有 引 力 ， 所 以2rmMGgm。由上两式可得：22234gTRr。其中也可以认为是同步卫星运动的周期。答案： A、D 类型题：会求解卫星运动与光学问题的综合题【例题】某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12 小时内有多长时间该观察者看不见此
22、卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。解析：设所求的时间为t，用 m、M 分别表示卫星和地球的质量，r 表示卫星到地心的距离。有22)2(TmrrmMG春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道， S表示卫星， A 表示观察者， O 表示地心。由图 17 可看出当卫星S绕地心 O 转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向） ，其正下方的观察者将看不见它。据此再考虑到对称性，有Rrsin太阳光E O S A R r 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -
23、 - - - - - -第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 名师整理精华知识点Tt22gRMG2由以上各式可解得3122)4a r c s i n (gTRTt【例题】 2000 年 1 月 26 日我国发出了一颗同步卫星。定点位置与东经98 的经线在同一平面内。若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98 和北纬=40，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）解析：根据题意，可知同步卫星，嘉峪关、地心在同一平面内。如图全解 设地球质量为
24、M，卫星质量为m，卫星轨道半径为r，卫星到嘉峪关的距离为L，如上图。则：rTmrMmG224，gmRmMG2（地球表面处物体的重量约等于地球对它的万有引力）。由数学知识得：cos222rRRrL，又cLt。由以上四式求解得：cgTRRRgTRtcos)4(2)4(31222232222精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - - -